2022届高三数学二轮专题复习:数学文化-立体几何(Word版含解析)

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2022届高三数学二轮专题复习:数学文化-立体几何(Word版含解析)

资源简介

数学文化-立体几何
专题综述
数学文化不仅是数学知识,还包含数学理念、数学思想,以及数学史和所有解决数学问题的思路和方法,数学文化伴随着人类文明的发展,承载了数学发展漫长的积累过程。
新课标把"体现数学文化价值"作为高中数学课程的十项理念之一,强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容。高考试题会通过创设新的情境、改变设问方式,选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化,一般以选填题的形式出现。立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”、“阳马”、“鳖臑”、“堑堵”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的体积与表面积等。
专题探究
探究1:以古代数学为背景
立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容,从中国古代数学中挖掘素材,考查立体几何的有关知识,既符合考生的认知水平,又可以引导考生关注中华优秀传统文化。
(2020东北三省三校二模)我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经验,总结出了一套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中.《九章算术商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以綦,其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体,得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.已知堑堵的内切球与各面均相切半径为,则鳖臑的体积最小值为
A. B. C. D.
【阅读突破】
文字语言 符号语言
理解得到“堑堵”、 “阳马”、“鳖臑”的过程
熟练掌握基本不等式求最值的方法
熟练掌握三角形面积公式 ,为内切圆半径
熟练掌握三棱锥的体积公式
本题取材于《九章算术商功》,通过加工改造,添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度,解题从识“图”再到构“图”,充分考查了学生的阅读理解能力,分析问题、解决问题的能力,逻辑思维能力、数学建模等能力。
【解析呈现】
因为堑堵的内切球直径恰为堑堵的边长,又半径为,所以,
易知,截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等,
设内切圆半径为,则,
如图可知,
根据三角形面积公式可得,,
所以 ,
所以,即,
当且仅当时,等号成立,
因此鳖臑的体积,
即鳖臑的体积最小值为.
故选C.
(2021浙江省金华市)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑中,平面,,且,为的中点,则异面直线与夹角的余弦值为
A. B. C. D.
探究2:以现代科技为背景
众所周知,近几年我国在科技发展上进步神速,“天空空间站”、“蛟龙潜航器”等均为例证,但是航天器的飞行、潜航器的下海均离不开数学知识哟。
(2021全国新课标Ⅱ卷.4)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为轨道高度是指卫星到地球表面的距离将地球看作是一个球心为,半径为的球,其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
单位:,则占地球表面积的百分比约为
A. B. C. D.
【阅读突破】
文字语言 符号语言
理解同步轨道卫星点的纬度
熟练掌握球体体积计算公式
本题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题,考查学生的空间想象能力和阅读理解、数学建模等能力,考查了理性思维、数学应用、数学探索学科素养。
【解析呈现】
如图所示:
由题意可得,占地球表面积的百分比约为:

故选C.
(2021河南省名校联盟)打印属于快速成形技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术即“积层造型法”过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,现正用于一些产品的直接制造,特别是一些高价值应用比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等已知利用打印技术制作如图所示的模型,该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上,圆锥底面直径为,母线与底面所成角的正切值为打印所用原料密度为,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为取,精确到
A. B. C. D.
专题升华
几种常见的古代算术几何体
阳马:底面为长方形,两个三角面与底面垂直的四棱锥体
鳖臑:我国三角锥体的古称。鳖臑模型就是三棱锥模型。四个面都是直角三角形的三棱锥,具有非常丰富的线线 、线面 、面面垂直关系。
堑堵:古代数学名词。两底面为直角三角形的正柱体,亦即长方体的斜截平分体。
牟合方盖:牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法,类似于微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子,故称为牟合方盖。
【答案详解】
变式训练1【答案】C
【解析】以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,
建立空间直角坐标系,设,
则,,,,,
则,,
设异面直线与夹角为,则.
所以异面直线与夹角的余弦值为.
故选C.
变式训练2【答案】C
【解析】 如图,是几何体的轴截面,
圆锥底面直径为,半径为,
母线与底面所成角的正切值为,圆锥的高为,
设正方体的棱长为,则,解得.
该模型的体积
制作该模型所需原料的质量约为.
故选:.

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