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数学文化-数列
专题综述
数学文化不仅是数学知识，还包含数学理念、数学思想，以及数学史和所有解决数学问题的思路和方法，数学文化伴随着人类文明的发展，承载了数学发展漫长的积累过程。
新课标把"体现数学文化价值"作为高中数学课程的十项理念之一,强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容。高考试题会通过创设新的情境、改变设问方式,选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化，一般以选填题的形式出现。数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式。
专题探究
探究1：以等差数列为背景
以数学文化为背景的等差数列题型的求解关键：
1.会脱去数学文化背景，读懂题意；
2.构建模型，即由题意构建等差数列模型；
3.解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等。
(2021吉林省长春市东北师大附中一模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”“钱”是古代的一种重量单位这个问题中戊所得为
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
【阅读突破】
文字语言 符号语言
甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列 设五人分得的钱分别为，，，，
甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等
甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱
以古代名著《九章算术》为背景，考查学生的阅读理解能力，理解用汉字描述的数学定义、定理，考查以数学知识和背景为基础和依托的文字语言、符号语言和图形语言的理解能力
【解析呈现】
解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，．
则，，，，成等差数列，设公差为．
，,
整理上面两个算式，得：，解得．
．
故选：．
(2021山东省泰安市模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士爵位依次变低个人共出钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出钱，则上造出的钱数为
A. B. C. D.
探究2：以等比数列为背景
以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：
1.会透过数学文化的“表象”看“本质”；
2.构建数学模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；
3.解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如指定项、公比或项数、通项公式或前n项和公式等。
(2021重庆八中模拟) 十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为
参考数据：，
A. B. C. D.
【阅读突破】
文字语言 符号语言
理解“康托三分集”的操作过程 第次操作，去掉的线段长度为
分析如何提炼题干的关键信息，构建等比数列模型
本题以“康托三分集”为载体，通过构建等比数列模型，借助等比数列求和公式求解。考查了阅读理解能力、逻辑思维能力、数学建模等能力。
【解析呈现】
解：第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
，
第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为
，
由题意知：，解得：，又为整数，的最小值为，
故选C.
(2021江苏省苏州市八校联考)我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙大老鼠第一天打进尺，以后每天进度是前一天的倍小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
探究3：以递推数列为背景
以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题意，将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题设条件中的递推公式，利用此递推关系式往要求的量转化。
(2022鄂东南联考)年月日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图所示．如下图所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为，取正方形各边的四等分点，作第个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，作第个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为下列说法错误的是
A. 从正方形开始，连续个正方形的面积之和为
B.
C. 使得不等式成立的的最大值为
D. 数列的前项和
【阅读突破】
文字语言 符号语言
理解螺旋线型图案的画法
根据题设条件表示
数学源于生活，本题最新出台的“双减政策”为背景，给出一个螺旋线的画法,要求学生按照题设条件来解决相关数学问题。此类试题,还突出考查学生的数学阅读理解能力,数学抽象概括能力和"新概念"的实际应用能力。
【解析呈现】
解：由条件可得得，
是等比数列
又解得
，得是等比数列
又，解得，所以B正确；
，从正方形开始，连续个正方形的面积之和为，A正确；
，，验证，，时符合，时不符合，C错误；
，，D正确，
故选C．
(2021江苏省苏州市一模.多选) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论中正确的有
A. B.
C. D.
专题升华
数列中的数学文化问题常以“十二平均律、宝塔点灯、女子织布、两鼠穿墙，竹九节及分钱、走步”等问题为背景展开，强调“经世济用”，结合算法算理建立数学模型，将问题转化为等差或等比数列，利用方程思想进行计算。
有关数列的应用问题,是让学生能够在实际情境中,用数学的思想分析数列问题,用数学的语言表达数列问题,用数学的知识得到数学模型,用数学的方法得到结论,验证数学结论与实际问题的相符程度,最终得到符合实际规律的结果。
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】设首项为，公差为．由题意可得，
，，由联立可得，
则上造出的钱数为，
故选：．
变式训练2【答案】B
【解析】大老鼠与小老鼠每天挖墙的进度都形成等比数列：首项都为，公比分别为，．
设两鼠穿透此墙至少在第天，
由题意可得：，化为：，
令，则，．
两鼠穿透此墙至少在第天．
故选：．
变式训练3【答案】
【解析】解：由题设知：数列的前项为：，，，，，，，，
，，故选项A正确，选项B错误；
又，，，，，
将以上式子相加可得：，故C选项正确；
斐波那契数列总有，，
，
，，
，
，
，
，
将以上式子相加可得：，故选项D正确，
故选：.

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