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数学思想-转化与化归
专题综述
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题，转化化归问题的实质是揭示联系，实现转化，用框图可以直观地表示如下：
专题探究
探究1：特殊与一般的转化
(2021湖南省联考) 已知函数
则 其中
【思维引导】
本题考查函数的性质,利用性质求项函数值之和，思维的难点是根据解析式，找出 (常数)的特征，类比等差数列的前项和公式的推导方法，利用倒序相加法，将函数值求解问题转化为数列求和问题即可得到结论.
【规范解析】
，；
令，
则，
则两式相加可得
，
即．
【探究总结】
(1)一般与特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．
(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
(2021山东省聊城市模拟) “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为( )
A. B. C. D.
探究2：函数、方程、不等式之间的转化
(2021四川省泸州市模拟) 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存，使得成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【思维引导】
本题主要考查函数恒成立问题,根据条件将方程变形，然后构造函数，将方程的存在问题和恒成立问题转化为函数问题(分别求出两个函数的值域，结合值域之间的关系进行求解)，利用函数的导数研究函数的单调性和极值求出函数的值域也是解决本题的关键．
【规范解析】
，，
设，，
，在单调递增，
，，，
，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，，
总存在，使得成立，
，，，
故选：．
【探究总结】
1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．
2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题．
(2021湖北省黄冈市模拟)已知关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
探究3：正难则反的转化
(2021安徽省合肥市模拟)已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ．
【思维引导】
本题考查利用导数研究原函数的单调性，题干给出的不单调直接求不方便，可以从它的对立面去考虑.若函数在区间上单调递增，则在上恒成立；若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，分别利用分离变量法求解可得的范围，再求补集即可.
【规范解析】
．
若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，
所以恒成立，得①，因为，所以，由①可知，．
若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，
所以，得②，结合可知，．
综上，若函数在区间上单调，则实数的取值范围为或．
所以若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为．
故答案为．
【探究总结】
否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单.因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
(2021江苏省泰州市模拟)年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有、两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为
A. B. C. D.
探究4：形体位置关系的转化
(2021湖北省新洲市模拟)如图，在多面体中，，，两两垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为
A. B. C. D.
【思维引导】
本题考查棱柱的体积的求法，这个多面体是不规则几何体，直接求体积很不方便，可以用分割法进行转化，取的中点，连接，这样，多面体的体积可以转化为求三棱柱与三棱柱的体积之和，利用棱柱的体积公式即可求出.
【规范解析】
（方法一:分割法）如图：取的中点，连接，，
，，两两互相垂直，
平面平面，平面平面，
且，，
则这个多面体的体积可以表示为三棱柱与三棱柱的体积之和，
有条件，，而，且，平面，
故AB平面，即平面，而，为三棱柱的高，
同理可得为三棱柱的高，
．
故答案选：．
（方法二:补形法）因为几何体有两对相对面互相平行，
如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，
显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．
又正方体的体积V正方体ABHI－DEKG＝23＝8，
故所求几何体的体积为V多面体ABCDEGH＝×8＝4.
【探究总结】
形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．
(2021重庆市模拟)一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式，其中为球的半径，为球缺的高若一球与一棱长为的正四面体的各棱均相切，则该球的半径为 ，该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺小于半球的体积为 ．
专题升华
在三角函数和解三角形中，主要的方法有公式的“三用”（顺用、逆用、变形用），角度的转化，函数的转化，通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化.
在解决平面向量与三角函数、解析几何等知识交汇时，常将平面向量的语言与三角函数、解析几何语言教学转化.
在解决数列问题时，通常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.
在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值（最值）、切线问题，转化为由其导函数构成的方程、不等式问题求解.
若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法间接地解决问题．
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】因为椭圆：的离心率为，
所以，解得，所以椭圆方程为，
因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上
找特殊点分别为，，则两条切线分别是，，
则两条直线的交点为，
而在蒙日圆上，
所以，
所以椭圆的蒙日圆方程为 ．
故选B．
变式训练2【答案】
【解析】，即为，
设，当时，，故，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，，
当趋于时，趋于
当时，，，
函数单调递减，此时的取值范围为
如图所示画出函数图象，
则．故．
故选D．
变式训练3【答案】
【解析】现有、两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为，
至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的对立事件是两家机构都研究不出这种“新冠”疫苗，
至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为：
．
故选：．
变式训练4【答案】；．
如图，
取的中点，的中点，连接，则为与正四面体各棱相切的球的直径，
正四面体的棱长为，，则，
则球的半径为；
设底面的中心为，则，则到底面的距离为．
，
由等体积法可得：，得．
则球被正四面体的一个侧面所截得的球缺的高为，
球缺的体积．
故答案为：；．

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