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解题方法-构造函数法
专题综述
构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。
专题探究
探究1：从条件特征入手构造函数
联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
(2021全国理科乙卷.12)设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
如何构造函数比较大小？
【思维引导】
本题是一个比大小的题目，和容易比较，、，、的比较不太容易，观察题干当中的共性结构，会发现1.01,1.02,1.04都跟1有关系，进而可以构造出新的函数。
【规范解析】
，，，
令，，
令，则，，
，
，
，
在上单调递增，
，
，即，
取，则，即，
同理令，，
再令，则，，
，
，，
在上单调递减，
，
，即，
同样的，取，则，
即，．故选：B.
【探究总结】
高考选择压轴题通常是需要构造函数去解决，构造函数时要善于观察，多角度发现它的结构特征.
(2021山西高三模拟)设，,,，
，则（ ）
A． B． C． D．
探究2：利用进行抽象函数构造
导数问题中已知某个含的不等式，可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．常用构造形式有、，这类形式是对，型导数的推广及应用，当导函数形式出现的是“”时，优先考虑构造型，当导函数形式出现的是“”时，优先考虑构造型.
几种导数的常见构造：
1．对于，构造
若遇到，构造
2．对于，构造
3．对于，构造
4．对于，构造
5．对于，构造
6．对于，构造
拓展：1. 对于，构造
2. 对于，构造
3. 对于，构造
4. 对于，构造
(2021山东省临沂市联考.多选)已知函数的定义域为，导函数为，
，且，则（ ）
A． B．在处取得极大值
C． D．在单调递增
【审题视点】
抽象函数因题目中没有具体的解析式,难度较大，如何构造合适的函数是解题关键.
【思维引导】
题设条件出现“”的形式，优先考虑构造，然后利用导数的单调性求解即可.
【规范解析】
∵函数的定义域为，导函数为，
,即满足,
∵∴,
∴可设为常数,
∴ ，
∵，解得，
∴，
∴，满足，∴ C正确； ∵,
且仅有∴ B错误，A、D正确
故选：ACD
【探究总结】
利用题目的条件,联想学过的函数类型,构造出相应的函数模型,则可快速解答这类题目。
(2021安徽省合肥市联考)已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
探究3：“同构法”构造函数
同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式.同构式需要构造一个母函数，即外函数，用表示，这个母函数需要满足:①指对跨阶，②单调性和最值易求.
常见的同构形函数：（1）与（2）与,
常见的同构变形：（1）（2） （3）
注意：同构后的整体变量范围.
(2020年全国新课标Ⅰ卷.12)若，则（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
比大小题目可考虑采用作差、作商、利用函数的单调性等方法，选取合适的方法是解题关键.
【思维引导】
把等式形式尽可能构造相同形式,再放缩构成相同形式,此时得出单调函数,即可比较大小.
【规范解析】
根据指数及对数的运算性质，
，
∴，
设，则是定义域上的增函数，
则，故选B．
【探究总结】
如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可比较大小或解不等式。
(2021内蒙古.高三质量普查)已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
专题升华
同构思想无处不在，应用范围：函数，方程，数列，解析几何等.
在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程.
在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解。
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】，而，
令，则，
令，则，
∴时，，单调递减，而，，
∴当时，，则在单调递减，则，
∵，∴，即,
综上可知，
故选.
变式训练2【答案】
【解析】设，则．
因为，所以，即，
故在上单调递增．
因为是定义在上的奇函数，所以，所以，不等式，
即，则．
故选：．
变式训练3【答案】
【解析】
，
令，则单调递减，且，
所以，可得．于是，所以
又，得，所以．
故选．

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