资源简介

解题方法-取对数法
专题综述
取对数法策略所具备的优点就是能够帮助算法之间的转化,比如可以将乘方转化为乘法;再将乘法运算进行进一步转化为加法运算.在实际解题的过程中恰当地使用取对数法策略,可以实现化难为易的目标。
专题探究
探究1：取对数解指数方程
等式两边取对数的原则：当等式一边出现指数的时候，等式两边可以同时取对数。等式两边同时取对数是为了便于对等式进行推理、运算。
注意：等式两边必须都是正数时，才能同时取对数。
常见的四种指数方程的一般解法：
（1）方程的解法（对数运算法则）：
（2）方程的解法（指数运算法则）：
（3）方程的解法（取对数法）：
方程两边同时取对数：
（4）方程的解法（换元法）：
令,注意新变量范围，将原方程化为关于的方程，即可求解。
( 2020江苏省苏州市模拟.多选)已知正数，，满足，下列结论正确的有
A. B. C. D.
【审题视点】
如何利用条件“”得出，，之间的关系？
【思维引导】
本题考查基本不等式，指对互化．
A.由取对数得，然后找到、、的关系，计算与、与的比值即可；
B.根据表示出、、，再根据这三者的等量关系,列出等式化简；
C.根据，使用基本不等式即可证明；
D.由得，将二者相乘后利用基本不等式证明即可．
【规范解析】
解：由取对数得，
设，则，
，即，
，即，
，故A错误；
B.，
，即，故B正确；
C.由基本不等式可知，
当且仅当时等号成立，
根据可知，所以等号取不到，
，即，
故C正确；
D.由可知，
，
即，故D正确．
故选BCD．
【探究总结】
取对数运算可将乘法运算或除法降格为加法或减法运算，也可以将根式、幂函数、指数函数转化为乘除运算，一般在采取这一策略之后会让解题不好走变得更加简单方便。
(2021河北省邢台市模拟)已知，若，
，则
A. B. C. D.
探究2：取对数构造数列
递推关系式如的通项公式求法：
①若，则等式两边取常用对数或自然对数，化为，
得到首项为，公比为的等比数列，所以.
②若，则等式两边取以为对数，化为，然后采用构造法构造新的等比数列求解。
(2021年河北省保定市二模)已知数列，，．
求；求．
【审题视点】
本题中的递推关系式为乘方的形式，优先考虑取对数构造新的数列。
【思维引导】
第一问由条件“”，等式两边同时取自然对数，得到，
变形即可求得；第二问用错位相减法求和.
【规范解析】
解：，，
则，即，
也就是，即，．
设，
则，
，
可得：，．
【探究总结】
求解该题的关键一步是运用两边取对数构造数列,通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路,因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法。
( 2021广西名校高考一模)已知数列，，则
A. B. C. D.
探究3：取对数解复杂不等式
不等式的证明方法有许多，有时在证明不等式时，用取对数法可以使要证明的不等式转化为另一个易证明的等价不等式，从而达到所要证明不等式的目的。
解不等式两边取对数需满足的条件：
（1）首先等式两边都得大于零，
（2）如果对数底数小于1,则不等号方向变化，
（3）如果对数的底数大于1,则不等号方向不变。
( 2021江苏省南京市期末)已知函数有两个零点，，且．
1求的取值范围；
2设函数的极值点为，证明：．
【审题视点】
求导后零点无法具体解出，如何处理？隐零点的范围控制到什么程度，代换后的式子比较复杂，该如何放缩？
【思维引导】
第一问求导研究函数的单调性，但是复杂，需构造函数再次求导判断的单调性，因为的零点无法具体解出,所以虚设零点，借助的图像的性质得不等式,
第二问利用放缩法和基本不等式进行证明。
【规范解析】
1解：因为函数，
故定义域为，，
令，
则对恒成立，
故在上单调递增，
易知函数与函数在上有一个交点，
设交点的横坐标为，
则在上单调递减，在上单调递增，
即函数的极小值点为，
因为，当时，，
所以要使函数有两个零点，
则，即，
即，所以，
又由可得代入可得，，
即，两边同时取自然对数可得，
即，联立可得，解得，
所以的取值范围为；
2证明：由题意可得，即
，
由1得，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
故．
【探究总结】
对于给出含有参数的函数，并且满足在一定范围该函数有几个零点的问题，一般都是先对函数进行求导，对参数进行分类讨论，看参数在不同的范围内是否能满足题意，从而求出参数取值范围，因为是隐零点，所以需要整体代换，巧妙求解；第二问需要先放缩，将函数中的指数函数，放缩为易于处理的对勾函数。
(2021湖北省武汉市模拟)已知函数．
证明：在上单调递增；
已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
专题升华
取对数和去对数符号是相反的过程，但是在化简、计算、求值、证明中，若能巧妙地运用取对数与去对数符号的方法，则使问题简单化。在高中的函数、数列、不等式的学习过程中，“取对数”可以将乘方运算转化为乘法运算，将乘法运算转化为加法运算，恰当运用“取对数”，利用等价转化可以达到化难为易、化繁为简的目的。
另外对数求导法也是高等数学中求函数导数的一种重要的方法,其整体思路是当函数式较复杂(含乘,除,乘方,开方,指数函数,幂指函数等)时,可先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数。
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】对两边取以为底的对数得，即，
同理有，代入中得，
因为，所以，令，，则，整理可得，
解得或舍去，所以，
故选：．
变式训练2【答案】
【解析】，，
两端取对数可得，，
，
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
故选：．
变式训练3
【解析】，，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，且．
当时，，即，在上单调递增；
，时，，
不等式可化为，即
，由知，在上单调递增，
故只需在上恒成立，
两边同时取自然对数，得，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以最大值为．故的取值范围是．

展开更多......

收起↑