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2022年高考数学专题复习之--空间几何体的表面积与体积
【高考展望】
从近几年高考情况来看，本讲高考考查仍旧以选择题、填空题为主，难度中等。预测2022年将会考查：柱体、椎体、台体的表面积与体积；柱体、椎体、台体的外接、内切球的表面积与体积。其中柱体、椎体、台体的外接球与内切球的题目设计比较新颖，但只要知道了这类型题的方法，便可迎刃而解。本讲详细概括了各类型题目的解题方法以及对应的考题。考生可边看归纳边对号入座练习题目。
一、空间几何体的表面积和体积
㈠ 空间几何体的表面积和体积
Ⅰ、棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面的面积之和。
Ⅱ、圆柱、圆锥、圆台的表面积就是它们的底面积与侧面积之和。
①， ②，
③，
Ⅲ、球的表面积：
Ⅳ、柱体、锥体、台体和球的体积公式：
① （为底面积，为柱体高）； ② （为底面积，为锥体高）；
③ （，分别为上、下底面面积，为台体高）。
④
㈡ 求几何体的表面积和体积的方法
方法一：对于规则的几何体一般用公式法。 方法二：对于非规则的几何体一般用割补法。
二、与球有关的组合体问题
一般要直观地画出组合体的空间图形，再找到合适的轴截面，最后解直角三角形等。
三、长（正）方体的体对角线：
① 若长方体长、宽、高分别为：，则长方体体对角线长：
② 若正方体棱长为，则正方体体对角线：
四、多面体的外接球、内切球：
① 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
② 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
③ 长方体外接球半径：长方体体对角线长的一半。
④ 正方体内切球半径：正方体棱长的一半。
⑤ 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径。设其外接球的半径为，则有.
五、球的截面的性质：用一个平面去截一个球，截面是圆面. 球的截面有以下性质：
① 球心和截面圆心的连线垂直于截面；
② 球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系：.
六、柱体、锥体、台体沿侧面行程的距离最短问题：
求空间线段长度和的最小值问题，在很多情形下可以转化为平面几何中的最短路程问题，通常是将空间图形展开后加以处理.
简单的多面体可以沿着它的某些棱剪开展成平面图形，同样，圆柱、圆锥及圆台也可以沿着其母线剪开展成平面图形.
借助这些几何体的平面展开图，我们可以讨论一些最短路线问题.
考点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。
二、正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，我们就称这样的棱锥为正棱锥。
考点2 圆柱、圆锥、圆台的表面积
一、如果圆柱的底面半径为，母线长为，那么圆柱的底面积为，侧面积为，
因此，圆柱的表面积；
二、如果圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥的底面积为，侧面积为，
因此，圆锥的表面积；
三、如果圆台的两底面半径分别为，母线长为，那么它的侧面积为，
因此，圆台的表面积。
考点3 柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积
柱体 ，
锥体 ，
台体 ，
考点4 球的体积公式及表面积公式
一、半径为的球的体积公式：；
二、半径为的球的表面积公式：。
考法1 常见的求几何体体积的方法
一、几何体的体积的求法通常有以下几种：
（1）公式法：直接代入公式求解；
（2）等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面，为了求解的方便，我们经常需要换底。
此法在求点到平面的距离时也常用到，即。
（3）分割法：把几何体分割成若干个常规的几何体的体积问题。
（4）补形法：把不规则的几何体补成柱、锥、台体，再用柱、锥、台体的体积公式求解。
二、知识拓展：体积计算的方法——割补法。
（一）当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或补形的方法，将它变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算。
（二）当一个几何体体积很难计算时，也可考虑通过割补法求解，经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体、将三棱柱还原为平行六面体、将台体还原为锥体等。
以下是几种常见的还原方法：
（1）将正四面体补为正方体，如图所示，
（2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图所示，
（3）将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，
如图所示，。
（4）将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图所示，
（5）将三棱柱补成平行六面体，如图所示，
（6）将台体还原成锥体，如图所示，
考法2 组合体的表面积和体积的计算方法
求组合体表面积和体积的一般步骤：
第一步：弄清组合体是由哪几种简单几何体组合而成，是接拼，还是挖去，还是截取；
第二步：分别求出各简单几何体的表面积和体积；
第三步：计算结果。组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，其体积是各简单几何体的体积之和（若是“挖去”，则是体积之差）。
考法3 与球有关的组合体的表面积和体积的计算方法
Ⅰ、与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径。对于球与旋转体的组合，通常作出它们的轴截面解题；对于球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图解题。
Ⅱ、解决几何体的外接球与内切球的方法：
一、外接球的问题
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径或确定球心的位置问题，其中球心的确定是关键。
（一）由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论：
结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点；
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点；
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到；
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
（二）构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处。以下是常见的、基本的几何体补成长方体或正方体的途径与方法。
途径1：正四面体可构造成正方体；
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体可构造成长方体或正方体；
途径3：相对的棱相等的三棱锥可构造成正方体或长方体。
（三）由性质确定球心
利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂直于
弦的性质，确定球心。
二、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等；
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合；
3、体积分割是求内切球半径的通用做法；
4、若棱锥的体积为，表面积为，则内切球的半径为。
2022年高考数学专题复习之--空间几何体的表面积与体积
题型一、柱体、锥体、台体的表面积和体积
1．如下左图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈。高五丈。问积几何？（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如上中图，下底边长丈，上底边长丈，高丈，问它的体积是多少立方丈？）（ ）
A． B． C． D．
3．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如上右图所示的，其中
，，则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
4．某空间几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．一个棱锥的三视图如上中图，则该棱锥的全面积（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
6．一个几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
题型二、球的表面积和体积
1．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径。若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为________
题型三、侧面展开图
1. 某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如下图。圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A. B. C. D.
2．已知圆锥底面半径为，母线长为，某质点从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥侧面一周，再次回到点，则该质点经过的最短路程为
题型四、四面体的外接球问题
1．已知正三棱锥的正视图和俯视图如下图所示，则此三棱锥的外接球的表面积
为（ ）
A． B． C. D.
2．如下图，在等腰梯形中，，，为的中点．
将与分别沿向上折起，使重合于点，则三棱锥
的外接球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
3．在三棱锥中，两两垂直，，是棱上一个动点，若直线与平面所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．一个几何体的三视图及部分数据如下左图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为
5．某三棱锥的三视图如上右图所示，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知三棱锥中， ，，，则三棱锥的外接球的表面积是
7．四面体的四个顶点的坐标为，，，，则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知菱形中，，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为
题型五、三棱柱的外接球问题
1．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，
，则该球的表面积为（ ）
A．16 B．24 C．48 D． 32
3．三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为　 　
4．已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为 ．
题型六、四棱锥的外接球问题
1．一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马。若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体三视图如图 (单位：cm)，则该几何体
的外接球表面积是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
题型七、几何体的内切球问题
1．已知一个三棱锥的体积和表面积分别为，若，则该三棱锥内切球的表面积
为
2．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，
，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ）
A. B. C. D.
4．已知正四面体的棱长为，如果一个高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为
题型八、球的截面的问题
1．平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积
为（ ）
A． B． C． D．
2．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为
球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B. C. D.
4. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
题型九、数学文化题
1．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取3，估算小城堡的体积为（ ）
A．1998立方尺　　　B．2012立方尺　　　C．2112立方尺　　　D．2324立方尺
2．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为，那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）
A. B. C. D.
3. 如下左图，正三棱锥中，两两互相垂直，，设点是内一点，现定义，其中分别是三棱锥，，的体积。若，则的最小值为
4．半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的几何体，体现了数学的对称美。将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体。如上右图所示，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体。若二十四等边体的棱长为，且其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
2022年高考数学专题复习之--空间几何体的表面积与体积 答案
题型一、柱体、锥体、台体的表面积和体积：
1、C 分析：该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成。其中；，，
所以。
2、B 分析：。
3、B 分析：根据斜二测画法可知，原是以为底，高为的等腰三角形。
又，故为边长为2的正三角形。旋转一周后形成的几何体是由两个底面半径为，高为1的圆锥组合而成。故。
4、B 分析：可在长方体中寻找三视图所对应的的几何体。
如下左图所示，正四棱锥挖去一个半圆锥即为该三视图所对应的几何体。
所以。
5、A 分析：由三视图可得，该几何体为三棱锥，其直观图如上中图所示，
面面，，取边中点，则面，且，
取边中点，则，且，
由此可得，此三棱锥的表面积为
，故应选A。
6、C 分析：可在长方体中寻找三视图所对应的的几何体。
如上右图所示，即为该三视图所对应的几何体。
所以。
题型二、球的表面积和体积
1、B
2、B 分析：因底面边长为,故底面中心到顶点的距离是,即球的截面圆的半径为,
所以,其表面积为,故应选B.
3、 【解析】如下左图，取的中点，连接，因为，
所以，因为平面平面，所以平面
设，，所以
所以球的表面积为。
题型三、侧面展开图：
1、B 分析：如上中图两图，易得，，，所以。
2、 分析：如上右图，由题意得该质点经过的最短路程为侧面展开图中弦的长度，
因为底面圆的周长为，母线长为，所以侧面展开图的扇形的圆心角为，
即，由余弦定理可得，，所以。
题型四、四面体的外接球问题
1、D 分析：由主视图得到正三棱锥的侧棱长为，由俯视图得到正三棱锥的底面是边长为的正三角形，经计算，正三棱锥的高为，外接球的半径为，所以外接球的表面积为：。
2、C 分析：由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1，∴折叠后得到一个正四面体. 方法一（如右图）：作AF⊥平面DEC，垂足为F，
F即为△DEC的中心。，
，
在中，，解得：，
方法二（如右图）：把正四面体放在正方体中。
显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球。
∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为，
∴外接球直径2R=，，
以下同方法一。所以选C
3、A 分析：如下左图，两两垂直，可得平面，
则为直线与平面所成的角。当最大时，最小。
此时为点到直线的距离，即。由，可得，
设，则，由，可得，
所以，解得，所以，所以。
4、 分析：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，
其直观图如上中图，O为BD的中点，∵正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC=OD，∴几何体的外接球的半径为1，
∴外接球的体积：。
5、C 分析：根据几何体的三视图得该几何体是如上右图所示的三棱锥，且侧棱底面
，所有面都为直角三角形，取中点，由直角三角形斜边中点到各个顶点的距离都
相等，得点即为此三棱锥外接球的球心，由三视图易得直径，所以三棱锥外接球
的体积为：。
6、 分析：将四面体放置于长方体中，如图所示，
因为四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个，
所以长方体的外接球就是四面体的外接球，
因为，，，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，
所以，所以，所以，
所以，所以。
7、B 分析：在空间直角坐标系中画出四面体的图象，由图可知，，
计算得，，所以该四面体侧棱底面，
且底面是边长为的正三角形。所以底面正三角形的外接圆半径为，
球心必在过中点且平行于底面的平面上。所以球半径，
所以。
法二、建系法：
设球心坐标，因为，，，在球上，
所以①，②，
③，由①得，，由②得，，由③得，。
所以球心坐标，球的半径，
所以。
8、 分析：如图，设外接球的球心为，则到的距离相等，连接，
过分别作平面，平面的垂线，垂足分别为，
则分别为，的中心。设的中点，
则，
所以，，可得，，
在中，，解得，
在中，，即，
所以，所以。
题型五、三棱柱的外接球问题
1、B 分析：由题意，原三棱柱的底面棱长为，高为，
经计算可得底面三角形的高为，则底面外接圆半径，
球心到底面的球心距，则球的半径，
所以.
2、C 分析：由题意画出几何体的图形如下左图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线
的中点与A的距离为球的半径，
AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，
，，
所以球的表面积为：
3、 分析：在中，，，由余弦定理可得，
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在中，
得球半径，故此球的表面积为．故答案为：．
4、 分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为，所以其表面积的最小值为.
题型六、四棱锥的外接球问题
1、D 分析：如下左图，正四棱锥的底面对角线的长为：，
因为所有棱长均为1的正四棱锥，，
所以AC为正四棱锥外接球的直径．所以所求球的半径为：，
所以球的体积为：，故选D。
2、D 分析：如上右图，易得为二面角的平面角，所以，
所以，将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为的长方体，
易得，，所以。
3、B 分析：如下图，将四棱锥S–ABCD补形成三棱柱，
可知四棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，
球心即为上下底面连线的中点，由三视图可知，SE⊥底面ABCD，设，
则，在中，，所以，
在中，，。
4、【答案】D
题型七、几何体的内切球问题
1、【答案】
2、B 分析：要使球的体积最大，必须球的半径R最大。由题意知，
①当球与直三棱柱的三个侧面都相切时，可求得球的半径为，
方法：该半径可由俯视图的内切圆的半径来计算；
②当球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径为。
综上，因为球必须在正三棱柱内，所以球的半径的最大值为，
此时球的体积为，故选B。
3、【答案】C.
4、 分析：设正四面体如图所示，可得它的内切球的球心必定在高线上，延长交于点，则为的中点，连接，则内切球切于点，连接，
因为是正三角形的中心，所以，
根据正四面体的对称性，易得点在上，且，
所以，所以，而，所以，所以，
即，所以，，所以内切球的半径，
因为正四面体棱长为，所以，所以，
所以，要满足一个高为的长方体能在该正四面体内任意转动，
则长方体的对角线长不超过正四面体的内切球的直径，设该长方体的长和宽分别为，
则，化简得，，
所以。
题型八、球的截面的问题
1、B
2、A 分析：如下左图，由题意得，，
故，因此顶点到底面的距离为，
又，故。
3、C 分析：如上中图，当点位于垂直于面的直径端点时，
三棱锥的体积最大，
设球的半径为，此时，所以，
所以球的表面积为，故选C。
4、A 分析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面所成的
角都相等。如上右图，正方体中，易知棱所在直线与平面
所成的角均相等，所以平面。当平面趋近于点时，截面图形的面积趋近于；
当平面经过正方体的中心时，截面图形为正六边形，
其边长为，截面图形的面积为；
当平面趋近于点时，截面图形的面积趋近于。
所以截面图形面积的最大值为，故选A。
解题关键：利用正方体的性质，将每条棱所在直线与
平面所成角转化为共顶点的三条棱所在直线与平面所成角是解决本题的关键。
方法点拨：利用特殊位置与极限思想是解决选择题的常用方法。
题型九、数学文化题
1、C 分析：设圆柱体的底面半径为，则由题意，得，得，所以小城堡的体积（立方尺），故选C．注意：丈尺
2、B 分析：，又，所以，解得；
同理由可解得。
3、 分析：因为两两互相垂直，，
所以，又，所以，
所以，则，
当且仅当时，上式“=”成立。
所以的最小值为。
4、 分析：由已知根据该几何体的对称性可知，
该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为的正四棱柱的外接球。
所以，解得，所以。
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