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2021-2022学年下学期武汉初中数学七年级期中典型试卷2
一.选择题(共10小题)
1.(2021春 洪山区期中)下列实数,,3.14159,﹣,,0.3030030003中,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2021春 兴国县期末)下列图案是由图中所示的图案通过平移后得到的是( )
A. B. C. D.
3.(2012秋 南岸区期末)点P(3,﹣4),则点P在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(2021春 虎林市期末)下列说法不正确的是( )
A.的平方根是
B.﹣9是81的一个平方根
C.0.2的算术平方根是0.04
D.﹣27的立方根是﹣3
5.(2021春 江岸区期中)如图,∠1=∠2,∠3=112°,则∠4等于( )
A.62° B.68° C.78° D.112°
6.(2021春 江岸区期中)一个正方形的面积扩大为原来9倍,它的周长变为原来的( )倍.
A.2 B.3 C.9 D.12
7.(2021秋 临渭区期中)已知A点的坐标为(3,a+3),B点的坐标为(a,a﹣4),AB∥y轴,则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.13
8.(2021春 青山区期中)下列命题中,真命题的个数有( )
①无限小数是无理数;
②立方根等于它本身的数有两个,是0和1;
③同位角相等;
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9.(2021春 红谷滩区校级期中)已知≈0.5981,≈1.289,≈2.776,则≈( )
A.27.76 B.12.89 C.59.81 D.5.981
10.(2021春 武昌区期中)如图,一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发,向正东走3米到达点A1,再向正北方向走6米到达点A2,再向正西方向走9米到达点A3,再向正南方向走12米到达点A4,再向正东方向走15米到达点A5,以此规律走下去,当种子到达点A10时,它在坐标系中坐标为( )
A.(﹣12,﹣12) B.(15,18) C.(15,﹣12) D.(﹣15,18)
二.填空题(共6小题)
11.(2021春 洪山区期中)若a3=8,=2,则a+b= .
12.(2020秋 宝安区期末)实数a、b在数轴上所对应的点如图所示,则|﹣b|+|a+|+的值 .
13.(2002 泸州)如图,某宾馆在重新装修后,准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价30元,主楼梯道宽2米,其侧面如图所示,则购买地毯至少需要 元.
14.(2021春 新洲区期中)把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点G,D、C分别在M、N的位置上,若∠EFG=55°,则∠2﹣∠1= .
15.(2021春 滨江区校级期末)如图a,已知长方形纸带ABCD,将纸带沿EF折叠后,点C、D分别落在H、G的位置,再沿BC折叠成图b,若∠DEF=72°,则∠GMN= °.
16.(2021春 江岸区期中)平面直角坐标系中,点M(x,y),N(x﹣2ky,y﹣3kx),MN=7OM,当点M在y轴正半轴上时,k= .
三.解答题(共8小题)
17.(2021春 青山区期中)计算:
(1)|﹣|+2;
(2)﹣()2﹣﹣.
18.(2021春 青山区期中)如图,直线AB,CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分.
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角为 ,∠DOE的邻补角为 .
(2)若∠AOC=90°,且∠BOE:∠EOD=2:3.求∠EOC的度数.
19.(2021春 武昌区期中)完成下面的推理填空:
如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:∠D=∠DCE.
证明:∵AB∥CD,
∴∠2=∠BAE( ).
∵∠BAE=∠3+ ,
∴∠2=∠3+ ,
∵∠3=∠4,
∴∠2=∠CAD,
又∵∠2= ,
∴∠CAD= ,
∴AD∥ ( ).
∴∠D=∠DCE.( ).
20.(2021春 武昌区期中)平面直角坐标系中,将点A、B先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位后,分别得到点A′(3,﹣2)、B′(2,﹣4).
(1)点A坐标为 ,点B坐标为 ,并在图中标出点A、B;
(2)若点C的坐标为(2,﹣2),求△ABC的面积;
(3)在(2)的条件下,如图所示网格中,点E为图中格点(不与C重合),且使得△ABE与△ABC的面积相等,符合条件的E点有 个.
21.(2021春 洪山区期中)在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,我们将小正方形的顶点叫做格点,如图,△ABC的三个顶点均在格点上.仅用一把无刻度直尺在给定的网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,按步骤完成下列问题:
(1)将△ABC先向右平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到对应的△A1B1C1,画出平移后的△A1B1C1;
(2)如图,AC边上有一格点M,试在AB上找一点N,使得MN∥BC;
(3)连BM,计算△MBC的面积为 (直接写出结果).
22.(2021春 洪山区期中)【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线,入射光线与法线的夹角i叫做入射角,反射光线与法线的夹角r叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的规律:
在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一平面内;反射光线、入射光线分别位于法线两侧;反射角等于入射角.这就是光的反射定律(reflectionlaw).
【数学推理】如图1,有两块平面镜OM,ON,且OM⊥ON,入射光线AB经过两次反射,得到反射光线CD.由以上光的反射定律,可知入射角与反射角相等,进而可以推得他们的余角也相等,即:∠1=∠2,∠3=∠4.在这样的条件下,求证:AB∥CD.
【尝试探究】两块平面镜OM,ON,且∠MON=α,入射光线AB经过两次反射,得到反射光线CD.
(1)如图2,光线AB与CD相交于点E,则∠BEC= ;
(2)如图3,光线AB与CD所在的直线相交于点E,∠BED=β,则α与β之间满足的等量关系是 .
23.(2021春 新洲区期中)如图,直线HD∥GE,点A在直线HD上,点C在直线GE上,点B在直线DH、GE之间,∠DAB=120°.
(1)如图1,若∠BCG=40°,求∠ABC的度数;
(2)如图2,AF平分∠HAB,BC平分∠FCG,∠BCG=20°,比较∠B,∠F的大小;
(3)如图3,点P是线段AB上一点,PN平分∠APC,CN平分∠PCE,探究∠HAP和∠N的数量关系,并说明理由.
24.(2021春 官渡区期末)如图,以直角三角形AOC的直角顶点O为原点,以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,点A(0,a),C(b,0)满足+|b﹣2|=0.
(1)则C点的坐标为 ;A点的坐标为 .
(2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发,P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动,点Q到达A点整个运动随之结束.AC的中点D的坐标是(1,2),设运动时间为t(t>0)秒.问:是否存在这样的t,使S△ODP=S△ODQ?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由
(3)点F是线段AC上一点,满足∠FOC=∠FCO,点G是第二象限中一点,连OG,使得∠AOG=∠AOF.点E是线段OA上一动点,连CE交OF于点H,当点E在线段OA上运动的过程中,的值是否会发生变化?若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由.
2021-2022学年下学期武汉初中数学七年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2021春 洪山区期中)下列实数,,3.14159,﹣,,0.3030030003中,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】无理数;算术平方根;立方根.
【专题】实数;数感.
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
【解答】解:是分数,属于有理数;
3.14159,0.3030030003是有限小数,属于有理数;
是整数,属于有理数;
无理数有,,共2个.
故选:B.
【点评】此题考查了无理数的定义.解题的关键是掌握无理数的定义,注意初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.
2.(2021春 兴国县期末)下列图案是由图中所示的图案通过平移后得到的是( )
A. B. C. D.
【考点】利用平移设计图案.
【专题】平移、旋转与对称;几何直观.
【分析】根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解:A、由图中所示的图案通过旋转而成,故本选项错误;
B、由图中所示的图案通过平移而成,故本选项正确;
C、由图中所示的图案通过旋转而成,故本选项错误;
D、由图中所示的图案通过翻折而成,故本选项错误.
故选:B.
【点评】本题考查的是利用平移设计图案,熟知图形平移变换的性质是解答此题的关键.
3.(2012秋 南岸区期末)点P(3,﹣4),则点P在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】点的坐标.
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答.
【解答】解:点P(3,﹣4)在第四象限.
故选:D.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
4.(2021春 虎林市期末)下列说法不正确的是( )
A.的平方根是
B.﹣9是81的一个平方根
C.0.2的算术平方根是0.04
D.﹣27的立方根是﹣3
【考点】立方根;平方根;算术平方根.
【分析】根据平方根的意义,可判断A、B,根据算术平方根的意义.可判断C,根据立方根的意义,可判断D.
【解答】解:A、,故A选项正确;
B、=﹣9,故B选项正确;
C、=0.2,故C选项错误;
D、=﹣3,故D选项正确;
故选:C.
【点评】本题考查了立方根,平方运算是求平方根的关键,立方运算是解立方根的关键.
5.(2021春 江岸区期中)如图,∠1=∠2,∠3=112°,则∠4等于( )
A.62° B.68° C.78° D.112°
【考点】平行线的判定与性质.
【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力.
【分析】首先证明a∥b,可得∠3=∠5=112°,再根据邻补角的性质即可解决问题.
【解答】解:如图,
∵∠1=∠2,∠2=∠ABC,
∴∠1=∠ABC,
∴a∥b,
∴∠3=∠DEF=112°,
∴∠4=180°﹣112°=68°,
故选:B.
【点评】本题考查平行线的判定和性质,平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系,平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
6.(2021春 江岸区期中)一个正方形的面积扩大为原来9倍,它的周长变为原来的( )倍.
A.2 B.3 C.9 D.12
【考点】算术平方根.
【专题】计算题;运算能力.
【分析】根据一个正方形的面积扩大为原来9倍,可得边长扩大为原来的3倍,要求它的周长变为原来的多少倍,由正方形的周长公式即可求解.
【解答】解:∵一个正方形的面积扩大为原来9倍,
∴它的边长扩大为原来的=3倍,
∴它的周长变为原来的3倍.
故选:B.
【点评】此题考查了算术平均数,关键是掌握算术平均数的变化规律,用到的知识点是算术平均数、正方形的面积.
7.(2021秋 临渭区期中)已知A点的坐标为(3,a+3),B点的坐标为(a,a﹣4),AB∥y轴,则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.13
【考点】坐标与图形性质.
【专题】平面直角坐标系;推理能力.
【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等,可得a=3,值根据同一条直线上两点间的距离是大数减小数,可得答案.
【解答】解:由题意得:a=3,
∴a+3=6,a﹣4=﹣1,
A(6,3),B(﹣1,3),
AB=6﹣(﹣1)=7,
故选:C.
【点评】本题考查了坐标与图形的性质,由平行于y轴的直线上点的横坐标相等求得a的值是解题关键.
8.(2021春 青山区期中)下列命题中,真命题的个数有( )
①无限小数是无理数;
②立方根等于它本身的数有两个,是0和1;
③同位角相等;
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【考点】命题与定理.
【专题】实数;线段、角、相交线与平行线;数感.
【分析】根据无理数的定义对①进行判断;利用﹣1的立方根为﹣1对②进行判断;根据平行线的性质对③进行判断;根据平行公理可对④进行判断.
【解答】解:无限不循环小数是无理数,所以①为假命题;
立方根等于它本身的数有三个,是0和±1,所以②为假命题;
两直线平行,同位角相等,所以③为假命题;
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以④为假命题.
故选:A.
【点评】本题考查了命题于定理:命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
9.(2021春 红谷滩区校级期中)已知≈0.5981,≈1.289,≈2.776,则≈( )
A.27.76 B.12.89 C.59.81 D.5.981
【考点】立方根.
【专题】实数;运算能力.
【分析】先将化简成含有的式子再计算.
【解答】解:==×=10≈2.776×10=27.76.
故选:A.
【点评】本题考查求立方根的计算,解题关键是熟练掌握根式运算方法.
10.(2021春 武昌区期中)如图,一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发,向正东走3米到达点A1,再向正北方向走6米到达点A2,再向正西方向走9米到达点A3,再向正南方向走12米到达点A4,再向正东方向走15米到达点A5,以此规律走下去,当种子到达点A10时,它在坐标系中坐标为( )
A.(﹣12,﹣12) B.(15,18) C.(15,﹣12) D.(﹣15,18)
【考点】规律型:点的坐标.
【专题】规律型;推理能力.
【分析】由题意可知:OA1=3;A1A2=3×2;A2A3=3×3;可得规律:An﹣1An=3n,根据规律可得到A9A10=3×10=30,进而求得A10的横纵坐标.
【解答】解:根据题意可知:OA1=3,A1A2=6,A2A3=9,A3A4=12,A4A5=15,A5A6=18 ,A9A10=30,
∴A1点坐标为(3,0),
A2点坐标为(3,6),
A3点坐标为(﹣6,6),
A4点坐标为(﹣6,﹣6),
A5点坐标为(9,﹣6),
A6点坐标为(9,12),
以此类推,A9点坐标为(15,﹣12),
所以A10点横坐标为15,纵坐标为﹣12+30=18,
∴A10点坐标为(15,18),
故选:B.
【点评】本题主要考查了坐标确定位置的运用,解题的关键是发现规律,利用规律解决问题,解题时注意:各象限内点P(a,b)的坐标特征为:①第一象限:a>0,b>0;②第二象限:a<0,b>0;③第三象限:a<0,b<0;④第四象限:a>0,b<0.
二.填空题(共6小题)
11.(2021春 洪山区期中)若a3=8,=2,则a+b= 6 .
【考点】立方根;算术平方根.
【专题】二次根式;运算能力.
【分析】根据立方根的概念得a的值,根据算术平方根的概念得b的值,然后代入计算可得答案.
【解答】解:∵a3=8,=2,
∴a=2,b=4,
∴a+b=2+4=6.
故答案为:6.
【点评】此题考查的是立方根与平方根,掌握其概念是解决此题关键.
12.(2020秋 宝安区期末)实数a、b在数轴上所对应的点如图所示,则|﹣b|+|a+|+的值 ﹣2a﹣b .
【考点】实数的运算;实数与数轴.
【专题】实数;符号意识.
【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案.
【解答】解:由数轴可得:a<﹣,0<b<,
故|﹣b|+|a+|+
=﹣b﹣(a+)﹣a
=﹣b﹣a﹣﹣a
=﹣2a﹣b.
故答案为:﹣2a﹣b.
【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴,正确化简各式是解题关键.
13.(2002 泸州)如图,某宾馆在重新装修后,准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价30元,主楼梯道宽2米,其侧面如图所示,则购买地毯至少需要 504 元.
【考点】生活中的平移现象.
【专题】压轴题.
【分析】根据题意,结合图形,先把楼梯的横竖向上向左平移,构成一个矩形,再求得其面积,则购买地毯的钱数可求.
【解答】解:如图,利用平移线段,把楼梯的横竖向上向左平移,构成一个矩形,长宽分别为5.8米,2.6米,
∴地毯的长度为2.6+5.8=8.4米,地毯的面积为8.4×2=16.8平方米,
∴买地毯至少需要16.8×30=504元.
【点评】解决此题的关键是要利用平移的知识,把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算.
14.(2021春 新洲区期中)把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点G,D、C分别在M、N的位置上,若∠EFG=55°,则∠2﹣∠1= 40° .
【考点】平行线的性质.
【专题】线段、角、相交线与平行线.
【分析】由折叠的性质可得,∠DEF=∠GEF,根据平行线的性质可得,∠DEF=∠EFG=55°,根据平角的定义即可求得∠1,从而再由平行线的性质求得∠2.
【解答】解:∵AD∥BC,∠EFG=55°,
∴∠DEF=∠FEG=55°,∠1+∠2=180°,
由折叠的性质可得,∠GEF=∠DEF=55°,
∴∠1=180°﹣∠GEF﹣∠DEF=180°﹣55°﹣55°=70°,
∴∠2=180°﹣∠1=110°,
∴∠2﹣∠1=110°﹣70°=40°.
故答案为:40°.
【点评】此题主要考查折叠的性质以及平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补.
15.(2021春 滨江区校级期末)如图a,已知长方形纸带ABCD,将纸带沿EF折叠后,点C、D分别落在H、G的位置,再沿BC折叠成图b,若∠DEF=72°,则∠GMN= 72 °.
【考点】平行线的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;平移、旋转与对称;几何直观;推理能力.
【分析】先根据∠DEF=72°求出∠EFC的度数,进可得出∠EFB和∠BFH的度数,根据∠H=90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数,再由折叠的性质可得∠GMN.
【解答】解:∵AD∥CB,
∴∠EFC+∠DEF=180°,∠EFB=∠DEF,
即∠EFC=180°﹣72°=108°,∠EFB=72°,
∴∠BFH=108°﹣72°=36°.
∵∠H=∠D=90°,
∴∠HMF=180°﹣90°﹣36°=54°.
由折叠可得:∠NMF=∠HMF=54°,
∴∠GMN=72°.
故答案为:72.
【点评】本题考查的是平行线的性质,由折叠的性质得到角相等是解题关键.
16.(2021春 江岸区期中)平面直角坐标系中,点M(x,y),N(x﹣2ky,y﹣3kx),MN=7OM,当点M在y轴正半轴上时,k= ± .
【考点】坐标与图形性质.
【专题】平面直角坐标系;运算能力.
【分析】根据M在y轴正半轴上,得出x=0,得出MN∥x轴,进而求出MN=|2ky|,OM=y,列出方程求解即可.
【解答】解:∵M在y轴正半轴上.
∴x=0,y>0.
∴OM=y,N(﹣2ky,y).
∴MN=|2ky|.
∴|2ky|=7y.
∴k=±.
故答案为:±.
【点评】本题考查了点的坐标,y轴上点的横坐标为0,根据MN=7OM得出关于k的方程是解题关键.
三.解答题(共8小题)
17.(2021春 青山区期中)计算:
(1)|﹣|+2;
(2)﹣()2﹣﹣.
【考点】实数的运算.
【专题】实数;运算能力.
【分析】(1)直接去绝对值,再合并数据计算即可;
(2)直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案.
【解答】解:(1)原式=﹣+2
=3﹣;
(2)原式=﹣﹣+2
=.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
18.(2021春 青山区期中)如图,直线AB,CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分.
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角为 ∠BOC ,∠DOE的邻补角为 ∠COE .
(2)若∠AOC=90°,且∠BOE:∠EOD=2:3.求∠EOC的度数.
【考点】对顶角、邻补角.
【专题】线段、角、相交线与平行线;运算能力.
【分析】(1)利用对顶角、邻补角的定义直接回答即可;
(2)根据对顶角相等求出∠BOD的度数,再根据∠BOE:∠EOD=2:3求出∠DOE的度数,然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠COE的度数.
【解答】解:(1)∠AOD的对顶角为∠BOC,∠DOE的邻补角为∠COE;
故答案为:∠BOC,∠COE;
(2)∵∠DOB=∠AOC=90°,∠DOB=∠BOE+∠EOD,∠BOE:∠EOD=2:3,
∴∠EOD=∠BOE,
∴∠BOE+∠BOE=90°,
∴∠BOE=36°,
∴∠DOE=54°,
∴∠COE=180°﹣∠DOE=126°.
【点评】本题主要考查了对顶角,邻补角的定义,利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解.
19.(2021春 武昌区期中)完成下面的推理填空:
如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:∠D=∠DCE.
证明:∵AB∥CD,
∴∠2=∠BAE( 两直线平行,同位角相等 ).
∵∠BAE=∠3+ ∠CAE ,
∴∠2=∠3+ ∠CAE ,
∵∠3=∠4,
∴∠2=∠CAD,
又∵∠2= ∠1 ,
∴∠CAD= ∠1 ,
∴AD∥ BC ( 内错角相等,两直线平行 ).
∴∠D=∠DCE.( 两直线平行,内错角相等 ).
【考点】平行线的判定与性质.
【专题】证明题;线段、角、相交线与平行线;推理能力.
【分析】利用平行线的性质和角的和差关系,说明∠1与∠DAC的关系,再利用平行线的性质和判定得结论.
【解答】证明:∵AB∥CD,
∴∠2=∠BAE(两直线平行,同位角相等).
∵∠BAE=∠3+∠CAE,
∴∠2=∠3+∠CAE,
∵∠3=∠4,
∴∠2=∠CAD,
又∵∠2=∠1,
∴∠CAD=∠1,
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
∴∠D=∠DCE( 两直线平行,内错角相等).
故答案为:两直线平行,同位角相等;∠CAE;∠CAE;∠1;∠1;BC;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
【点评】本题考查了平行线的性质和判定,掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键.
20.(2021春 武昌区期中)平面直角坐标系中,将点A、B先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位后,分别得到点A′(3,﹣2)、B′(2,﹣4).
(1)点A坐标为 (1,1) ,点B坐标为 (0,﹣1) ,并在图中标出点A、B;
(2)若点C的坐标为(2,﹣2),求△ABC的面积;
(3)在(2)的条件下,如图所示网格中,点E为图中格点(不与C重合),且使得△ABE与△ABC的面积相等,符合条件的E点有 5 个.
【考点】三角形综合题.
【专题】三角形;应用意识.
【分析】(1)由平移的性质可求解;
(2)由三角形的面积公式可求解;
(3)由等底等高的三角形的面积相等,可求解.
【解答】解:(1)∵将点A、B先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位后,分别得到点A′(3,﹣2)、B′(2,﹣4).
∴点A(1,1),点B(0,﹣1),
如图所示,
故答案为(1,1),(0,﹣1);
(2)S△ABC=2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3=;
(3)如图,过点A作BC的平行线,过点B作AC的平行线,两个平行线交于点E3,过点C和点E3作AB的平行线与网格相交于E1,E2,E4,E5四个格点,
∴符合条件的E点有5个,
故答案为:5.
【点评】本题是三角形综合题,考查了平移的性质,三角形的面积公式,平行线的性质等知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.
21.(2021春 洪山区期中)在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,我们将小正方形的顶点叫做格点,如图,△ABC的三个顶点均在格点上.仅用一把无刻度直尺在给定的网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,按步骤完成下列问题:
(1)将△ABC先向右平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到对应的△A1B1C1,画出平移后的△A1B1C1;
(2)如图,AC边上有一格点M,试在AB上找一点N,使得MN∥BC;
(3)连BM,计算△MBC的面积为 2 (直接写出结果).
【考点】作图﹣平移变换;平行线的性质.
【专题】作图题;几何直观.
【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可.
(2)利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
(3)根据S△BCM=S△ABC,求解即可.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作.
(2)如图,线段MN即为所求作.
(3)S△BCM=S△ABC=××4×3=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查作图﹣平移变换,三角形的面积等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
22.(2021春 洪山区期中)【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线,入射光线与法线的夹角i叫做入射角,反射光线与法线的夹角r叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的规律:
在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一平面内;反射光线、入射光线分别位于法线两侧;反射角等于入射角.这就是光的反射定律(reflectionlaw).
【数学推理】如图1,有两块平面镜OM,ON,且OM⊥ON,入射光线AB经过两次反射,得到反射光线CD.由以上光的反射定律,可知入射角与反射角相等,进而可以推得他们的余角也相等,即:∠1=∠2,∠3=∠4.在这样的条件下,求证:AB∥CD.
【尝试探究】两块平面镜OM,ON,且∠MON=α,入射光线AB经过两次反射,得到反射光线CD.
(1)如图2,光线AB与CD相交于点E,则∠BEC= 180°﹣2α ;
(2)如图3,光线AB与CD所在的直线相交于点E,∠BED=β,则α与β之间满足的等量关系是 β=2a .
【考点】平行线的判定;余角和补角;垂线.
【专题】线段、角、相交线与平行线;运算能力.
【分析】【数学推理】根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即可得出∠DCB+∠ABC=180°,即可证得AB∥CD;
(1)根据三角形内角和定理求得∠2+∠3=125°,根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用∠DCB=180°﹣2∠3,∠ABC=180°﹣2∠2,得∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠BCD;
(2)利用平角的定义得出∠ABC=180°﹣2∠2,∠BCD=180°﹣2∠3,利用外角的性质∠BED=∠ABC﹣∠BCD=(180°﹣2∠2)﹣(180°﹣2∠3)=2(∠3﹣∠2)=β,而∠BOC=∠3﹣∠2=α,即可证得β=2α.
【解答】解:如图1,∵OM⊥ON,
∴∠CON=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∠DCB+∠ABC=180°,
AB∥CD;
【尝试探究】
(1)如图2,在△OBC中,∵∠MON=α,
∴∠2+∠3=180°﹣α,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠DCB=180°﹣2∠3,∠ABC=180°﹣2∠2,
∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠BCD
=180°﹣(180°﹣2∠2)﹣(180°﹣2∠3)
=2(∠2+∠3)﹣180°
=2(180°﹣a)﹣180°
=180°﹣2α,
故答案为:180°﹣2α;
(2)如图4,B=2a,
理由如下:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠ABC=180°﹣2∠2,
∠BCD=180°﹣2∠3,
∴∠D=∠ABC﹣∠BCD
=(180°﹣2∠2)﹣(180°﹣2∠3)
=2(∠3﹣∠2)=∠β,
∵∠BOC=∠3﹣∠2=a,
∴β=2a.
故答案为:β=2a.
【点评】本题考查了平行线的判定,三角形外角的性质以及三角形内角和定理,熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
23.(2021春 新洲区期中)如图,直线HD∥GE,点A在直线HD上,点C在直线GE上,点B在直线DH、GE之间,∠DAB=120°.
(1)如图1,若∠BCG=40°,求∠ABC的度数;
(2)如图2,AF平分∠HAB,BC平分∠FCG,∠BCG=20°,比较∠B,∠F的大小;
(3)如图3,点P是线段AB上一点,PN平分∠APC,CN平分∠PCE,探究∠HAP和∠N的数量关系,并说明理由.
【考点】平行线的性质.
【专题】线段、角、相交线与平行线;运算能力;推理能力.
【分析】(1)过点B作BM∥HD,则HD∥GE∥BM,根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM,便可求得最后结果;
(2)过B作BP∥HD∥GE,过F作FQ∥HD∥GE,由平行线的性质得,∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG,由角平分线的性质和已知角的度数分别求得∠HAF,∠FCG,最后便可求得结果;
(3)过P作PK∥HD∥GE,先由平行线的性质证明∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG,再根据角平分线求得∠NPC与∠PCN,由后由三角形内角和定理便可求得结果.
【解答】解:(1)过点B作BM∥HD,则HD∥GE∥BM,如图1,
∴∠ABM=180°﹣∠DAB,∠CBM=∠BCG,
∵∠DAB=120°,∠BCG=40°,
∴∠ABM=60°,∠CBM=40°,
∴∠ABC=∠ABM+∠CBM=100°;
(2)过B作BP∥HD∥GE,过F作FQ∥HD∥GE,如图2,
∴∠ABP=∠HAB,∠CBP=∠BCG,∠AFQ=∠HAF,∠CFQ=∠FCG,
∴∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG,
∵∠DAB=120°,
∴∠HAB=180°﹣120°=60°,
∵AF平分∠HAB,BC平分∠FCG,∠BCG=20°,
∴∠HAF=30°,∠FCG=40°,
∴∠ABC=60°+20°=80°,
∠AFC=30°+40°=70°,
∴∠ABC>∠AFC;
(3)过P作PK∥HD∥GE,如图3,
∴∠APK=∠HAP,∠CPK=∠PCG,
∴∠APC=∠HAP+∠PCG,
∵PN平分∠APC,
∴∠NPC=∠HAP+∠PCG,
∵∠PCE=180°﹣∠PCG,CN平分∠PCE,
∴∠PCN==90°﹣∠PCG,
∵∠N+∠NPC+∠PCN=180°,
∴∠N=180°﹣∠HAP﹣∠PCG﹣90°+∠PCG=90°﹣∠HAP,
即,∠N=90°﹣∠HAP.
【点评】本题考查了角平分线的定义,平行线性质和判定:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用,理清各角度之间的关系是解题的关键,也是本题的难点.
24.(2021春 官渡区期末)如图,以直角三角形AOC的直角顶点O为原点,以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,点A(0,a),C(b,0)满足+|b﹣2|=0.
(1)则C点的坐标为 (2,0) ;A点的坐标为 (0,4) .
(2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发,P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动,点Q到达A点整个运动随之结束.AC的中点D的坐标是(1,2),设运动时间为t(t>0)秒.问:是否存在这样的t,使S△ODP=S△ODQ?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由
(3)点F是线段AC上一点,满足∠FOC=∠FCO,点G是第二象限中一点,连OG,使得∠AOG=∠AOF.点E是线段OA上一动点,连CE交OF于点H,当点E在线段OA上运动的过程中,的值是否会发生变化?若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由.
【考点】坐标与图形性质;平行线的性质;三角形的面积;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根.
【专题】方程思想.
【分析】(1)根据绝对值和算术平方根的非负性,求得a,b的值即可;
(2)先得出CP=t,OP=2﹣t,OQ=2t,AQ=4﹣2t,再根据S△ODP=S△ODQ,列出关于t的方程,求得t的值即可;
(3)过H点作AC的平行线,交x轴于P,先判定OG∥AC,再根据角的和差关系以及平行线的性质,得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2,∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4,最后代入进行计算即可.
【解答】解:(1)∵+|b﹣2|=0,
∴a﹣2b=0,b﹣2=0,
解得a=4,b=2,
∴A(0,4),C(2,0);
(2)由条件可知:P点从C点运动到O点时间为2秒,Q点从O点运动到A点时间为2秒,
∴0<t≤2时,点Q在线段AO上,
即 CP=t,OP=2﹣t,OQ=2t,AQ=4﹣2t,
∴,,
∵S△ODP=S△ODQ,
∴2﹣t=t,
∴t=1;
(3)的值不变,其值为2.
∵∠2+∠3=90°,
又∵∠1=∠2,∠3=∠FCO,
∴∠GOC+∠ACO=180°,
∴OG∥AC,
∴∠1=∠CAO,
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4,
如图,过H点作AC的平行线,交x轴于P,则∠4=∠PHC,PH∥OG,
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2,
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4,
∴.
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质,解决问题的关键值作辅助线构造平行线.解题时注意:任意一个数的绝对值都是非负数,算术平方根具有非负性,非负数之和等于0时,各项都等于0.
考点卡片
1.非负数的性质:绝对值
在实数范围内,任意一个数的绝对值都是非负数,当几个数或式的绝对值相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值.
2.平方根
(1)定义:如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根.
(2)求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
一个正数a的正的平方根表示为“”,负的平方根表示为“﹣”.
正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根,记作.零的算术平方根仍旧是零.
平方根和立方根的性质
1.平方根的性质:正数a有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
2.立方根的性质:一个数的立方根只有一个,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
3.算术平方根
(1)算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为.
(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性:①被开方数a是非负数;②算术平方根a本身是非负数.
(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找.
4.非负数的性质:算术平方根
(1)非负数的性质:算术平方根具有非负性.
(2)利用算术平方根的非负性求值的问题,主要是根据被开方数是非负数,开方的结果也是非负数列出不等式求解.非负数之和等于0时,各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.
5.立方根
(1)定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.记作:.
(2)正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.
(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方,其中a叫做被开方数.
注意:符号a3中的根指数“3”不能省略;对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有唯一一个立方根.
【规律方法】平方根和立方根的性质
1.平方根的性质:正数a有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
2.立方根的性质:一个数的立方根只有一个,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
6.无理数
(1)、定义:无限不循环小数叫做无理数.
说明:无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数,即无限不循环小数. 如圆周率、2的平方根等.
(2)、无理数与有理数的区别:
①把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环小数,
比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数,比如2=1.414213562.
②所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能.
(3)学习要求:会判断无理数,了解它的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,如分数π2是无理数,因为π是无理数.
无理数常见的三种类型
(1)开不尽的方根,如等.
(2)特定结构的无限不循环小数,
如0.303 003 000 300 003…(两个3之间依次多一个0).
(3)含有π的绝大部分数,如2π.
注意:判断一个数是否为无理数,不能只看形式,要看化简结果.如是有理数,而不是无理数.
7.实数与数轴
(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.
任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之,数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数,不是有理数,就是无理数.
(2)在数轴上,表示相反数的两个点在原点的两旁,并且两点到原点的距离相等,实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.
(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.
8.实数的运算
(1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.
(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.
另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1.运算法则:乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.
2.运算顺序:先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.
3.运算律的使用:使用运算律可以简化运算,提高运算速度和准确度.
9.点的坐标
(1)我们把有顺序的两个数a和b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).
(2)平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法:在同一平面内画;两条有公共原点且垂直的数轴.
②各部分名称:水平数轴叫x轴(横轴),竖直数轴叫y轴(纵轴),x轴一般取向右为正方向,y轴一般取象上为正方向,两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴,又属于y轴.
(3)坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面,两轴把此平面分成四部分,分别叫第一象限,第二象限,第三象限,第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.
(4)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.
10.规律型:点的坐标
规律型:点的坐标.
11.坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:①到x轴的距离与纵坐标有关,到y轴的距离与横坐标有关;②距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当的符号.
2、有图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.
12.余角和补角
(1)余角:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.
(2)补角:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角.
(3)性质:等角的补角相等.等角的余角相等.
(4)余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联.
注意:余角(补角)与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿,只要度数之和满足了定义,则它们就具备相应的关系.
13.对顶角、邻补角
(1)对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
(2)邻补角:只有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.
(3)对顶角的性质:对顶角相等.
(4)邻补角的性质:邻补角互补,即和为180°.
(5)邻补角、对顶角成对出现,在相交直线中,一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两个角而言,是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.
14.垂线
(1)垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
(2)垂线的性质
在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意:“有且只有”中,“有”指“存在”,“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以.
15.平行线的判定
(1)定理1:两条直线被第三条所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单说成:同位角相等,两直线平行.
(2)定理2:两条直线被第三条所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行.
(3 )定理3:两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行.
(4)定理4:两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.
(5)定理5:在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
16.平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 简单说成:两直线平行,同位角相等.
定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补..简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等. 简单说成:两直线平行,内错角相等.
2、两条平行线之间的距离处处相等.
17.平行线的判定与性质
(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
(2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
(3)平行线的判定与性质的联系与区别
区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行.
联系:性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.
(4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角.
18.三角形的面积
(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半,即S△=×底×高.
(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
19.三角形综合题
三角形综合题.
20.命题与定理
1、判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.
2、有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
3、定理是真命题,但真命题不一定是定理.
4、命题写成“如果…,那么…”的形式,这时,“如果”后面接的部分是题设,“那么”后面解的部分是结论.
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
21.生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移变换,简称平移.
2、平移是指图形的平行移动,平移时图形中所有点移动的方向一致,并且移动的距离相等.
3、确定一个图形平移的方向和距离,只需确定其中一个点平移的方向和距离.
22.作图-平移变换
(1)确定平移后图形的基本要素有两个:平移方向、平移距离.
(2)作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
23.利用平移设计图案
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离,连续作图即可设计出美丽的图案.
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩.
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