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函数与导数—导数中的恒成立与存在性问题
专题综述
函数中的恒成立与存在性问题是高考的考查重点，这部分试题涉及函数方程，逻辑联结词，导数等知识，运用函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等多种思想方法.结合导数考查恒成立与存在性问题，试题难度较大，但题型大致可分为：①已知单调区间，或在某区间上存在单调递增（减）区间或；②利用单调性比较大小同构思想将式子两则变形为相同结构，构造函数利用单调性比较大小；③分离参数构造函数求最值；④含参讨论求函数最值；⑤图象法.对于部分存在性问题，可从正难则反的角度，将存在问题转化为恒成立问题，或直接列出不等式解决.
专题探究
探究1：与单调性结合
1.已知单调性转化为导函数恒成立问题
答题思路：
第一种:① 已知函数在区间上单调递增（减）
第二种：②已知函数在区间上存在递增（减）区间
i） ；
ii）转化为函数在区间上不存在递增（减）区间即；
第三种：已知即函数在区间上单调递增（间）转化为第一种情况
2.已知不等式恒成立转化为利用单调性解不等式问题
答题思路：同构法
第一步:将不等式两侧变形为相同结构；
第二步:构造函数，则不等式即为；
第三步:判断单调性，得出的关系，即为新的恒成立关系式. （专题1.3.10）
3.抽象函数：与共存问题构造函数判断函数单调性，利用单调性解不等式（专题1.3.6）.
（2021江苏南京月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
不等式中含有、，且两部分结构分离，不等式可变形为，联想到同构法的3种基本结构，即可以利用同构法，构造函数，利用单调性求参.
【思维引导】
不等式变形为 ，再变形为，构造函数，不等式即为.判断单调性，得出与的关系.
【规范解析】
解：由，得，
，
设，则不等式为，
又，
当时，恒成立
在上单调递增，
，，即
设，得，
令，则
在上单调递增，在上单调递减，
，
则，
得实数的取值范围是
故选
【探究总结】
同构法解决恒成立问题求参，应先观察不等式，尤其是不等式中含有，的结构，初步变形，再结合三种同构的基本模式，变形为，必要时涉及放缩.构造函数，利用函数单调性，得出的恒成立不等号式.
（2021安徽六安模拟）已知函数
（1）当时，证明：有解；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
探究2：转化为求一个函数最值
恒成立与存在性问题转化为求函数最值的思路：
第一种:分离参数：含参不等式转化为（或），求函数的最值；
第二种:对不等式化简变形，转化为的结构，含参讨论函数单调性，求出最值；
（2021陕西西安月考）已知函数
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．其中为自然对数的底数
【审题视点】
解答题中出现恒成立问题，首先选择分离参数，构造函数求最值；若构造的函数复杂，或解导数不等式困难，则对不等式作适当变形，构造含参函数，分类讨论，判断函数单调性.
【思维引导】
对不等式的结构进行变形，“化分为整”变为；构造函数，分类讨论函数的单调性.
【规范解析】
解：（1）当时，，所以，
此时，故，
在点处切线方程为，
即
（2）由题意得对任意恒成立
令，得，
设，
，
设，则，
在上单调递减，
，
①当时，，则在单调递增，
②当时，存在使得，
即，
在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，
即，，
即，
又在上单调递减，
，
综上所述：.
【探究总结】
解答题中的恒成立问题，经常会构造含参函数，分类讨论，判断函数单调性.对不等式的变形，尽量使分式化为整式，使函数变为或的结构，便于求导及解导数不等式.
（2021广东广州联考）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程;
（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值.
探究3：转化为求两个函数最值
1.恒成立或能成立的不等式，转化为上述两种形式，研究一个函数最值时，解导数不等式较困难，无法明确函数单调性，可以将不等式转化为的形式，转化为求两个函数的最值进行比较；
2.“”与“”共存的命题：
①；
②；
③；
④；
(2021湖北宜昌模拟）已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知正数满足：存在使得成立，求正实数的取值范围
【审题视点】
两问都是恒成立或者存在问题，思考方向为分离参数、构造含参函数、比较两个函数最值，根据不等式特点，选择适当的方法.
【思维引导】
（1）恒成立问题：分离参数构造函数求最值；（2），由于符号不确定，排除分离参数；若构造函数，其导函数较复杂，不利于判断单调性；不等式两侧的函数都是能够容易判断单调性的函数，故可转化比较不等式两侧的函数的最值，求参.
【规范解析】
解：（1）由题意得 ，恒成立，
即在上恒成立，
，
，
即对恒成立.
令，则对任意恒成立，
，
当且仅当时等号成立，
（2）由题意得 设，
则当时，
又
当时，，
在上单调递增，
令，，
，
，即在上单调递减，
，
即
【探究总结】
恒成立与存在性问题求参，首先要根据不等式结构选择合适的方法，确定解题方向.将不等式两侧 “合二为一”时，难以判断函数单调性，则将不等式“一分为二”，若不等式左右两侧结构一致，则利用同构法解决，若结构不一致，则分别求两个函数的最值.
(2021江苏镇江模拟）已知函数，其中，
（1）若是函数的极值点，求实数的值及的单调区间；
（2）若对任意的，使得恒成立，且，求实数的取值范围.
专题升华
利用导数解决恒成立与存在性问题，往往试题难度属于中高档题，题型涉及选择题、填空题和解答题,方法灵活，综合性强，是高考的热点和难点.解题时，要善于转化恒成立与能成立的不等式，才能 “拨开云雾见天日”.从导数知识点的角度看：
导数的几何意义：求出直线与函数图象相切时的斜率.若题干不等式能够转化为数形结合，从图象的角度理解为函数的图象在直线的下方，即求出直线与函数图象相切时的方程，从而求出参数的取值范围，作图时，需借助导数判断函数单调性.
导数研究单调性：（1）导数的符号决定原函数的单调性，若已知函数在区间上单调转化为导函数的恒成立问题；若已知函数在区间上存在单调区间转化为导函数的存在性问题；（2）利用单调性比较大小：①抽象函数利用与共存的不等式构造函数，判断单调性；② 同构法不等式变形为，判断的单调性，得出关于恒成立或能成立的不等式.
利用导数求最值：恒成立或能成立的不等式变形为，由不等式的形式灵活的选择适当的方法即分离参数构造函数求最值、含参讨论函数最值、比较两个函数的最值，求出参数取值范围.
【答案详解】
变式训练1
【解析】（1）证明：当时， ，
令
则，
在上单调递减.
又，，
，使得
当时，，则，
当时，，则，
在上单调递增，在单调递减
，故，有解.
（2）解：对任意，不等式恒成立，即恒成立，
即，
即恒成立.
令，则上式即为：
，为上的增函数，
，
令，则
当时，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，即实数的取值范围是
变式训练2
【解析】解：（1）当时，，
， ，
又，
所求切线的方程为，即为，
（2）当时，即，
令，则，
令，则，
当时，，
在区间上单调递减
又，
在区间上存在一个零点，
则，即，
当时，，即，函数单调递增，
当时，，即，函数单调递减，
，
则，
，
正整数的最小值是
变式训练3
【解析】解：由题意得 ；
，即，
或；
经检验，或时，是函数的极值点，
或；
由，，则
令，则
在上单调递减；在上单调递增
（2），，恒成立，
即 时， ，
当时，
函数在上是减函数．
当时， ， ，
令，则
①当时，恒成立
函数在上是增函数．
由，得，又，
②当时，
函数在上是减函数，在上是增函数．
，得，
综上所述：

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