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立体几何-空间几何体中的翻折问题
专题综述
空间几何体中的翻折问题往往是将平面图形沿确定的点、直线、平面翻折后变成空间立体图形，再根据平面图形的数量关系、位置关系等来研究空间几何图形中点、线、面等元素间的数量关系、位置关系、轨迹方程等问题。对于翻折问题一定要理清翻折前后的不变关系和不变量，通常在折痕的同侧的位置关系和线的长度、角度的大小不变，但在折痕两侧的线的长度、角度以及位置关系都有变化，这一点是处理翻折问题的关键之处。
专题探究
探究1：翻折中的计算问题
将平面几何图形翻折成空间几何体，会带来线段的长度和角度的变化，从而影响线、面位置关系，解决这类问题的关键是需要分清楚翻折前后的变化，需要一定的空间想象能力。
求解翻折问题的基本方法：
第一步：根据题设条件画出立体图形
第二步：比较翻折前后的图形,弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变,哪些已发生变化
第三步：将不变的条件集中到空间几何体中,将问题归结为条件与结论明朗化的立几问题。
(2021山东省潍坊市模拟)已知四边形，，
，将沿翻折至．
若，求证；
若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【审题视点】
如何根据题设条件建立合适的空间直角坐标系？
【思维引导】
利用线面垂直的判定及性质即可,
先取的中点，的中点，过，证明平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦值．
【规范解析】
证明：设,则
即，，，
又，,平面,
∴平面，平面，
取中点,中点,连接,,则，
∵ 平面,平面，，
∴平面,∴，
∵平面, ∴平面平面，
过,平面,平面平面，
∴平面，设，，
以为坐标原点，分别为，轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，，
设为平面法向量，
即,取,可得,
设与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【探究总结】
翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个空间图形，解决折叠额问题时，要把运动着的空间图形不断与原图形进行对照，看清楚哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。
(2021四川省成都市模拟)如图，在直角梯形中，，，，，矩形沿翻折，使得平面平面．
若，证明：平面平面；
当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
探究2：翻折中的最值问题
解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解决途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法（如三角函数等）及高阶函数拐点导数法等.
(2021山东省潍坊市期中)如图，已知菱形边长为，，点为对角线上一点，将沿翻折到的位置，记为，且二面角的大小为，则三棱锥的外接球的半径为 ；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为 ．
【审题视点】
如何找到三棱锥的外接球球心？
【思维引导】
过，的重心分别作平面的垂线，交于一点，即为三棱锥
外接球的球心，结合已知线段长度求半径；
首先确定出当截面面积最小时，截面，再根据线段长度求出截面圆的面积
【规范解析】
，且四边形为菱形，
，均为等边三角形，
取，的重心分别为，，
过，分别作平面，平面的垂线，且交于一点，
此时即为三棱锥外接球的球心，
记，连接，，
二面角的大小为，且，，
二面角的平面角为，
，，
则，
又，，
则，，
又，．
即三棱锥的外接球的半径为；
当截面面积最小时，此时截面，又截面是个圆，
设圆的半径为，外接球的半径为，
又，且，
．
，
此时截面面积．故答案为：；．
【探究总结】
本题考查空间几何体外接球的体积与表面积的求法，考查球截面面积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．
(2021江苏省南通市模拟)如图，在边长为的正方形中，点、分别是边，的中点，将沿翻折到在翻折到的过程中，的最大值为
A. B. C. D.
专题升华
研究翻折问题应注意折前折后各元素相对位置的变化，要理清哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变，解决翻折问题的关键可以归纳如下：
找准“基准图”折叠,
画好“2个图”——折前的平面图和折后的空间立体图,
寻找“2个量”——哪些量（或关系）发生了变化，哪些量（或关系）没有发生变化.
【答案详解】
变式训练1
【解析】证明：，矩形为正方形，，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
又，、平面，平面，
平面，平面平面．
在中，设，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的面积有最大值．
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
，
故当三棱锥的体积最大时，．，平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
平面，平面的一个法向量为，
，，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
变式训练2
【解析】因为四边形为正方形，、分别为、中点，
所以，所以，
又因为，故A，令与的交点为，连接，
在翻折过程中始终有，又，，，，
所以，所以在以为圆心，半径为的上半圆上运动，
当取得最大值，最大，即与上半圆相切时，设切点为，
，，
此时．
故选：．

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