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函数与导数—利用导数解不等式问题
专题综述
利用导数解不等式问题是以导数为工具，研究函数性质及图象，从而得到不等式的解，这部分问题通常难度较大.解不等式问题常用的方法有：（1）不等式：判断函数的单调性，得到的不等关系；（2）借助图象解不等式.不论方法（1）、（2），处理复杂的函数时，都要借助导数研究函数单调性，进一步得到不等关系，或是作出函数图象.
专题探究
探究1：构造函数解不等式
解不等式的题目中，条件含有：①关于与的不等式或等式；②的性质；③的值，解题的常规思路是：构造函数研究的单调性结合函数的奇偶性将不等式变形为的形式得到的不等关系.
答题思路：
第一步:构造函数，2个角度：①观察含有的不等式或等式，结合导数的四则运算，构造函数；
②观察需要解出的不等式，结合奇偶性将不等式转化为左右两侧结构一致，构造函数；
第二步:①为抽象函数：中含有题干中的不等式或等式，判断函数单调性；②为具体函数：直接求；
第三步:结合函数奇偶性，将要求不等式化为的形式，得不等关系.
补充：常见的构造函数的形式
（1）加乘型
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥
（2）减除型
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥
（3）型且具有奇偶性
(2021浙江丽水模拟) 已知定义在上的函数的导函数为，的图象关于点对称，且对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
题干中出现函数性质、已知函数值以及与共存的不等式，思路就是构造函数利用单调性解不等式.
【思维引导】
不等式变形构造函数；求导结合不等式判断单调性；不等式化为的结构；解不等式.
【规范解析】
解：由题意得 的图象关于对称
则的图象关于对称，即为奇函数
由得
设，
则
在上单调递减
故
不等式即为
故不等式的解集为
故选.
【探究总结】
上述类型的题目较为典型，题干条件决定解题方向，解题按照：构造、转化变形、解不等式的步骤进行.这类题目往往涉及抽象函数，利用单调性解不等式会与函数的奇偶性、对称性相结合考查.解决该类题目，除了构造函数的方法以外，特殊条件下也可以借助常数函数、一次函数等特殊函数解决.
（2021四川绵阳联考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
探究2：利用导数作图解不等式
专题1.3.1函数的图象与性质的探究三，给出利用函数图象解不等式的思路方法，用图象解题的关键是作图.对于解析式较复杂的函数，其图象要借助导数判断函数单调性，及特殊点，借助图象求出解集或参数的取值范围.
答题思路：
第一步: 利用导数确定函数单调区间，并求出极值、最值或其他特殊点的函数值；
第二步: 作图，借助图象解不等式或求出参数的取值范围；
（2021江西月考）已知函数的导函数为，且对任意的实数都有是自然对数的底数，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
不等式，不能转化为的结构利用单调性求解集，思路转化为用图象解决，需要先求出的解析式，再作出图象.
【思维引导】
求出的解析式利用导数判断函数单调性作图.
【规范解析】
解：由，
得，
，
，
令，得
在区间上单调递增，
在区间上单调递减
，
，，
且当时，，
结合函数单调性及特殊点，作出函数的图象：
由图可得：当时，的解集中恰有两个整数，
故的取值范围是
故答案选：
【探究总结】
利用图象解不等式或求参数的取值范围，作图的方法有：基本初等函数的图象、图象变换作图、借助导数作图、圆锥曲线的一部分，函数复杂时，借助导数作图.解题时，根据不等式的结构初步判断是利用单调性解不等式，或是利用图象，若借助图象，要能准确作出函数的图象.
（2021江苏南京联考）若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
专题升华
高中数学关于解不等式的类型，分为：①可以直接变形求解集，如一元一次不等式、一元二次不等式、指对不等式、三角不等式、高次不等式、绝对值不等式、及通过换元和拆分为上述不等式的情况； ②借助图象与性质求解集：不等式较复杂或函数无解析式，题干中出现与共存的关系式时，要根据不等式类型，若不等式两边能转化为结构一致则研究函数单调性，若不等式两边不不能化为结构一致，则利用图象体现不等关系.所以解不等式问题，第一步是通过题干条件的特点，确定解题方法.
利用导数解不等式本质上是，发挥导数研究单调性的工具作用，判断函数单调性.若不等式转化为，利用单调性、奇偶性、对称性，比较，注意已知函数值的应用.若不等式转化为，利用单调性、特殊点作图，求解不等式.
【答案详解】
变式训练1 【答案】A
【解析】解：由题意得
，
，故的图像关于点对称，
设，则
又，则
令，则
在区间上单调递减，在区间上单调递增
在上单调递减
又，则
即即
即
原不等式的解集为
故选：A
变式训练2
【解析】解：由题意设，，，
不等式有唯一负整数解，
，在直线下方的部分，横坐标为整数的只有一个点，
，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
恒过定点，
结合函数图象得，，
又，，
，，即，
故选：

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