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解析几何-圆锥曲线中的存在性问题
专题综述
存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，有探究点是否存在、直线是否存在、圆是否存在的，有探究圆是否过定点、直线是否过定点等等这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好的考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对数学思想、数学意识和综合运用数学方法的能力有较高的要求。
专题探究
探究1：探究常数值的存在性
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在。
解题策略：
（1）通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在；
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
(2022八省八校联考)设椭圆：，圆，点，分别为的左、右焦点，点为圆心，为原点，线段的垂直平分线为已知的离心率为，点，关于直线的对称点都在圆上．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆相交于，两点，问：是否存在实数，使直线与的斜率之和为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
【审题视点】
如何根据题设条件“直线与的斜率之和为”得到关于的方程？
【思维引导】
根据椭圆的离心率及圆的几何性质求出，，即可求解
先设直线方程，再将直线与椭圆联立，利用韦达定理求解即可，注意验证.
【规范解析】
由已知，，则．
设点，关于直线的对称点分别为，，
因为点，关于直线对称，为线段的中点，
则为线段的中点，从而线段为圆的一条直径，
所以，即，即．
于是，,所以椭圆的方程是．
因为原点为线段的中点， 圆心为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，
所以点与也关于直线对称，
因为点，
则线段的中点为，直线的斜率为，
又直线为线段的垂直平分线，
所以直线的方程为，即．
将代入,得,
即．
因为直线与椭圆相交，则，
解得，即．
设点，，则，．
所以
．
由已知，，则，
得．
所以，即，即．
因为，所以不存在实数，
使直线与的斜率之和为．
【探究总结】
解决此类问题需要做好以下两个方面：（1）转化，即把题中的已知和所求准确转化为代数中的数或式，即形向数的转化，（2）计算，直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往需要联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理进行化简，然后根据代数式的结构特征采用相应的方法求解，需要注意判别式＞0的条件。计算准确是关键，熟练掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、定点、离心率）。
(2021江苏省第二次百校联考)已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，．
求椭圆的标准方程；
是否存在实数，使得恒成立．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
探究2：探究特殊点的存在性
解决是否存在点的问题时，可依据条件直接探究其结果，也可以举特例，然后再证明。
解题策略：
第一步：假设结论存在；
第二步：结合已知条件进行推理求解；
第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．
(2021江苏省百校联考)在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过点的直线交于,两点,过点作直线的垂线,垂足为,过点作
，垂足为．证明：存在定点，使得为定值．
【审题视点】
如何借助直角三角形的几何性质转化？
【思维引导】
分别求由直线与的的斜率，根据直线与的斜率之积为，化简即可求曲线的方程，注意直线与斜率存在的条件
由知直线与轴不重合,可设,联立直线与椭圆方程求出,由，，求出直线的斜率及方程，求出直线过定点，由，则
为直角三角形，取的中点，即可求出为定值．
【规范解析】
解：由题得，
化简得，
所以是中心在原点，焦点在轴上，不含左、右顶点的椭圆．
证明：由知直线与轴不重合，可设，
联立得．
设，，
则，，，
所以
因为，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
所以直线过定点．
因为，所以为直角三角形，
取的中点，则，即为定值．
综上，存在定点，使得为定值．
【探究总结】
定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关，圆锥曲线图形变化中的几何不变性丰富多样，而又灵活变通，定点、定值问题也由此相互转化，神韵相通。
(2021江苏省南京市六校联考)已知抛物线：，点，直线过点且与抛物线相交于，两点．若，直线的斜率为，求的长；
在轴上是否存在异于点的点，对任意的直线，都满足若存在，指出点的位置并证明，若不存在请说明理由．
探究3：探究直线的存在性
解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解。
解题策略：
第一步：设出直线方程；
第二步：联立直线与圆锥曲线，然后消元得一元二次方程；
第三步：根据题设条件用根的判别式、韦达定理、弦长公式、面积公式等进行运算；
第四步：反思解题过程，检查易错点，规范解题步骤．
(2021山东省临沂市联考)椭圆：与椭圆：有共同的焦点，且椭圆的离心率点、分别为椭圆的左顶点和右焦点，直线过点且交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，．
求椭圆的标准方程；
是否存在直线，使得，若存在，求出直线方程；不存在，说明理由．
【审题视点】
如何根据题设条件“”得到关于直线斜率的方程？
【思维引导】
根据椭圆的性质即可求出，，的值；
假设存在直线，分析直线的斜率一定存在，并设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式求出的关系式，化简求出直线的斜率，进而可以求解．
【规范解析】
解：椭圆：的焦点为，
设椭圆的半焦距为，
可知，且，所以，
则，所以椭圆的方程为：；
由得椭圆的右焦点坐标为,左顶点坐标为,
假设存在直线，满足，
若直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去，
所以可设直线的方程为：，
联立方程，
消去整理可得：，
设，，则，
则
，所以，
所以直线的方程为：，即，
综上，存在直线：，使得．
【探究总结】
解决此类问题需先假设直线存在，主要讨论直线斜率不存在的情况，联立直线与圆锥曲线，借助韦达定理消元，根据题设条件用根的判别式、韦达定理、弦长公式、面积公式等进行运算.
(2021青海省西宁市模拟)已知右焦点为的椭圆：经过点
求椭圆的方程；
经过的直线与椭圆分别交于、不与点重合两点，直线、分别与轴交于、两点，是否存在直线，使得？若存在,求出直线的方程;若不存在，请说明理由．
专题升华
解决存在性问题的技巧总结
特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
核心变量的求法：
①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解
②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
【答案详解】
变式训练1
【解析】由题意可得解得，．
故椭圆的标准方程为．
如图，由可知，．
当直线的斜率不存在时，，则；
当直线的斜率存在时，设其斜率为，
则直线的方程为，，．
联立整理得，
则，，
从而，
故．
由题意可得，，
则．
因为，所以．
综上，存在实数，使得恒成立．
变式训练2
【解析】 由题可知直线：，
则，解得或．
即，所以．
存在轴上的点满足题意，证明如下：设直线．
联立方程组成方程组，消去化简整理可得．
设，
则有．
．
所以，可知，的倾斜角互补，所以．
所以为的角平分线．
由正弦定理可知：
，
两式相除得，
综上可得，存在轴上的点，满足题意．
变式训练3
【解析】因为椭圆 经过点，
所以，又因为，，
所以，．
所以椭圆的方程为．
存在直线，使得 ，理由如下：
由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入椭圆的方程，
得，，
设，，
则，，
记直线，的斜率分别为，，
欲使直线，满足，只需．
因为，，三点共线，所以．
即．
则
．
由可得，
所以存在直线，使得，
此时直线的方程为，即．

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