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函数与导数—导数的几何意义
专题综述
导数的几何意义是导数部分重要的内容之一，常常和其他知识点一起考查，比如与函数的图象与性质综合考查，通过直线与函数图象相切，求斜率进而得出参数的取值范围；与圆锥曲线结合，尤其是抛物线，求出抛物线在某点处的切线方程等；为问题解决提供新的视角与方法.导数的几何意义是从“形”的角度对导数本质的定性解释，即表示函数图象在点处切线斜率，因此在利用数形结合思想解决问题时，若涉及切线问题，都可以考虑转化为导数的几何意义求解某些量.再利用导数的几何意义求解时，本质上是要处理好“在”和“过”点处切线的问题.
专题探究
探究1：切点未知时的切线方程
过点的切线条数问题、有定点或定斜率的直线与曲线相切问题，两个函数有公切线问题，本质上都是切点未知，需要通过切线方程构建含参数方程的问题：
答题思路：
第一步：若考查函数图象问题，则将问题先转化为“在”或“过”点处的直线与图象相切；
第二步：设出切点坐标，过该点处的切线斜率为，表示出切线方程：；
第三步：将点的坐标带入切线方程，转化为方程根问题；与已知切线方程对应，列出方程组：斜率、纵截距对应相等，解方程组.
(2021山东省泰安市月考) 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则的取值范围是__________.
【审题视点】
方程有3个实根图象与直线有3个交点；直线过定点过点作函数图象的切线.
【思维引导】
①转化：方程根转化为图象交点；②数形结合：作出直线与函数图象有3个交点的临界位置，即为相切的位置；③求切线斜率：转化为利用导数几何意义求切线方程；④列方程组求解.
【规范解析】
解：有三个不同的实数根，
的图象与直线有3个交点，
作出的图象如图所示：
设与曲线相切，切点为，
，即
在点处的切线方程为
即
，得
由图可得，当时，直线与有3个交点．
【探究总结】
关于过点处的切线问题，往往与函数的图象与性质结合考查，将零点、方程的根问题先转化为函数与一条过定点或斜率确定的直线有交点的问题，数形结合，作出函数图象及与函数图象相切时的直线，再利用切点横坐标表示出切线方程，找出参数间的关系，进行下一步求解.
(2021广东省广州市联考) 过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是__________.
探究2：切线的位置关系
函数在点处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，所以导数的几何意义可以和直线的位置关系结合考查.借助直线平行与重合时斜率的关系，转化为导数间的关系，得出参数方程（组），求值或求取值范围.
答题思路：
第一步：设切点，分别表示出在切点处的切线方程;
第二步：利用直线平行或垂直的充要条件得出斜率关系；公切线问题，有两个相等条件：切点相同和导数值相同；
第三步：将所得方程或方程组转化为关于参数的方程，求值或求取值范围.
(2021河南开封模拟) 已知与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则__________.
【审题视点】
①“在公共点处的切线方程相同”转化为两个条件：一是函数值相等；二是导数值相等；②求的最大值列出的方程组转化为的函数.
【思维引导】
①列出函数值相等和导数值相等的方程组；②消去中间量，得到的关系式；③构造函数求最值.
【规范解析】
解：设公共点
，
由题意得 ，
即
由得或舍，
即有
设，则，
令，则时
在为增函数，在为减函数，
，
【探究总结】
题干条件涉及切线位置关系：平行、重合、公切线的问题，第一步都要通过斜率关系，建立导数值的等量关系，将几何关系代数化.目的是求出参数，或是得到参数间的等量关系，构造函数求最值或范围.
(2021北京市市辖区模拟)（多选）若点是函数的图象上任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 最小值为 D. 最大值为
专题升华
对导数几何意义的考查方向包括：求在点处和过点处的切线方程、求切点坐标、已知切线方程求参，已知切线位置关系求参.函数解答题的第一问会出现求切线方程或已知切线方程求参数，难度较小，但选择填空题中往往与其他知识点结合考查，难度较大.利用导数的几何意义，表示出切点处的切线方程，是解题的重要环节，若已知切线上的其他点，将点的坐标带入切线方程，转化为关于的方程，判断根个数；若已知在点处的切线方程为，则斜率与纵截距对应相等，解方程组；若已知两个切点出切线的位置关系，则由导数关系构建切点横坐标的关系，求代数式的取值范围.解题时，关键是通过导数的几何意义构建参数关系，进一步化归与转化为其他知识点解决.
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】解：由题意得
设切点为
当时，
在点处的切线方程为
又在切线上，
即方程有2个相异实根
设，则有2个零点
则
令，则
在区间上单调递增，在区间上单调递减
，即或（舍）
当时，
当时，，
函数在区间上有且仅有一个零点
当时，
函数在区间上有且仅有一个零点
即函数有2个零点
综上所述：
变式训练2【答案】
【解析】解：当时，
当时，，
若函数在点和点处的切线互相垂直且，则，
且，得，，
当时，，此时符合题意，则排除；
又，
令，则，
所以函数单调递减， ，正确；
又，
令，
因为，则函数单调递增，
，所以正确.
故选

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