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函数与导数—导数中的放缩问题
专题综述
放缩法是解决函数不等式问题的利器，导数压轴题中的函数往往是指数、对数与其他函数综合，或者指对数并存的超越函数，有时直接构造出的函数难以直接求出最值，需要借助放缩解决.利用导数判断函数单调性、解决函数零点问题、不等式证明等问题中都会用到放缩法，使问题难度降低.常用的放缩方式有：①常用不等式放缩：指数放缩、对数放缩、三角放缩；②利用已知题目信息放缩；③根据已知参数范围或常识，减少变量，适当放缩；③利用单调性放缩；④利用基本不等式放缩： 若，则；⑤由数值大小关系直接放缩，做题时灵活运用.本专题就前3种，重点探究.
专题探究
探究1：利用不等式放缩
函数中有指数、对数、三角函数时，直接求导，导数不等式无法解出，根据函数结构，选择不等式进行放缩，使函数简单化.
常用不等式有：
（1）三角函数放缩：①；②；③
（2）指数放缩：①；②（为函数图象的两条切线）；③；④
（3）对数放缩：①；②；③；
（为函数图象的两条切线）
（4）指对放缩：
(2021安徽省合肥市联考) 已知函数
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，函数满足：对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
【审题视点】
第（2）问显化函数，恒成立问题回顾常用的方法（专题1.3.7）：分离参数、含参讨论单调性等方法，由解析式的具体结构确定方法与细节.
【思维引导】
分离参数以后，函数中有指、对结构，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，利用不等关系，得，使难度大大降低.
【规范解析】
解：（1）的定义域是，
，
当，时，令，则
在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，
，
即
，
设，则，
令，则
在上单调递增，在上单调递减
，即当且仅当时“=”成立，
故当且仅当时“=”成立，
在上是增函数，
且，，
故存在使得成立，
故
（当且仅当时“=”成立），
，
即的取值范围是
【探究总结】
常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简答化.但不等式，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.另外若是求参数取值范围问题，要考虑不等式中的等号能否取到.
(2021山东省泰安市一模) 已知函数，
（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.
（1）求的单调区间；
（2）设,对任意，证明：.
探究2：利用已证结论放缩
解答题的上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩的依据.需证明的不等式为关于的多项式的和或不等式结构复杂，利用已证结论，进行放缩，使不等式化繁为简，便于构造函数求最值.
(2021湖南省郴州市模拟) 已知函数
（1）当时，证明：；
（2）已知数列的通项公式为，证明：
【审题视点】
第（2）问，出现数列的前项和，且不能用常规的求和方法求和，借助第一问的结论对的通项公式进行放缩，便于求和.
【思维引导】
对第一问的不等式进行变形，观察的结构，进行放缩，能够用已知方法求和.
【规范解析】
解：（1）由题意得 ，
设，
则，
当时， ，，则
则，
在上单调递增，
故，即
在上单调递增，
当时，，即
（2）由（1）知：当时，，
即
令，则，
【探究总结】
函数中证明与有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用前一问的结论，或者解题过程中的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.
(2021广东省东莞市联考) 已知函数（即自然对数的底数）.
（1）若函数在是单调减函数，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当时，证明：
探究3：利用已知参数范围或常识放缩
函数解析中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从参数的范围入手，使参数取确定的值或利用单调性、其它不等关系，对不等式进行放缩，减少变量，使函数结构简单，易于判断单调性.
(2021河北省石家庄联考) 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，
【审题视点】
已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，若含参讨论难度大，可能要借助放缩，化繁为简.
【思维引导】
第（2）问不等式的证明，函数中有，，构造函数求导，含参讨论解导数不等式较困难，可巧妙利用参数的范围，参数取确定的值，进行放缩，求不含参函数的最值较为简单.
【规范解析】
解：（1）由题意得
①当时，，
函数在上单调递增；
②当时，令 得，
函数在上单调递减，
在上单调递增；
（2）证明：
当时，
设，则，
则在上单调递增，且
当时，
当时，
在上单调递减，在单调递增
，即，
即
当时，
【探究总结】
不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第一步的放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式.若不等式的结构依然复杂，在利用常用不等关系、已证结论等方法进一步放缩.
(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数
（1）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；
（2）当时，证明：
专题升华
导数解答题中函数多以、型的函数与其他函数结合的形式出现，考查零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向时，如果利用常规方法处理时，因函数结构复杂求导判断单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.放缩法较为灵活，要根据不等式的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，选择适当的方法是关键.
1.积累常见的不等结论：如探究1中提及的不等式，解题时需构造函数，证明其正确性，再进行放缩.利用不等式进行放缩，体现了数学中的化归与转化思想，也体现了处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的方法.
2.巧用已证不等式，顺水推舟：利用已证不等式(或结论) “服务”于后续问题的求解，这类题目最明显的“暗示”，即为证明一个类似于数列求和的不等式，需利用已证不等式进行逐项替换放缩.若题目的第一问证明不等式，在后续解题时，留意是否会利用已证结论.
3.已知参数范围：含参不等式的证明时，若因为参数的存在使函数讨论非常复杂，可考虑结合参数范围及其它结论进行放缩.
4.其他放缩方法：除了上述三种难度较大的放缩方法以外，单调性、已知结论、基本不等式等.如利用基本不等式进行放缩，化曲为直，比如；和积互化等.不仅仅应用于简化不等式，在解题过程中，也可能用放缩证明代数式的值.
【答案详解】
变式训练1
【解析】
解：（1）由题意得
则，
设，则
在区间上单调递减
又
当时，，则
当时，，则
在上单调递减，在上单调递增
证明：（2）由题意得
设，则
当时，
在上单调递增
即
当时，
设，则
令，则
在上单调递增，在上单调递减
又当时，
故
变式训练2
【解析】 解：（1）由题意得即恒成立
，故
，即实数的取值范围为；
（2）由（1）得当时，在上单调递减，
，
可得，令，则，
，
即，
对任意的成立．
变式训练3
【解析】
（1）解：，
，
又， 即，
，
，
设，则，
即在上单调递增，
且，
是的唯一零点．
当时，，单调递减；
时，，单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当，时，，
令，则，
当时，，
在上单调递增，
，
即，
，
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，
而上式三个不等号不能同时成立，
故

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