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函数与导数—导数中的极值点偏移问题
专题综述
极值点偏移问题在高考和模考中都是一个热点问题，试题设问灵活新颖，综合性强，难度较大，往往作为压轴题出现. 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，函数的零点分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏.极值点偏移问题大致分为4中类型：加法型、减法型、商型、平方型，本专题重点探究这类问题的一般解法.
专题探究
探究1：构造对称的和（或差）
已知函数在区间的两个零点为，或，且极值点为，证明关于的加法型不等式、乘法型不等式问题，可进行对称化构造，解决此类问题.
答题思路：
例：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：，或
（1）定极值点：讨论函数的单调性并求出的极值点，设；假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造函数或；
分析：①要证只需证只需证即证，构造函数.②要证只需证只需证即证，构造函数.（3）利用单调性比较大小：通过求导讨论的单调性，求出函数的最值.
（4）转化：转化为，或的大小关系.
若要证明的符号问题，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
(2021江苏省扬州市月考) 已知函数
（1）讨论的单调性：
（2）若，是的两个零点.证明：；
【审题视点】
证明的两个零点的加法型不等式，构造函数解决.
【思维引导】
通过讨论单调性，明确有两个零点时的极值点及单调区间，根据上述答题思路，构造函数求最值，从而得出，再利用函数的单调性，得出自变量值的大小关系.
【规范解析】
解：（1）由题意得 ，
则当时，在为增函数
当时，令，则
在上单调递增，在上单调递减
综上，时，在为增函数；
时，在上单调递增，
在上单调递减
（2）由（1）知，当时函数有两个零点
且，
，
又， ，则，设
则
在区间上单调递增
即当时，
故
在区间上单调递减
，即
【探究总结】
本题证明的不等式中含有两个变量,对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的最值问题来求解.解题时，按照答题思路，逐步呈现，较容易的证明出结论，注意细节的处理. 证明乘法型不等式有时也可以通过取对数，变为加法型解决.
(2021江苏南京联考) 已知函数
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数的两个零点为，，证明：
探究2：消参减元
消参减元的主要目的就是减元,进而构造与所求解问题相关的函数.主要
是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元.其解题要点如下:
答题思路：
（1）建立方程组：若为函数的两个零点，则，若为函数的两个极值点，则，方程组中都含有参数；
（2）定关系：利用方程之间的和差积商的运算，建立与参数的关系；
（3）消参减元：将所需证明的不等式或需求取值范围的代数式表示出来，表示的过程中，要与参数的关系式消去参数，将以比值或差值的形式呈现，将比值或差值设为，减元.
（4）构造函数求解：构造关于的函数，转化为求函数的单调性、极值、最值问题.
(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数
（1）讨论的单调性;
（2）设有两个不同的零点，，且，证明：
【审题视点】
转化为，可以利用消参减元的方法求的范围.
【思维引导】
第（2）问中得出，可用，表示出，通过两方程相加，等号左侧凑出，右侧变形出现，换元完成减元.
【规范解析】
解：（1）由题意得
①当时，， 在上为单调递增；
②当时，的判别式，
i）当时，，所以在上为增函数；
ii）当时，令，则，，
当时，， 在，上单调递增，
当时，， 在上为单调递减.
综上所述：当时，在上为增函数，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（2）证明：，
，是方程的两个不等实根，
则， ，
，
即，设，则，
设，，则，
设，则，
在上为增函数，
，
则，
在上为增函数，
，
即，即，
又，
，即
【探究总结】
求解本题的关键点有两个：一个是消参，列出零点的方程组，需要利用两个变量把参数表示出来，这是解决问题的基础；二是减元,即减少变量的个数,把方程转化为一个“变量”的式子后,构造与之相应的函数,转化为函数问题求解.
(2021安徽蚌埠月考) 已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）设是的两个零点，证明：
探究3：比（差）值换元
比(差)值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立之间的关系, 然后利用两个极值点之比(差)作为变量,实现消参、减元的目的.结合满足的方程组，使分别用表示，带入需证明或求范围的代数式，转化为关于的函数求解.
(2022山东青岛联考) 设函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数恰有两个零点，，求证：
【审题视点】
思路一：为函数两个零点，且函数中含有参数，需要消参；求证平方型不等式，利用，凑不出平方和，故使用比值换元法，构造关于的函数.思路二：根据基本不等式可得，可利用探究一中的方法证明，再证明.
【思维引导】
设，再利用，分别用表示，带入，构造关于的函数.
【规范解析】
（1）解：由题意得，
①当时，，即在上是增函数;
②当时，若，则，此时单调递减;
若，则，此时单调递增.
综上可得：当时，在上单调递增;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，，
则 相减得
令，则，
，
设，则
设，则
在上单调递增，
在上单调递增
，即，
，
，即
【探究总结】
平方型的不等式，利用方程组通过加减难以变形出现的情况下，利用比（差）值换元，将用表示，带入不等式，转化为关于的函数.但处理这类问题，方法不唯一，也可以巧妙变形利用消参减元证明，或构造对称和（或差）证明.
（2021福建宁德模拟）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
专题升华
导数中的极值点偏移问题，题干中出现为函数零点或极值点，证明关于的不等式或求代数式的范围，这类问题能较好考查学生的逻辑推理能力,数据处理能力,转化与化归思想,函数与方程思想等.常见的需证明的的关系有加法型、减法型、乘法型和商型，每种类型没有唯一的解题方法，上述方法要灵活运用.以探究一的变式训练为例：
方法一：构造对称的和（或差）
函数极值点为，证明，构造函数，
方法二：构造对称的和（或差）结合基本不等式
函数极值点为，可以先证明，构造函数，再利用基本不等式证明；
方法三：消参换元
由得，合并，
设，直接构造关于的函数；
方法四：引入变量
设，则，则
设，则，则证明
设，求最值.
极值点偏移问题，方法不唯一，解题时选择适当方法，灵活解题.
【答案详解】
变式训练1
【解答】 （1）解：，，即恒成立.
设，则，
易知在上单调递增，且
所以当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增，
，
（2）证明：由题意得 方程的两不相等的根为，
设，则，
又
当时，，在上单调递增，不存在两个零点;
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，得
设
令
，
则，
在上单调递减，故
，
即
，，且在上单调递减，
，即，
故成立.
变式训练2
【解答】（1）解：由题意得
①当时，在区间上单调递增
②当时，令，则
在上单调递增，在上单调递减
,故
当时，，
在区间，上分别有一个零点
（2）证明： 由题意得
又
要证，只需证，
即证，即证，
即证，即证
设故，
令，
则
在上单调递增，
，故式成立，
即.
变式训练3
【解答】解：（1）由题意得 ，
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，设，则，
令，则
在上单调递减，在上单调递增
，
，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
（2）由题意得 ，即
，设，则，，，
，
，
设，则，
设，则，
在单调递增，则（1），
，则在单调递增，
又，即，（3），
，，即的最大值为3．

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