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函数与导数—导数中的同构问题
专题综述
同构法在近几年的模考中频繁出现，把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数，利用函数的单调性转化成比较大小,或者解恒成立，求最值等问题.同构法在使用时，考验“眼力”，面对复杂的结构，仔细观察灵活变形，使式子两则的结构一致.构造函数，判断函数单调性，进一步求参数或证明不等式.
专题探究
探究1：指对跨阶型
解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①；②；③；④；⑤.
答题思路：
1.直接变形：
（1）积型：（同左）；
（同右）；
（取对数）.
说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.
（2）商型：（同左）；
（同右）；
（取对数）.
（3）和差型：（同左）；
（同右）.
2.先凑再变形：
若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有：
①；
②；
③；
(2021重庆市市辖区模拟) 若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
不等式中有指、对数结构，不等式两侧都加上，即能出现同构法中的“和差型”.
【思维引导】
由不等式的结构判断，通过将不等式变形为，符合同构法中的指对同阶模型，或者直接构造含参函数，分类讨论.
【规范解析】
解：，，
设，则
在上单调递增
故即，
即即
设，则，
令，则
在上单调递减，在上单调递减
故，故
故选
【探究总结】
不等式或函数中指对数结构都存在时，仔细观察结构特征，可优先考虑放缩或同构，化繁为简，降低单调性判断的难度.故要对常见不等关系的结论（专题1.3.8）及上述的常见变形方法牢记于心，能够熟练变形，构造相应函数.
(2021山东省泰安市一模) 已知.
（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围.
探究2：双变量型
含有同等地位的两个变量的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.
答题思路：
常见的同构类型有：
①；
②
；
③
.
(2021江西省萍乡市联考)已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）对，，当时，都有成立，求实数的取值范围．
【审题视点】
第（2）问中的双变量不等式，若变量能分离且结构相同，不等式转化函数单调性问题.
【思维引导】
双变量的恒成立不等式，分离变量，不等式变形，构造函数，由不等式得出函数的单调性.
【规范解析】
解：（1）由题意得 ，即，
①当时，，函数的定义域为；
②当时，，函数的定义域为且，
③当时，，函数的定义域为；
（2）由题意得 ，，当时，
设，则
在区间上单调递减
设，
即函数在上是减函数，且，
，解得，
实数的取值范围为
【探究总结】
典例2中出现的双边量问题是同构法中较为典型的情况，思路明确.针对上述类型的不等式，分离变量，构造函数得出单调性.构造的函数可能是抽象函数，也可能是具体函数，利用函数单调性，解不等式.
(2021江苏省苏州市联考)已知函数，若对任意，，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
探究3：同构放缩或同构换元共存型
有些更复杂的指对不等式，利用常见的变形方法（探究一）先进行同构变形再换元，使构造的函数较为简单，或者本身不等式的结构不特殊，可以先结合常用不等结论（专题1.3.8）放缩，使结构特殊再同构，但要注意取等号的条件等.
常见的放缩模型：
（1）利用放缩：① ；②；③
（2）利用放缩：①；②；③.
（3）利用放缩：①；②.
（4）利用放缩：①；②.
(2021河北省石家庄市联考) 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的图象经过点，求证：时，
【审题视点】
待证明的不等式中有，，容易联系到指对同阶的常见变形，将不等式同构.
【思维引导】
第（2）问，求出，显化不等式，进行指对变形，换元简化函数.
【规范解析】
解：（1）由题意知，函数的定义域为
当时，，函数在上单调递增．
当时，，
令，即
①当时，
在区间上单调递增；在区间上单调递减．
②当时，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）若函数的图象经过点，则，得，
则，
设，则当时，
设，则
令，则
在区间上单调递减，
在区间上单调递增
当时，恒成立．
【探究总结】
同构法让复杂的函数式在指对结构上呈现“一致性”，再换元，大大降函数研究的难度.但这类问题，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式证明问题，直接构造函数求最值，或着变形为的结构，比较最值.
(2021江苏省南京市模拟) 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若恒成立，求的取值范围．
专题升华
同构思想不仅仅应用于导数部分，整个高中数学中，在方程、不等式、解析几何、数列部分都有体现，本质上是变形，使结构一致，转化为其它知识点求解.
①方程中的应用：两式结构相同，转化为为方程的两根；
如：若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是 .
思路：由单调递增为方程的两个根.
②不等式中的应用：不等式两侧化为相同结构，利用函数单调性，比较大小，或解不等式；
如：若，则的取值范围是 .
思路：，构造函数研究单调性.
③解析几何中的应用：如点的坐标满足相同的关系式，即则直线的方程为，或得出两点在同一条曲线上；
④数列中的应用：将递推公式变形为关于与的同构式，如，可以构造辅助数列解题.
解题时，针对除变量外完全相同的结构式，要灵活的利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,从而找到解决问题的思路方法.同构法体现了发现、类比、化归等思想,是一种富有创造性的解决问题的方法.同构法为解题提供了突破口,从同构式中挖掘隐含条件,能让数学难题豁然开朗.
【答案详解】
变式训练1
【解答】解：（1）由题意得 ，，，
则，
①当时，，所以在，单调递增，
，故在，上无零点；
②当时，，使得，
在，上单调递减，在上单调递增，
又，故
在区间上无零点
i）当即时，在，上无零点，
ii）当即时，在，上有一个零点，
③当时，，
在，上单调递减，在，上无零点，
综上所述：当时，在，上有一个零点；
（2）由得，
即，
则有，
令，，
，函数在上递增，
方程即为方程即有2个不同的正实根
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以（1），
当时，，当时，，
当时，方程有2个不同的正实根
综上所述：.
变式训练2
【解析】解：令，
由得
在递增，
，即恒成立，
设，，，
则在上单调递增，
，故有，
，使得成立，
故，即
故选：.
变式训练3
【解析】解：（1）由题意得
①当时，，则在上单调递增;
②当时，令得到，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减;
（2），
令，则，故，
当时，，
设，则
令，则
在上单调递减，在上单调递增
设，则
在上单调递增
故，即
综上所述：当时，.

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