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函数与导数—导数中的隐零点问题
专题综述
导数作为研究函数单调性的重要工具，在解决难度较大的函数问题时，往往都要先借助导数求函数的单调区间，再进行下一步的求解.但在利用导数研究函数单调性的过程中，会面临解不等式的问题，从图象的角度看，不等式的解集即为图象在轴上方部分对应的的范围，即解集的区间端点即为导函数的零点.而有的导函数根据零点存在性定理能够明确其存在零点，但无法用代数式表示出零点，这样的零点称为“隐零点”. 在解导数综合题时, 若出现“隐零点”，一般虚设零点(隐零点)即利用设而不求思想，设出表示零点即方程成立，进而表示出不等式的解集即为函数的递增区间，利用方程进行相应替换，将目标函数简化并求解.
专题探究
探究1：不含参数的隐零点问题
导数是研究函数单调性的重要工具，通过解不等式，得出函数的单调区间.若导函数不含参数，但结构复杂，零点不能用明确的代数式表示，所以思路需要转化为先零点存在性定理，判断零点是否存在及范围，设出零点，表示出原函数的单调区间.
答题思路：
第一步: 观察导函数结构能够表示出导函数的零点；
第二步:零点存在性定理，判断导函数的零点存在区间，并设出零点；
第三步：得出关于的方程，表示出不等式的解集，即为函数的单调递增区间.
第四步：利用方程及其变形求其他相关量.
（2021湖南常德联考）已知函数，证明
【审题视点】
不等式证明问题，转化为求函数最小值，即证明.
【思维引导】
求导判断函数单调性，无法不等式，但可判断单调递增，利用零点存在性定理，判断其存在零点，设而不求，表示出原函数的单调区间，求最值.
【规范解析】
解:由题意得
设，则
在上单调递增
即在上单调递增
又
在上有且仅有一个零点
设当时，
即
当时，，
当时，
在上单调递减，在单调递增
【探究总结】
不等式证明问题可转化为求函数最值问题，故要利用导数研究函数的单调性.当不能直接解导数不等式时，转化为研究导函数的零点，借助零点表示解集.所以利用零点存在性定理判断导函数的零点是否存在，若存在设为，表示出单调区间，并利用关于的方程，判断结果.
（2021江苏徐州模拟）已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
探究2：含参数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则①有关系式成立，该关系式给出了的关系，②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
若导函数含参数，导函数因参数的存在，无法求出：
答题思路：
第一步:对导函数进行变形，取可能为零的部分，构造函数，研究的零点；
第二步: 利用零点存在性定理，研究的单调性，判断是否存在零点，若存在且无法表示可设为，得到方程，明确的范围;
第三步: 用表示函数的单调区间，且注意方程的变形，分离参数，可以消参或者求出参数取值范围.
（2021山东东营联考）已知函数，
若存在极小值，求实数的取值范围；
设是的极小值点，且，证明：
【审题视点】
“存在极小值”与“求的极小值”的思路相同，求函数单调区间，确定极小值点；不等式的证明思路：化简不等式构造函数求最值、证明、通过放缩证明不等式.
【思维引导】
第（1）问：已知函数存在极小值求导判断函数单调性确定函数的极小值点，函数中有参数，解不等式需要分类讨论，对方程进行变形，分离参数得出参数与的关系，用于消参或者求参数的取值范围；第（2）问：借助方程分离参数，解不等式，求出的取值范围；不等式证明，初步思路是构造关于的函数，结合的取值范围，求函数最值.
【规范解析】
解：（1）由题意得：
①当时，恒成立
在区间上单调递增，无极值点（舍）
②当时，设，，
则，
在上单调递增
则当时，，
当时，
在区间有且仅有一个零点
设当时，使，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
存在极小值点．
综上所述：实数的取值范围是
（2）证明：由（1）知，即，
，
，
得，
令，可知在区间上单调递减，
又，由，得，
令，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，函数取最小值，
，即，即，
，，
，
【探究总结】
导函数含有参数时，要根据参数的特点进行分类讨论，讨论要求不重不漏.出现隐零点问题，通过设而不求，得出方程及零点的范围，变形得到参数与的关系，可进一步求出参数的取值范围，或消去参数，使研究的函数或不等式不含参数.
（2021河北沧州联考）已知函数是自然对数的底数
（1）求函数的最小值；
（2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围．
专题升华
导数是研究函数单调性的有力工具，用导数解决函数综合问题，是高考考察的重点，最终都会归结与函数单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有密切的联系，所以导函数零点的求解或估算是函数综合问题的核心.导函数结构复杂或者含参数，出现隐零点问题时，思路调整为零点存在性定理确定导函数零点所在区间，通过设而不求思想，设出零点表示出函数的单调区间，再进行下一步的推导.也可以将方程转化与化归，让方程的两边化为同构的两个函数，再通过证明单调性解题（专题1.3.10为导数中的同构问题）.隐零点的探究是解决函数综合问题的关键，无论是“显零点”或是“隐零点”，归根结底是“零点”，将探究零点的思路灵活的运用到导函数的隐零点的探究中去.
【答案详解】
变式训练1
【解析】解：根据题意可知的定义域是，
，令，解得：，
当时，时，，时，，
当时，时，，时，，
综上，当时，在单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
由题意：，即在上恒成立，
令，则，
对于，，故其必有2个零点，且2个零点的积为，
则2个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，又，则，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，则当时，，
故
显然函数在上单调递增，
则且，
故实数的取值范围是
变式训练2
【解析】解：函数，
令，解得
当时，，单调递减;
当时，，单调递增，
所以函数有最小值
，
当时，函数是增函数，有唯一的零点，与已知矛盾，
当时，，
令，则，
所以是增函数.
又，，
故存在，使，
即
当时，，即，单调递减;
当时，，即，单调递增，
所以函数有最小值，
且
，
当时，，单调递增;
当时，，单调递减，
所以
当时，存在使，再，故有且仅有两个不同的零点;
当时，此时，有唯一的零点
当时，存在使，再，故有且仅有两个不同的零点.
综上所述，

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