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解析几何-定点与定值问题
专题综述
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题称为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性。
专题探究
探究1：圆锥曲线中的定点问题
解答圆锥曲线的定点问题的策略
参数法：①动直线过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点．
②动曲线过定点问题，解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。
由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 答题模板： 第一步：把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零； 第二步：参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于的方程组； 第三步：方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求； 第四步：用一般化方法证明。
(2022江苏省百校联考)已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为 （1）求椭圆的方程; （2）若椭圆的左顶点为，右焦点是点是椭圆上的点异于左右顶点，为线段的中点，过作直线的平行线延长交椭圆于，连结交直线于点. ①求证：直线过定点; ②是否存在定点，，使得为定值若存在，求出，的坐标：若不存在，说明理由.
【审题视点】
如何确定定点坐标？
【思维引导】
（1）根据离心率及菱形的面积联立方程求出，，即可求解
先设，求出点的坐标，然后求出直线的方程，判断是否过定点；
②联立直线与圆的方程，表示，坐标，利用向量知识求解．
【规范解析】
设椭圆的焦距为，
因为椭圆的离心率为，所以，所以，
因为以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，
所以，
所以，，，
所以的方程为．
证明：由，得，．
设，则
当时，直线的方程为，
即，
当时，直线的方程为．
此时，直线过定点．
存在定点，满足题意．
当时，直线的方程为．
由联立得 ，
因为，所以，
，即
因为，为线段的中点，所以为线段的中点，
所以
因为，，
所以，所以．
记椭圆的左焦点为，则的中点为，
又点为的中点，所以，
所以．
综上可知存在定点，满足题意.
【探究总结】
探究性问题，无论是否存在，都可假设存在，满足题设则存在，与题设矛盾则不存在。善于运用先猜后证的手段，从特殊情况入手，如考虑直线的特殊情况：斜率不存在或斜率为0等，先得到定点或定值，由此再验证该定点或定值也满足其他任意情况。
(2021广东省茂名市五校联盟)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由．
探究2：离心率问题中的共焦点问题
圆锥曲线中的定值问题，是指目标几何量（或代数式）在不受题设动曲线（含直线）的影响，总保持固定值的一类问题.其处理方法与定点问题相似。
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
求定值问题常见的解题模板有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)引进变量法：其解题流程为：
(2021江苏省三校联考)在平面直角坐标系中,椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线，的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【审题视点】
如何用参数表示？
【思维引导】
（1）运用椭圆的离心率公式即和椭圆过点，解方程可得椭圆方程；
（2）设，，设直线的方程为，代入椭圆方程得
,运用韦达定理和三点共线斜率相等,运用直线的斜率公式，
化简整理，即可得到定值．
【规范解析】
解：设椭圆的半焦距为，椭圆的离心率为，即，
，，所以椭圆的方程为，
代入点得，得，
椭圆的方程为；
设，
由题意知直线斜率不为，设其方程为，
由
得，
在椭圆内，则恒成立，
，，
由，，三点共线可知，，
所以，
同理可得；
所以．
因为
，
所以
．
故是定值，为．
【探究总结】
本题目是探究斜率乘积为定值问题，解决这类问题的基本思路是设出动直线的方程，通过题设条件表示出斜率代数式，在此过程中通常需借助韦达定理进行代数运算化简，进而求出定值。在求解时还要考虑判别式大于0及动直线斜率是否存在的情况。如果能通过特殊位置先求出定值，无疑为后续求解指明了方向。
(2021山东省滨州市二模)已知圆，动圆过点且与圆相切．
求动圆圆心的轨迹的方程；
假设直线与轨迹相交于，两点，且在轨迹上存在一点，使四边形为平行四边形，试问平行四边形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
专题升华
面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。
有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。
对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢，巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。
【答案详解】
变式训练1
【解析】由对称性可知三角形为等腰直角三角形，，
因为三角形面积等于，所以，即，
而椭圆的离心率，解得，则，
所以椭圆的标准方程为．
依题意，，设直线的方程为，，，
由点关于轴的对称点在直线上，得斜率与互为相反数，
又，，
即，化简整理得，
又，，
于是得，
由消去得，，
则，，
从而有，即，
解得，此时直线的方程为，所以直线恒过定点
变式训练2
【解析】 因为，所以在圆内，
又因为圆过点且与圆相切，所以，
所以，即的轨迹是以，为焦点的椭圆，
则，即，
又因为，所以，故动圆圆心的轨迹的方程为；
当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，
此时，所以四边形的面积为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
与椭圆方程联立，可得，
因为直线与轨迹相交于，两点，
所以，
设，，则，，
所以，
设的中点为，则的坐标为，
因为四边形为平行四边形，所以，
所以点的坐标为，
又因为在椭圆上，可得，整理可得，
又因为，
原点到直线的距离为，
所以平行四边形的面积．
综上可得，平行四边形的面积为定值．

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