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解析几何-范围与最值问题
专题综述
圆锥曲线中范围与最值问题是近几年考查的热点问题,体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、平面向量等代数知识之间的横向联系。以解答题为主,涉及知识面广,题目多变,且解题过程计算量大,注重方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用。主要的命题角度有:
(1)涉及距离、面积的最值以及与之有关的一些问题;
(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之有关的一些问题。
解决该类问题一般需要通过数形结合或利用函数方程的思想构建函数或不等式加以解决。
专题探究
探究1：圆锥曲线中的取值范围问题
解答圆锥曲线中的取值范围问题的策略
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围,求新参数的范围,核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求值域的方法将待求量表示为其它变量的函数求值域,从而求出参数的取值范围。
(2021北京卷)已知椭圆：过点，椭圆四个顶点围成的四边形面积为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线斜率为，直线交椭圆于不同的两点、，直线、交于点、，若，求斜率的取值范围．
【审题视点】
如何借助得到关于的不等式？
【思维引导】
（1）根据椭圆四个顶点围成的四边形面积联立方程求出，，即可求解（2）设出点、的坐标，写出直线、的方程，分别与联立，得点、的横坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理将用表示，从而求出的范围．
【规范解析】
解：因为椭圆过点，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，
故，即，
故椭圆的标准方程为：；
（2）设， 由题意可知直线的斜率存在，故， 故直线，
令，则，同理，
直线，
由消去可得， 故，解得或， 又,故,所以， 又
,
故，即，综上，或，
故的取值范围是．
【探究总结】
本题用表示出是关键，首先写出直线的方程，与联立得到、两点的坐标，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理将用表示，
即，则，需要注意的是需同时满足，从而问题得以解决。
(2021浙江卷)如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．
求抛物线方程；
设过点的直线交抛物线于两点，若斜率为的直线与直线轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围．
探究2：离心率问题中的共焦点问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
几何法:即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
代数法:即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
利用几何关系求最值的解题策略:
（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关
（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。
（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置
（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。
利用代数关系求最值的解题策略:
（1）参数法：根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；将目标函数表示成关于参数的函数；把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值.
（2）基本不等式法：将所求最值的量用变量表示出来，用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
（3）函数法：把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.
(2021全国统一高考理科.乙卷)已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
【审题视点】
如何利用为抛物线的切线，表示出的面积？
【思维引导】
（1）由点到圆上的点最小值为建立关于的方程，解出即可；
（2）根据导数的几何意义可得出直线及的方程，进而得到点的坐标，再将的方程与抛物线方程联立，可得以及点到直线的距离，进而表示出的面积，再求出其最小值即可．
【规范解析】
（1）点到圆上的点的距离的最小值为，解得；
（2）由（1）知，抛物线的方程为,即,则，
设切点，，
则易得,从而得到,
设：，联立抛物线方程，
消去并整理可得，
，即，
且，，，
，
点到直线的距离，
①，
又点在圆：上，
故，此时解得，
代入①得，，
而，
当时，．
【探究总结】
本题易错之处是忽略点在圆上，其横坐标与纵坐标范围有限制。
解析几何中求与动点或动直线有关的三角形面积的最值问题，一般先把面积表示成某个变量的函数（可转化为关于动点横坐标或纵坐标的函数，也可转化为关于动直线斜率或截距的函数），再利用函数性质或均值不等式求最值。
(2021山东省聊城一模)已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求的方程；
（2）直线椭圆相交于，两点，求的最大值．
专题升华
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理。
求解范围、最值问题的常见方法：
利用判别式来构造不等关系．
利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．
利用隐含或已知的不等关系建立不等式．
利用基本不等式．
【答案详解】
变式训练1
【解析】（1）由题意知，故抛物线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，
，，，设直线的方程为：，联立，
， ，，
，
直线的方程：，
联立同理，
，
，，
令，则，
，，解得或且，
故直线在轴上截距的取值范围为：
变式训练2
【解析】（1）由已知得，解得,因此椭圆的方程为．
（2）由得
设，则．
因为
，
所以，为直角三角形，
设为点到直线的距离，故．
又因为，
，所以，
设，则，由于
所以，当，即时，等号成立．
因此，的最大值为．

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