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概率统计-方案与决策问题
专题综述
方案与决策问题是通过一个实际的生活背景，提供了一些信息，然后要求学生通过比较、设计、操作找到解决问题的最佳方案，有时解决问题的方案不止一种，有时需要根据不同情况采取不同的方案，具有开放、灵活、发散的特点，此类问题多取材于实际生产生活，结合时代热点，方案与决策问题的引入，改变了过去学生学习对模仿和记忆的依赖，对学生创新能力的培养、数学应用意识的提升都十分有用.
专题探究
探究1：与期望相关的决策问题
解决此类决策问题，决策标准相对比较明显.根据题干信息求出相关事件的概率，然求出数学期望，根据期望的大小给出决策结果.
(2021福建省期中考试)随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式.某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案.
方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
如果你打算购买元的产品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
【审题视点】
决策标准为数学期望，根据期望分析即可
【思维引导】
分别计算方案一、方案二的数学期望，然后根据实际情况选择相应的方案
【规范解析】
若选择方案一，则需付款（元），
若选择方案二，设付款元，则可能取值为
，，
，
所以(元)
因为，所以选择方案二更划算.
【探究总结】
解决此类问题一定要注意根据问题背景进行决策.
(2021江苏省模拟题)“双十一”活动中，顾客可以享受优惠，也可能会冲动消费，导致所购物品闲置.（闲置物品全部在某二手平台上以原价的售出）.某商户对标价元的某种商品采取了3种销售形式促销：普通购物，秒杀购物，直播购物.该小组收集了相关信息整理得下表：
普通购物 秒杀购物 直播购物
销售量占比 70% 10% 20%
折扣率 5% 20% 15%
所购物品闲置率 20% 40% 30%
用频率估计概率，从数学期望的角度，判断顾客购买该商品是否划算？
注：；.
探究2：与均值有关的决策问题
此类决策问题,决策标准相对比较明显.根据题干信息求出均值,根据均值的大小给出决策结果.
(2021安徽省期末)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图：
假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【审题视点】
如何计算平均数
【思维引导】
利用平均数公式，根据平均数大小进行决策.
【规范解析】
假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，
所须费用平均数为:
假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，
所须费用平均数为:
∵,∴购买台机器的同时应购买台易损零件
【探究总结】
解决此类问题要考虑实际情况，有时是越大越好，有时是越小越好.
(2021福建省福州市)某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
数量 40 30 10 20
生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一：产品不分类，售价均为22元/件．
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下，
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
售价/（元/件） 24 22 18 16
根据样本估计总体，从采购商的角度考虑，应该选择哪种销售方案？请说明理由．
探究3：利用小概率事件进行决策
此类决策问题标准比较隐蔽，首先、需要审题理解文字符号及其实际意义找出决策依据；其次、求出相关事件的概率；最后、根据概率的大小作出决策.
(2020江苏省单元测试)根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为,为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给位病人服用,试验方案为:若这人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,则认为该药无效.如果新药有效,将治愈率提高到了,求通过试验却认定新药无效的概率,并根据的值解释该试验方案的合理性.
(参考结论:通常认为发生概率小于的事件可视为小概率事件)
【审题视点】
标准比较隐蔽，需要仔细审题找出依据
【思维引导】
通常认为小概率事件在一次试验中不会发生，故可借助概率的大小决策
【规范解析】
设通过试验痊愈的人数为，则,
记“通过试验却认定新药无效”为事件，事件发生等价于,
由题意，实际上新药是有效的；当痊愈人数低于2人时，
认定新药无效，，此时做出了错误的判断；
因为这个概率很小，故试验方案合理
【探究总结】
设通过试验痊愈的人数为，则，求得，这个概率很小，故试验方案是合理.
(2020天津市月考试卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予分,表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，
,其中,,．
假设，．
证明：为等比数列；
求，并根据的值解释这种试验方案的合理性.
探究4：利用回归分析进行决策
回归分析问题经常用大量文字和数据来说明实际现象，解读生活规律.解题时要注意收集数据、整理数据、统计推断这样一个基本过程，要注意以下几个方面：第一、把握相关概念的本质，掌握基本模型；第二、充分发挥案例的作用，提升自己的数据分析水平；第三、多了解、关注一些新兴技术，可能会在这方面出题；第四、注意与其他知识的结合.
(2020山东省期末考试)探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在（单位：百件）件产品中，得到次品数量（单位：件）的情况汇总如下表所示，且（单位：件）与（单位：百件）线性相关：
（百件） 5 20 35 40 50
（件） 2 14 24 35 40
根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产件的任务？
(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
)
【审题视点】
决策依据是什么？
【思维引导】
根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过件，可作为决策依据.
【规范解析】
解：由已知可得：；；
又因为；
；
由回归直线的系数公式知：
，

所以，
当百件时，，符合有关要求
所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时试生产件的任务．
【探究总结】
与回归分析有关的决策问题,通常需要先求出回归直线方程并进行预测,根据预测值进行决策.
(2020山东省淄博市期末考试)随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
编号 1 2 3 4 5 6
数量（辆） 41 96 116 190 218 275
（1）若该小区私家车的数量与年份编号的关系可用线性回归模型来拟合，请求出关于的线性回归方程，并用决定系数分析其拟合效果（精确到）；
（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位.
参考数据：，，，.
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，决定系数，
残差
探究5：与独立性检验相关的决策
解决此类问题，首先、依据样本数据整理联表；其次、根据数据计算；最后查临界值表求概率，根据概率的大小给出相应的决策.
(2021河北月考试卷)某城市环保部门随机抽取去年100天的空气污染指数API的监测数据,结果统计如下:
API [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,300) 300
空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染
天数 4 15 18 30 18 15
某企业的经济情况受空气污染影响,当API在[0,100)内时,该企业没有经济损失;当API在[100,300)内时,该企业每天的经济损失与API之间为一次函数关系,且已知当API为120时,每天的经济损失为380元,当API为250时,每天的经济损失为900元;当API大于等于300时,每天的经济损失为2000元.若本次抽取的100天中有30天是在供暖季,且这30天中有9天为重度污染,完成下面的列联表,试根据小概率值的独立性检验，分析该城市去年的空气重度污染与供暖是否有关.
非重度污染 重度污染 合计
供暖季
非供暖季
合计 100
附:,.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【审题视点】
由问题可知为独立性检验问题
【思维引导】
按照公式计算，并与临界值进行比较
【规范解析】
解：零假设为：城市去年的空气重度污染与供暖无关
根据题中数据,得到的列联表如下,
非重度污染 重度污染 合计
供暖季 21 9 30
非供暖季 64 6 70
合计 85 15 100
根据列联表中的数据，经计算得到.
因为,
所以根据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即认为该城市去年的空气重度污染
与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于
【探究总结】
先完善列联表，再由卡方公式求出观测值，对照临界值表即可判断.
(辽宁省沈阳市联考)数字人民币是由央行发行的法定数字货币,它由指定运营机构参与运营并向公众兑换,与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日,数字人民币试点场景已超132万个,覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况,某机构进行了一次问卷调查,结果如下:
(1)如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”,大学专科及以上学历称为“高学历”,根据所给数据,完成列联表.
(2)若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查,求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率;
(3)根据列联表,判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关
附:.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
专题升华
统计与概率作为数学中的一个重要分支，不仅是我们数学学习的重点内容，而且这些知识更和我们的生活息息相关，人们无时无刻不与各种数据和现象打交道，如通过调查决策产品研发方向，通过调查决定生产规模和销售模式，通过药物试验评价新药的有效性与安全性，通过民意调查帮助政府部门觉醒、医改方案等.
【答案详解】
变式训练1
【解析】记顾客购买一件该商品花费金额为X元，
则普通购物中，元；
秒杀购购物中，元；
直播购物中，；
所以概率分布列为：
104 92 95.5
0.7 0.1 0.2
所以 ，
所以顾客购买该商品不划算．
变式训练2
【解析】方案的平均单价为,
因为，从采购商角度考虑，应该选择方案2.
变式训练3
【解析】的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
证明：，， 由得，，，，
因此，
故，即，
又，为公比为，首项为的等比数列；
解：由可得，
，
，，，
表示最终认为甲药更有效的概率，
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为，乙药治愈率为时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
变式训练4
【解析】，．
，．
关于的线性回归方程为．
时，，时，，时，，
时，，时，，时，．
．
，决定系数约等于，接近，说明拟合效果较好；
在中求得的线性回归方程中，取，可得．
故若要求在年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划个停车位．
变式训练5
【解析】解:(1)列联表如下:
(2)
(3)零假设为：是否了解数字人民币与学历高低无关
根据列联表得:
故没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.

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