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函数与导数-函数的图象与性质
专题综述
高考对于函数的考查是多方位的，但主线是函数性质的探求及应用.而图象可以从总体上直观地刻画函数的性质，对函数的图象与性质结合考查，以性质体现图象，用图象彰显性质.经过一轮复习，对涉及函数图象与性质的问题积累了基本的解题思路与方法，建立的思维的连贯性，二轮的重点是关注思维的深刻性.因此，解决函数问题时，利用数形结合思想，能后识图、用图，理解研究函数性质，解决方程根个数与不等式解集问题.
专题探究
探究1：图象的识别问题
图象识别问题比较灵活，对能力要求较高.基本思路是，从局部出发，排除错误选项，再从整体出发，结合函数性质，判断函数整体变化趋势.
（1）由解析式选图象、由图象选解析式
答题思路：排除法
仔细观察4个选项中的图象找区别，确定排除角度，排除的思路可以按照：
①定义域的角度、②奇偶性的角度、③特殊点的角度、④单调性的顺序进行排除.
第一步:观察图象中的定义域是否有区别，或者求选项中函数的定义域与图象是否一致；
第二步:判断函数奇偶性；
第三步:利用特殊点
第四步:单调性，利用单调性性质判断或求导.
（2）同一坐标系中两个函数图象的对比
前提：给出的两个函数含有相同参数
答题思路：结合函数解析式及图像分别求参数的取值范围，参数取值范围相同即可.
（3）实际问题识图
答题思路：根据实际问题，列出函数解析式，分析函数模型，选择图象.
（2021.浙江卷）已知函数，，则为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【审题视点】
给解析式选图，或给图选解析式的题目，都从图象出发，研究定义域、奇偶性、特殊点、单调性，排除选项.
【思维引导】
给图选解析式，观察图象特点，选择切入点，如上图图象关于原点对称，轴右侧的图象先增后减，且极大值点在的左侧，有针对性的排除选项.
【规范解析】
切入点一：图象关于原点对称函数为奇函数
选项：；选项：；两个函数
为非奇非偶函数，故排除；
切入点二：单调性轴右侧图象先增后减，极大值点小于
选项：
当时，，函数在区间上单调递增，
故排除；
故选.
【探究总结】
识图题在高考中出现频率较高，但有规律可循，图象本身带有较多的信息，从定义域，奇偶性、特殊点、单调性的角度足以排除错误选项.观察图象时，特别注意图象是否有不经过的点，或者渐近线，考虑定义域；坐标轴上是否有坐标，可以用这些坐标作参照研究函数值、极值等；单调性的问题上，可以用单调性性的性质初步判断，再用导数判断.
（2021.甘肃省平凉市月考）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为、、，若一动点从点出发，按路线运动其中、、、、五点共线，设的运动路程为，，与的函数关系式为，则的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
探究2：图象法解方程
解决方程问题关键是以方程为中介，转化为函数零点问题或者图象交点问题.选择题或填空题中，方程问题转化为两个函数的图象交点问题，同一个坐标系中作出两个函数的图象，求出交点个数，或参数的取值范围.用图象求方程根个数或已知根个数求参将方程转化为的结构作出两个函数的图象，结合图象得出结论.转化为的形式时，可能需要对等式两边去繁化简，不仅仅是把部分项平移至右侧，而是要确保能够作出的图象.
（1）已知，判断方程根个数或求参
答题思路：
第一步:换元，设，则，则或；
第二步: ，转化为两条直线与图象交点问题.
（2）求函数零点个数或已知零点个数求参即为方程根即为函数图象交点横坐标；
答题思路：
第一步:转化为方程转化为函数图象交点问题；
第二步:在同一个坐标系中作出两个函数的图象；
第三步:结合图象研究交点个数，若求参数的取值范围，作出满足条件的临界位置的图象，明确图象变化范围，进而求出参数的取值范围.
(2021.江苏省苏州市月考）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【审题视点】
题干中出现方程 “有两个不同实根”，转化为两个函数的图象的交点问题.
【思维引导】
方程转化为，作出与的图象，的图象过定点，找出图象有两个交点的临界位置，求出斜率的取值范围.
【规范解析】
解：方程有两个不同实根转化为：
函数与函数的图象有两个不同的交点
当时，，周期性变化，周期为1
函数的图象恒过点；
作函数与函数的图象如下，
图中取，，三点
直线绕点从顺时针旋转，
①当斜率为1时，直线与切于点
此时图象1个交点，
故当时，函数图象2个交点
②直线从切线位置继续旋转，转至的过程中，
直线与的图象2个交点，与函数图象共3个交点
若继续顺时针旋转，交点个数超过2个，又
故当时，函数图象2个交点
综上：的取值范围为故选
【探究总结】
题干中已知方程根个数求参问题，把1个方程转化为2个函数，利用作图知识，准确的画出函数图象，找出临界位置，求出参数范围.
(2021.江苏省苏州市期中）设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
探究3：图象法解不等式
解不等式的思路：
（1）解关于抽象函数的不等式
第一步:结合抽象函数的性质，作出抽象函数的大致图象；
第二步:结合图象写出解集：
① （）图象在轴的上方或下方的部分对应的的取值范围；
② 结合函数单调性与奇偶性
若为增函数（减函数），且，则（）；
若在轴右侧的图象单调递增（减），且，则（）；
③ 结合函数奇偶性变形为结合单调性解不等式.
（2）已知解析式，解不等式（解不等式的思路与的思路一致）
第一步:将不等式，转化为的形式；
第二步:作出两个函数的图象，不等式的解集即为图象在图象上方部分对应的的取值范围.
（3）已知在区间上恒成立，求参数的取值范围：
第一步: 不等式转化为或的形式，即函数的图象恒在的上方或下方；
第二步:①若的图象为直线或直线翻折得到，作出的图象，若直线斜率确定，即平移直线；若直线过定点，即直线绕定点旋转；结合图象，确定平移或旋转范围；
②若与的图象均为曲线，作出满足位置关系的图象；
第三步: ①直线的临界位置即为与图象相切的位置，利用导数的几何意义求解；②比较区间端点处函数值，列出不等式，求参数取值范围.
(2021.安徽省高三月考）已知函数若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
解不等式或不等式恒成立问题，在选择填空题中首先考虑图象法，不等式左右两侧对应的函数均为常见函数，其图象可快速作出.且出现了带有绝对值的结构，通常选择图象法，利用图象的翻折变换，作出的图象，解决问题.
【思维引导】
作出的图象，对于的图象，可由的图象平移得到.可先作出的图象，左右平移确定范围，临界位置处两图像相切.
【规范解析】
解：作出函数的图象，如下图
由不等式对任意的恒成立，
即的图象不能在的图象的上方，
①将的图象向左平移，均满足
②将的图象向右平移，平移至与相切的位置处
即为切线，
设切点为，
又，
切点坐标为
综上可得，的范围是
故选
【探究总结】
不等式恒成立问题，若通过图象解决，往往需要对不等式变形，目的是转化为两个比较“简单”的函数，即能用常规的方法作出图象的函数.若与直线有关，需要研究直线的平移或者旋转，要与导数几何意义相结合；若与曲线有关，比较端点处函数值大小.
(2021.江苏省高三联考）已知，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
探究4：图象与性质的综合应用
（1）与对称性结合：
① 已知与的图象交点坐标为，求或或
：
第一步:在同一坐标系中，作出与的图象；
第二步: 与有相同的对称轴或对称中心，结合图象，判断交点的个数；
第三步:结合对称性，求出每一组对称点的坐标之和.
② 已知与的图象上有关于轴（轴或原点）的对称点，转化为的图象关于轴（轴或原点）的对称函数（或）的图象与的图象有交点.
（2）与单调性、奇偶性、周期性的结合：往往结合抽象函数考查
第一步:分析题中抽象函数的性质，作出函数大致图象或者结合基本初等函数的图象思考；
第二步:解方程或不等式，转化为自变量的值之间的关系.
(2021.安徽省高三月考）已知函数的图像关于直线对称，则方程的解的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【审题视点】
题中函数为抽象函数，解题时可以先作出大致图象，结合已知函数图象帮助理解.抽象函数下的方程问题，要转化为自变量值之间的等式关系，化抽象为具体，最终转化为用上述探究二中的方法解决.
【思维引导】
函数关于直线对称，即函数为偶函数. ，转化为，即，结合图象求交点个数，即为方程的根.
【规范解析】
解：由因为函数的图像关于直线对称，
可得函数的图像关于直线对称，
所以函数为偶函数，
因为，
所以，
令，，
则，
，
两函数图像如图
由图像可知，两函数图像有3个不同的交点，
所以方程的解的个数为3，故答案为
(2021.江苏省苏州市模拟）已知是定义在上的奇函数，且，则的最小正周期为___________；若对任意的，当时，都有，则关于x的不等式在区间上的解集为___________.
专题升华
利用函数图象解题，将抽象问题具体化，是处理函数问题的重要方法，体现数形结合思想、化归与转化思想. 而图象与性质紧密结合，用图象呈现性质，反之结合性质可作出函数大致图象.对于图象的要求是会识图、作图、用图，函数在选择填空题的考查中，往往会转化为图象问题求解，所以掌握常规的作图方法是关键.图象的考查不仅仅局限与上述的探究方向，利用图象求函数值域，分析函数性质，求零点个数，方程根个数，求参数的取值范围等等.因此，函数对图象要求较高，复习时注意方法思路的总结，能够以不变应万变.
【答案详解】
变式训练1：
【解析】解：根据题意，用排除法分析：
在区间上，在弧上运动，则
在区间上，在弧运动，此时
则，
则区间上，为增函数且是曲线，排除；
在区间上，在弧运动，此时
则
则区间上，为减函数且是曲线，排除，
故选.
变式训练2：
【解析】解：作出函数的图象如图，
令，则方程转化为
设方程的两根为，则，
即与的图象共6个交点，
由图象可得，当时，两直线与的图象共6个交点
则方程在内有两不同实数根，
解得，
则实数a的取值范围为
故选
变式训练3：
【解析】解： ，
由题意得：在上，函数的图象应在函数的图象的下方．
①当时，显然不满足条件．
②当时，函数的图象是把函数的图象向左平移个单位得到的，函数在上单调递增，图象不满足函数的图象在函数的图象下方．
③当时，如图所示：
在为减，在为增，
的图象由的图象向右平移的单位得到，
当时的图象在的图象下方，
发现只需当时成立即可满足条件，
即 ，
结合 化简得 故，
解得，故此时的范围为．
综上可得的范围为．
故选：．
变式训练4：
【解析】解：由可得，函数关于对称，
又函数为奇函数，故函数关于原点对称，
所以函数的周期为，
因为对任意的，当时，都有，不妨设，所以，所以函数在上是增函数，
所以当时，，
令，设，则，所以是单调递减函数，
所以当，，
所以当时，，即，由对称性及周期性作函数的示意图和的图象如下图所示，
则不等式的解集为.
故答案为：2；.

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