资源简介

函数与导数-函数的零点与方程的根
专题综述
“函数零点存在性定理”是函数的一个核心定理,它蕴涵了丰富的数学思想,揭示了函数与方程的基本关系和转化的路径,是进一步研究函数问题的基础,是判定函数零点,沟通方程与函数的重要工具.从 “探究一元二次方程根与二次函数零点关系”这个特殊情况出发，抽象出函数零点与方程根的关系，体现了函数与方程思想、特殊到一般的思想；结合数形结合思想，化归与转化思想，使函数零点、方程根与图象交点三者在解题时选择合适的转化方向，顺利解题.高考中，对于函数零点与方程根的考查，通常与一元二次方程根分布、三次函数、导数等知识点结合考查，对学生能力要求较高，难度较大.
专题探究
探究1：判断零点个数或已知零点个数求参问题
零点相关问题的解题思路：
（1）二分法求零点近似值：按照二分法的步骤，缩减区间长度，使区间长度不超过精确度，则区间内任意一个值都可作为零点；
（2）判断零点个数或已知零点个数求参问题的思路
方法一：转化为利用图象解方程问题解决（专题1.3.1探究二）；
强调：转化思想函数的零点方程即的根函数图象的交点；
方法二：利用零点存在性定理解决
答题思路：
第一步: 化繁为简，若函数结构复杂，舍去不为0的部分，取其可能为0的部分，构造函数；
第二步:研究函数单调性，通常函数复杂，利用导数研究函数单调性；若含参数，分类讨论；
第三步:每个单调区间内，分别求2个函数值，确保；
第四步:得出零点个数，或已知零点所在区间，进而求出参数的取值范围.
(2021.重庆市市辖区模拟)已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
选择题中出现函数的零点问题，可以令实现转化，即转化为函数图象交点，或借助方程化简，只取可能为0的部分构造函数，利用导数研究单调性，借助零点存在性定理，研究零点个数.
【思维引导】
函数有2个零点有2个零点讨论的单调性，2个零点至少有2个单调区间明确单调区间，确定已知零点的范围验证内是否只含有1个整数.
【规范解析】
解：，其定义域为
令即
设，则的零点为
，
①当时，对恒成立，
故在单调递增，不可能有两个零点（舍）
②，令，得
令，得
故在单调递增，在单调递减，
要使有两个零点，则需，
即，
当时，，
当时，，
，
又
①当时，则，，
不存在整数（舍）
②当时，则，，
故，
，即，
③当时，则且
,
故不存在整数（舍）
综上，的取值范围为
故选
【探究总结】
本题是典型的考查函数零点个数求参数问题，两种方法都可解决.（1）借助图象：方程变形，作出新函数的图象，观察图象交点，即方程转化为，构造函数，求导研究函数的单调性，借助极值点、极值、零点，作出函数的大致图象，当时，区间内存在唯一整数.（2）借助零点存在性定理：构造函数，利用导数研究单调性，验证每个区间内是否存在零点；参数时，要分类讨论.解决此类题目时，若为选择填空，可首选图象法；若为解答题，可首选零点存在性定理解决.但不管是那种方法，试题难度都较高，理清思路，落实好细节.
(2021.山东青岛模拟）设函数，若函数存在两个极值点，且极小值点大于极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
探究2：“点”化方程根
方程问题的关键是转化为“点”的问题解决：
（1）将方程的根转化为函数图象的交点：（专题1.3.1探究二）
（2）将方程的根转化为函数的零点：
答题思路：
第一步: 简化方程，舍去不会为零的部分，或化分为整（注意分母不为0）等；
第二步: 变形为的形式，若等式左右两侧的函数图象能够用常规方法作出，通过图象能得出交点个数或列出含参数不等式，即转化为图象交点解决；若图象法不利于求解，构造函数，转化为零点问题.
(2021.浙江省台州市模拟)已知函数，若方程在区间内有且仅有一个根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
已知方程根个数求参，方程较为复杂，转化为零点解决.
【思维引导】
方程变形为，变形方向是让参数与分开，使导函数中不含参数，避免分类讨论.导函数若不能直接解不等式或不能用单调性性质判断其单调性，则提取其中符号不明确的部分，构造函数，研究新构造函数的符号.
【规范解析】
解：方程即
即，
令
则函数在区间上有且仅有一个零点，
则，
令，则，
函数在上单调递增
当时，，
，
在区间上单调递增，
当函数在区间内有且仅有一个零点时，
则
解得，即实数的取值范围是故选
【探究总结】
方程根问题，转化为零点或是交点解决，所以要将题干方程表示出来，需进一步变形.如果方程能变形为，的图象为曲线，的图象为直线，或均为常见简单函数，则转化为函数图象交点解决.若变形后不满足上述情况，则转化为函数零点问题，利用零点存在性定理，得出零点个数或求参数取值范围.
(2021.江西抚州月考）函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
探究3：一元二次方程根分布问题
一元二次方程根分布问题往往会结合方程根个数考查：
答题思路：
第一步: 换元，设，转化为一元二次方程，即；
第二步:作出的图象，作出的图象，使交点个数之和等于根个数；
第三步: 结合图象得出的范围，即方程的根范围；
第四步:结合一元二次方程根分布的情况，列出不等式；
思路：已知方程的实根的分布情况，画出满足条件的函数的图象，结合图象从，及函数端点处函数值符号的角度列出不等式.
（1）若在内研究方程的实根情况：根据根个数及根的符号列关于的不等式；
（2）若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定：
①二次方程有且只有一个实根属于的充要条件：；
②二次方程两个根都属于的充要条件：；
③二次方程两个根分别在内的充要条件：；
④二次方程两个根，一个根比大，一根比小的充要条件：.
(2021.安徽淮北模拟)已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【审题视点】
遇见“有8个零点”这种条件换元将复合函数简单化，零点转化为方程根，再转化为图象交点求解；且方程，换元后为一元二次方程，解题会用到一元二次方程根分布的知识.
【思维引导】
①换元：；②作图：作的图象；③ “看图说话”：借助交点个数，明确的范围；④转化为一元二次方程根分布问题.
【规范解析】
解：由题意得有8个根
令，则令方程的2个根为，
即方程共8个根
①当时，令，则
在区间上单调递增,在区间上单调递减
且，，时，
②当时，令，则
在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
且，时，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得：当时，
与的图象各有4个交点
即方程在区间内有2个根
解得，故选
【探究总结】
一元二次方程根分布问题，一般不会单独命题，常与函数零点或方程根结合考查，这类题目难度较大，涉及函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，解题过程按照换元：方程转化为一元二次方程；进一步转化为两个简单方程；将方程根个数转化为图象交点个数；从图象上判断进一步转化为反馈卡看函数零点.
(2021.江苏苏州模拟）已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.
专题升华
高中数学从二次函数与一元二次方程的特殊关系中，抽象出函数零点与方程根的相互转化的一般思路.高中数学的灵魂是函数，解决复杂的方程根问题转化为函数零点或函数图象的交点问题解决，所以解决这类问题的本质是能够熟练的作出函数的图象，能够深刻的理解函数的零点存在性定理中蕴含的解题思路.针对具体的函数，借助函数单调性性质及导数判断单调性，每个单调区间内判断是否存在零点，最终得出零点个数、零点所在区间、参数的取值范围等结论，这类问题难度较大，但思路明确，解题时先理清思路，处理好细节，问题能够迎刃而解.
【答案详解】
变式训练1：【答案】A
【解析】解：函数，
则，函数存在两个极值点，，
则函数与的图象有两个交点，
设与的切点，恒过点，
求导得，令，得；令，得，
在单调递减，在单调递增，
则在处的切线斜率，
则，整理得：，解得，或，
当时，则，即，，
当时，则，即，，
要使与有两个交点， 则或，
当，则与有两个交点，，且，
由函数图象可知，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
即函数单调递增，在单调递减，在单调递增，
故当时，函数取极大值，当时取极小值，
满足极小值点大于极大值点，
同理可知，当时，也满足极小值点大于极大值点，
实数的取值范围，
故选A．
变式训练2：【答案】D
【解析】，
当时，，即，
则大致图象如图所示，
设，则有三个不同的实数解，
即为有两个根，且一个在上，一个在上， 当时，，得，此时方程为，解得或，
当时，有一个根，
当时，由，此时也只有一个根，此时方程共有2个根，不满足条件．
设，
①当有一个根为1时,,解得,此时另一根为,满足条件．
②根不是1时，则满足，，
即，综上，即实数的取值范围为
故选
变式训练3：
【解析】证明：设，则，
令，则，解得，
即当时，，即成立，
即函数在区间内必有局部对称点；
解：若函数在上有局部对称点，
且，
则在上有解，
即在上有解，
于是在上有解．
令，则，
所以方程变为，
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，
所以函数在上单调递减；
设，则，，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，
所以函数在上单调递增；
故从而已知即在上有解，
设，分为两种情况：
①当方程在唯一解时：
则或
解得，；
解得，，则；
②当方程在有两个解时：
综上得:

展开更多......

收起↑