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易错点-函数与导数
专题综述
函数与导数是高考中的重点和难点，各种题型都有考查，也有一定的计算量！但我们要必拿选择填空的中等题分数，主要考查的知识点有函数的概念（函数的定义域、解析式、值域）、性质（单调性、奇偶性、对称性）、图象，导数的概念及其几何意义；对这些知识理解不到位或把握不全面或对题意理解不准确，就容易造成会而不对、对而不全的结果.
专题探究
探究1:函数性质掌握不牢致错
函数的单调性、奇偶性、周期性等在考题中不限制于以课本的定义给出，我们要关注它们等价变形形式和相关结论，如单调性的等价变形形式有：
(1)若,,
在上是增函数；在上是减函数.
若,且,则是增函数.
奇偶性的相关结论有：
(1)是偶函数；
(2)是奇函数；
(3)若函数在处有意义,则；
(4)是偶函数,则,是偶函数,则.
利用函数的对称性与奇偶性会推导函数的周期性：
(1)函数满足（）,若为奇函数,则其周期为；若为偶函数,则其周期为.
(2)函数的图象关于直线和都对称,则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称,则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数.
(2022江苏联考)已知函数的图象关于直线对称，且对有当时，则下列说法正确的是
. 的最小正周期是8 . 的最大值为5
. . 为偶函数
【规范解析】
解：因为的图象关于直线对称，
所以关于直线对称；
即有，，
又，所以，
即，所以，
又，，
所以，所以的周期，故正确；
.由知
，
故正确；
.由知所以，
则为偶函数，故正确；
.当时，，结合以上知函数图象大致为
则的最大值为4，故错误.
故答案选：
(2022福建联考)已知定义在上的函数，对任意实数有，函数的图象关于直线对称，若当时，则
A. 为偶函数 B. 为周期函数
C. D. 当时，
探究2:函数图象识别时不细致致错
函数图象是函数性质的直观反映,由函数表达式识别函数图象时由于我们平时形成的一些错误的认识,还有惯性思维,不做深入的研究,导致得出错误的结论.我们在辨别图象时可从奇偶性、单调性、特殊值等方面来排除不合适的，从而得到正确答案.
(2022福建联考)函数的图象大致为
A. B.
C. D.
【规范解析】
解：函数，
满足，
为奇函数，的图象关于原点对称，排除，
当时，，排除故选
(2021福建省福州市期中)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数相对应的图象是
A. B.
C. D.
探究3:比较大小时没有选对方法致错
在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小.若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式（对数式）但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是，有时也可借助等中间量来比较大小.若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常利用式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小.
(2021江苏联考)如果，那么下列不等式中正确的是
A. B.
C. D.
【规范解析】
解：由题意 ，所以，，
得为上的减函数，
又，所以，
而单调递减，，
，故选：
(2021安徽省池州市单元测试)已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，其中e为自然对数的底数，为圆周率，则a，b，c的大小关系为
B. C. D.
探究4:混淆两类切线致错
求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.
(2021山东模拟)已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数__________，实数__________.
【规范解析】
解：设与和的切点分别为，，
的导数，
，且，解得，；
的导数，，，
又，故答案为 ；
(2021河南信阳月考)若曲线与有一条斜率为2的公切线，则
A. B. C. D.
探究5:混淆导数与单调性的关系致错
研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意:一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零.若研究函数的单调性可转化为解不等式,首先根据a的符号进行讨论,当a的符号确定后,再根据是否在定义域内讨论,当都在定义域内时在根据的大小进行讨论.
(2021福建省福州市期中)已知函数
当时，讨论函数在区间的单调性
【规范解析】
解：当时，函数，
当时，，，在上单调递增，
当时，令，
①当时，即时，
由得：，由得：，
当时，函数在上单调递增，
在上单调递减.
②当时，即时，由得，
当时，函数在上单调递增，
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
(2022河北联考)已知函数，其中为非零常数．
若函数在上单调递增，求的取值范围；
探究6:混淆导数与极值的关系致错
对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是在x0点两侧导数异号,且,即是x0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．
(2021河北省张家口市期中)已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是
A. 函数只有一个极值点
B. 函数满足，且在处取得极小值
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在内单调递减
【规范解析】
解：由导函数的图象可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以函数的单调递减区间为，
只有当时函数取得极大值，无极小值.
故选：
(2022湖南联考)已知函数
证明：恰有两个极值点;
探究7:函数零点与方程的根不会转化致错
确定函数零点所在区间、零点个数或已知函数零点情况求参数，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，所以研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”.
(2021河北期中)已知函数 ，若存在不相等的，，，满足，则实数的取值范围是__________.
【规范解析】
解：由题意可知，对于，则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，当时，
函数取得最大值为，
如图，分别画出函数
和在上的图象，
用一条平行于轴的直线截图象，有3个交点时，
即存在，，，使得，
当或时，最多有2个交点，所以不成立;
当时，存在3个交点，所以的取值范围是
故答案为：
(2022福建月考)函数，若关于的方程
有6个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
专题升华
函数的定义域是研究函数图象与性质的第一要素，性质是函数的基本属性，图象是其性质的外在表现；把握各性质的定义和等价表达式是根本；
导数是研究函数性质的的根本工具，遇到参数时要紧记“分类讨论”；导函数图象与原函数图象的关系不能混淆！
复合函数要会分解，定义域先行，内层函数的值域是外层函数的定义域，要清醒对待两者的身份！
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】由函数的图象关于直线对称可知，函数的图象关于轴对称，
故为偶函数.选项正确;
由，得，是周期的偶函数，
选项正确，选项错误;
设，则
为偶函数，，
由时，，得
又，选项正确.
故选：
变式训练2【答案】
【解析】因为，所以，
所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除选项；
又时，，令，则，故排除选项.
故选：
变式训练3【答案】
【解析】根据题意，函数的图象关于直线对称，
则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，满足，
则，，
又由时，单调递增，则有；故选：
变式训练4【答案】
【解析】由得，令，解得，
由点斜式得切线方程：，即，
由，得，令，解得，
代入得：，将代入，
得：，故选：
变式训练5
【解析】由题知，
若，因为，，则，所以在上单调递增，
若，则当时，，从而，
所以在上单调递减，不满足题意，
综上分析，的取值范围是
变式训练6
【解析】证明：依题意的定义域为，，
令，
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减．
又因为，，，
所以在恰有1个零点，在恰有1个零点0，
且当时，，当时，，当时，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．
所以恰有一个极大值点和一个极小值点0，即恰有两个极值点．
变式训练7
【解析】函数的图象如图所示，
令，结合图象可知，
若关于的方程有6个不等的实数根，
则关于的方程在有两个不等实数根，
因为的图象过点，
则，解得 故答案为：

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