资源简介

概率统计-互斥事件和独立事件的概率计算
专题综述
概率统计是近几年高考命题的重点和热点，通常以实际应用问题为背景，考查学生应用所学的概率和统计知识对现实社会中实际数据的分析处理能力，背景丰富，涉及运动健康、科学防疫、环境保护、改革成果、复工复产等，考查数据分析.内容纯粹，淡化了形式上的交汇，强化思维方式的交汇.2021高考中概率与统计内容在选择题、填空题、解答题中都有所出现，表现出“两道小题+一道大题”的题型设计特点，占分比重较高，立足主干知识和基本思想方法，考查学生对基础知识的理解和综合应用能力.在备考时要注意：一 强化阅读量，培养对文字语言和图表信息的理解与处理能力；第二，正确理解各个概率与统计模型的特点及适用范围；第三，注重利用数学知识进行决策.本节主要介绍互斥事件与独立事件的概率计算.
专题探究
探究1：互斥事件的概率
互斥事件主要指的是不可能同时发生的两个事件，用集合的概念来解释互斥事件，就是由各个事件所含结果组成的集合彼此的交集为空集.如果两个事件是互斥事件，则事件发生的概率公式为加法公式；
答题模板：
第一步: 设事件;
第二步: 利用互斥事件的概率加法公式求解或利用对立事件概率求解.
(2020湖北省武汉市模拟)国家射击队的某队员射击一次,命中环的概率如表所示：
命中环数 环 环 环 环
概率
该射击队员射击一次求：
射中环或环的概率；
至少命中环的概率；
命中不足环的概率．
【审题视点】
确定概率模型，选择恰当的计算方法.
【思维引导】
由命中9环与命中10环不可能同时发生，故选择概率加法公式进行求解
【规范解析】
解：记事件“射击一次，命中环”为，则事件彼此互斥．
记“射击一次，射中环或环”为事件，那么当，之一发生时，事件发生，
由互斥事件的加法公式得：
；
设“射击一次，至少命中环”的事件为，
那么当，，之一发生时，事件发生．
由互斥事件概率的加法公式得：
；
由于事件“射击一次，命中不足环”是事件：“射击一次，
至少命中环”的对立事件：
即表示事件“射击一次，命中不足环”，
根据对立事件的概率公式得：
．
【探究总结】
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，我们可以利用这个特性来求解互斥事件的概率问题，解题通常有两种思路：一、将所求事件的概率转化为彼此互斥的事件的概率和；二、当所求事件的概率比较难求时，可以先求它的对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率即可求出所求事件的概率，运用这个思路解题可以简化解题的过程.
（2020山东期末）某射手平时射击成绩统计如表：
环数 7环以下 7 8 9 10
概率 0.13 0.25 0.24
已知他射中7环及7环以下的概率为0.29．
（1）求和的值；
（2）求命中环或环的概率；
（3）求命中环数不足环的概率．
探究2：相互独立事件的概率
相互独立事件概率问题是相对来说比较难理解的一类事件.有很多同学会将相互独立事件和互斥事件混淆，但是这两个事件其实是完全不同的事，在解答相互独立事件的概率问题时，我们常会使用这个公式来求其概率.
(2020全国1卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
求甲连胜四场的概率；
求需要进行第五场比赛的概率；
求丙最终获胜的概率.
【审题视点】
根据实际背景抽象出数学模型，确定求解概率方法.
【思维引导】
甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行场比赛，比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜场的概率为；乙连胜场的概率为；丙上场后连胜场的概率为，从而求出需要进行第五场比赛的概率．
丙最终获胜有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，从而求出丙最终获胜的概率．
【规范解析】
解：甲连胜四场只能是前四场全胜，
．
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，
至多需要进行场比赛，比赛四场结束，
共有三种情况：
甲连胜场的概率为；乙连胜场的概率为；
丙上场后连胜场的概率为；
所以需要进行第场比赛的概率为，
(3)丙最终获胜有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，比赛五场结束且丙最终获胜，
则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜,负,轮空结果有种情况：
胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
因此丙最终获胜的概率为．
【探究总结】
在求相互独立事件的概率时，我们要先确定各事件是独立的，也就是各事件之间不会相互影响，且各事件会同时发生，然后排除互斥事件，即不可能同时发生的情况，最后求每个独立事件发生的概率，根据乘法公式求得整个事件的概率.
(2021新高考)有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取一个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
专题升华
互斥事件与相互独立事件是概率中的两类重要事件，但是很多同学容易对这两类事件产生混淆，在解题时出错.对于事件，若不可能同时发生，则称为互斥事件，从集合的角度理解，就是，若还满足，则事件 为对立事件.互斥事件遵循概率加法公式，即.若则相互独立.
【答案详解】
变式训练1
【解析】(1)因为他射中7环及7环以下的概率为，
所以， ．
(2)命中10环或9环的概率为；
(3)命中环数不足9环的概率为．
变式训练2【答案】
【解析】解：由题意可知，两次取出的球的数字之和为的所有可能为：
，，，，，
两次取出的球的数字之和为的所有可能为：
，，，，，
可得甲、乙、丙、丁事件发生的概率为：
甲，乙，丙，丁
又甲丙，甲丁，乙丙，丙丁
所以甲丁甲丁，故选：

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