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立体几何—空间中的动点问题
专题综述
空间中的动点问题是指在一定的约束条件下，点的位置发生变化，在变化过程中找出规律，将动点问题转化为 “定点”问题、将空间问题转化为平面问题、将立体几何的问题转化为解析几何的问题等,目的是把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中去.立体几何中考查动点问题，往往题目难度较大，渗透化归与转化思想，对学生的逻辑推理能力要求较高.一般考查动点轨迹、动点的存在性、定值、范围、最值等问题，除了利用化动为定、空间问题平面化等方法，在几何体中由动点的变化过程推理出结果以外，也可以通过建系，坐标法构建函数，求得结果.
专题探究
探究1：坐标法解决动点问题
建立空间直角坐标系，使几何元素的关系数量化，借助空间向量求解，省去中间繁琐的推理过程.解题步骤与空间向量解决立体几何问题一致，建立适当的空间直角坐标系由动点的位置关系，如在棱上或面内，转化为向量的关系，用参数表示动点的坐标通过空间向量的坐标运算表示出待求的量若求最值或取值范围，转化为函数问题，但要注意自变量的取值范围.一般坐标法用于解决动点的存在性问题、求最值、求范围问题.
说明：对于求最值、范围问题，也可以直接通过几何体中的某个变量，构建函数，求最值或范围.
(2022湖北省宜昌市模拟) （多选）在正方体中，点为线段上一动点，则（ ）
A. 对任意的点，都有
B. 三棱锥的体积为定值
C. 当为中点时，异面直线与所成的角最小
D. 当为中点时，直线与平面所成的角最大
【审题视点】
以正方体为载体考查定点的定值、最值问题，正方体便于建立空间直角坐标系，可选择用坐标法解决.
【思维引导】
选项，可以用几何知识证明；选项，设出点坐标，用坐标表示出异面直线成角的余弦值或线面角的正弦值，求最值，得出点位置.
【规范解析】
解：对于：连接，
因为在正方体中， 平面，
平面，
，
故正确；
对于：
平面平面，
平面与平面的距离为正方体棱长，
，为定值，
故正确；
对于：
以为坐标原点，直线分别轴，建立空间直角坐标系如下图：
设正方体的棱长为2，
，
则， ， ，
因此， ，
设异面直线与所成的角为，
则
当时，，
当时，当时，
故当与重合时，异面直线与所成的角最小，
故不正确；
对于： ，
又是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以当时，取得最大值，而，
因此取得最大值，
即当为中点时，直线与平面所成的角最大，
故正确.
故选
【探究总结】
典例1是一道典型的研究动点问题的多选题，难度中等，但能够反映出坐标法研究最值范围问题的思路.建系设坐标，写出参数范围 根据向量运算构造函数求最值.
(2021安徽省蚌埠市联考) 已知圆柱底面半径为1，高为，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示．将轴截面绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点
（1）求曲线长度；
（2）当时，求点到平面的距离；
（3）证明：不存在，使得二面角的大小为
探究2：化动为定
点的位置在变化的过程中，有些量或位置关系是不变的，比如点到平面的距离不变，从而使几何体的体积不变；动点与另外一定点的连线与某条直线始终垂直，与某个平面始终平行.在证明体积为定值、证明位置关系时，要动中寻定，将动态的问题静态化：将动点转化为定点，寻找动直线所在的确定平面，从而解决问题.
答题思路：
1.动点到平面的距离为定值：证明平面，动点到平面的距离即为定点到平面的距离；
2.为动点，为定点，证明：证明所在平面与垂直；
3.为动点，为定点，证明平面：证明所在平面与平面平行.
(2021湖南省四校联考) 在正三棱柱中，,，分别为的中点，P是线段DF上的一点．有下列三个结论：①平面；②;③三棱锥的体积时定值，其中所有正确结论的编号是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【审题视点】
求证关于动直线的线面平行或线线垂直，三棱锥的体积为定值问题，要化动为定.
【思维引导】
证明动直线所在平面与已知平面平行；证明定直线与动直线所在平面垂直；寻找过点与平面平行的直线，即得出点到平面的距离.
【规范解析】
解：如图，
对于①，在正三棱柱中，
，分别为的中点，
平面平面，
由平面，得平面，故①正确；
对于②，
在正三棱柱中，
平面平面，
平面平面
平面，，
平面
平面
,故②正确；
对于③，
平面平面，
平面
到平面的距离为定值，
而有为定值，故是定值,
故③正确．故选D．
【探究总结】
立体几何证明中经常出现，求证关于动直线的线面平行与线线垂直问题，其思路是转化为证明动直线所在的定平面与其他平面或直线的位置关系.关键是分析动点,动线或动面间的联系,在移动变化的同时寻求规律.
(2021云南省曲靖市联考) 如图所示的几何体中，为直三棱柱，四边形为平行四边形，，，
（1）证明：，，四点共面，且；
（2）若，点是上一点，求四棱锥的体积，并判断点到平面的距离是否为定值？请说明理由．
探究3： 巧用极端位置
由于点位置连续变化，使研究的图形发生连续的变化，利用点的位置变化“极端”位置，避开抽象及复杂的运算，得到结论.常见题型：
1.定值问题：几何体中存在动点，但所求结果是确定的，即随着动点位置的改变不会影响所求的量，故可以考虑动点在极端位置的情况，优化解题过程.
2.范围问题：几何体中存在动点，结果会随着动点位置改变而改变，当动点从一侧极端位置移动到令一个极端位置的过程中，所求量在增大、或减小、或先增后减、或先减后增，通过求出极端位置处的值，及最值，从而得出范围；
3.探究问题：探究满足条件的点是否存在，也可以转化为求出范围，从而得出结论.
(2021湖南省株洲市模拟) 在正四面体中, 为棱的中
点, 为直线上的动点,则平面与平面夹角的正弦值的取值范围是 .
【审题视点】
本例可用极端位置法分析，也可以建系，用坐标法解决.
【思维引导】
借助极端位置分析，不难看出经过和底边中线的平面与平面垂直，点在移动的过程中，存在一个位置使平面与经过和底边中线的平面平行，即平面平面，此时两平面所成角为，角最大；当点移动到无穷远时，平面平面,此时两平面所成角最小.
【规范解析】
解：由下左图
设为的中心，为的中点，
则在正四面体中平面，
为中点，为的中点，
，故平面
连接，并延长交于点，
连接，并延长交于点，
则过点的平面交直线于点.
则平面平面
即平面与平面的夹角的正弦值为1，
点从取最值的位置处移动至直线的无穷远处的过程中，
平面与平面的夹角逐渐减小，
即当点在无穷远处时，看作，
如下右图
故平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角，
求出其正弦值为.
综上可知:面与面的夹角的正弦值的取值范围为.
【探究总结】
借助极端位置解决典例3中的问题，首先利用几何知识，明确点在移动的过程中 ，所求量的变化情况，若在极端位置处取“最值”，问题就简化为求出极端位置处的值.
(2021浙江省杭州市高三模拟)高为1的正三棱锥的底面边长为，二面角与二面角之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（ ）
一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
专题升华
几何体中研究动点问题往往难度较大，开放性强，技巧性高.总体思路是：用几何知识，经过逻辑推理，证明位置关系或求出表示出所求量；或者建立空间直角坐标系，将几何问题代数化，用空间向量研究动点问题，省去了繁杂的推理环节，但计算量较大.解决动点问题的策略不局限与上述方法，常用的的方法还有：运用条件直接推算，借助条件将几何体还原到长方体中去；构造函数，数形结合；还将空间问题转化为平面几何解决，如化折为直、利用解析几何的知识解决. 但只要我们熟练掌握这些基本方法,并灵活加以应用,不仅能化繁为简,化难为易,而且还可以得到简捷巧妙的解法.
【答案详解】
变式训练1
【解答】解：（1）在侧面展开图中为的长，其中，
曲线的长为
（2）当时，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有、、、，
、、
设平面的法向量为，则，
取得，
所以点到平面的距离为；
（3）假设存在满足要求的，
在（2）的坐标系中，，
，
设平面的法向量为，则
，
取得，
又平面的法向量为，
由二面角的大小为，
则
，时，均有，与上式矛盾．
所以不存在使得二面角的大小为
变式训练2
【解答】（1）证明：因为为直三棱柱，
所以，且，
又四边形为平行四边形，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，四点共面；
，
又平面，平面，
，
四边形为正方形，连接交于，
，
在中，，，
由余弦定理得，
，所以，
，
又平面ABCD，平面ABCD，，
，平面，，
平面，
平面，所以，
又， 平面，
平面，
平面，
（2）解：由（1）知：平面，
在中，由已知得，
，
四棱锥的体积，
，点到平面的距离为定值，
即为点到平面的距离
变式训练3
【解析】解：设二面角为，二面角为，
当时，正三棱锥趋向于变为正三棱柱，
；
当时，正三棱锥趋向变为平面，
.当正三棱锥为正四面体时，且，，故.
当从小变大时，要经过从变为小于的角，然后变为的过程，
故只有选项符合.
故选：.

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