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易错点-数列、不等式
专题综述
数列在高考中可以是客观题，也可以是解答题，客观题一般突出小、巧、活，解答题一般考查数列的通项与求和，难度不大；
不等式主要考查不等式的应用，一般为客观题，其中基本不等式也有可能与解三角形及解析几何交汇出现在解答题中.
专题探究
探究1:与关系不清致错
已知数列{}的前项和，求通项与的关系中，成立的条件是，求出的中不一定包括，而应由求出，然后再检验是否在中.
(2021福建省福州市期中)若数列的前项和，则 ．
【规范解析】
解：根据题意，数列的前项和，
当时，，
当时，
，
时，不符合，
故， 故答案为：．
(2021湖南省单元测试)数列的前项和是，，，，若，则 ．
探究2:数列与函数的关系不清致错
数列的通项公式、前项和公式都是关于正整数的函数,要善于从函数的观点认识和理解数列问题.如求数列中的最值、利用函数单调性求解数列问题,要注意的取值不是连续实数，但考生很容易忽视为正整数的特点,或即使考虑了为正整数,但对于取何值时,能够取到最值求解出错.
(2021辽宁省沈阳市期中)等差数列中，，，，表示的前项和，当取 时最大．
A. B. C. D.
【规范解析】
解：公差为的等差数列中，，
整理得：，
化简得，所以，
所以，
，，
所以，
由于，，表示的前项和，
时，，
时，，
时，，
时，，且，则，
故当或时，最大．故选：．
(2021江苏省扬州市单元测试)已知数列满足：，．
求证数列是等比数列；
若数列满足，求的最大值．
探究3:等差数列、等比数列混合运算时致错
在数列的基础性试题中,等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式是解题的根本,用错了公式,解题就失去了方向.且若等比数列{an}的各项为实数,则同号,同号.
(2021江苏月考)在公差不为的等差数列中，，，，，成公比为的等比数列，则
A. B. C. D.
【规范解析】
解：设等差数列的公差为，
因为，，，，成公比为的等比数列，
所以，所以，得
所以，所以
即，解得．
故选：．
(2021辽宁省沈阳市期中考试)已知是公比为的等比数列，且是，的等差中项，则
A. B. C. D.
探究4:不理解数列的函数性质致错
数列是特殊的函数，但函数的性质在数列中仍然成立，如单调性、周期性等，把握数列的函数性质，可以解决数列的项、前项和等问题.
(2021福建月考)在数列中，，，，则的前项和为 ．
【规范解析】
解：数列中，，，，
则：，
，
，
，
，
所以：数列的周期为，且，
数列的前项和为：
+
．
故答案为：．
(2021山东省淄博市单元测试)已知数列的首项，，则 ．
探究5:求前项和时项数不清致错
数列求和常用的方法有公式法、倒序相加法、分组（并项）求和法、裂项相消法、错位相减法；含有的数列求和,一般用分组（并项）求和法，且要分为奇数与偶数进行讨论,对每一类的讨论要在前提条件下进行.用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如：＝(－),裂项后可以产生连续相互抵消的项,但抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项．错位相减法的过程同学们都会，但由于步骤繁琐，计算量大导致漏项或添项以及符号出错等.
(2021河南省郑州市单元测试)若等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式及前项和；
设，求的前项和．
【规范解析】
解：由题意，，即，
设等差数列的公差为，则，
．
则，．
由知，，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，可得．
(2021湖北七校联考卷)等差数列的公差不为，满足，，，成等比数列数列满足．
求数列与的通项公式
若，求数列的前项和．
探究6:对不等式基本性质理解不透致错
在判断不等式大小或解不等式时，对不等式基本性质中的条件没有准确理解, 造成错解, 如很多条件是“正数不等式”,同向不等式不能相减、相除；高次不等式、分式不等式、无理不等式等其它不等式在求解时注意它们的等价变形，不能漏解或增解.
(2021江苏省无锡市单元测试)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【规范解析】
解：根据，取，，则不成立，故A错误；
B.，由不等式的基本性质知成立，故B正确；
C.由，取，，则不成立，故C错误；
D.，，即，
，即，
，，，故D正确．
故选：
(2021江苏省扬州市单元测试)能够说明“若，则”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为__________，_________
探究7:基本不等式应用不当致错
利用基本不等式求最值时需保证3个条件：一正二定三相等，特别是等号成立的条件容易忽略，且多次使用基本不等式时要保证等号成立的条件一致.
(2021江苏联考)已知实数m，且，则的最小值为______.
【规范解析】
解：令，，则，
，
当且仅当，，即，
即时等号成立． 故答案为：
(2021湖北模拟)已知正实数a， b满足
求最大值;
若不等式对任意恒成立，求 m的取值范围.
专题升华
把握等差数列、等比数列的定义，等比数列的公比、基本不等式这些基本概念、明白常见的陷阱点；
理解等差数列、等比数列的性质，数列求和方法，细心计算，注意题干特殊条件，是避免出错的有效点；
重视“分类讨论”；
【答案详解】
变式训练1【答案】1347
【解析】， ，
两式相减得：，，
，，，又，，，
，由，或，
可解得：，故答案为：．
变式训练2
【解析】证明：因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列,所以数列是等比数列；
由得，所以，
则，
因为
，
所以，即数列为递减数列，所以的最大值为．
变式训练3【答案】AD
【解析】因为是，的等差中项，
所以，即，变形得：，所以，
因为数列为公比为的等比数列，所以上式可化为：，
因为等比数列各项均不为，所以，解得：或．故选：．
变式训练4【答案】-1
【解析】，，
，，，，
数列是周期为的数列，，故答案为：．
变式训练5
【解析】由已知，又故，
解得舍去，或，，故．
故当时，可知，
当时，可知
得
又也满足，故当时，都有．
由知，
故
由得, 解得．
变式训练6
【解析】由，可得，
若，则不成立，故取，的一组值即可，
故答案为1；答案不唯一：第1个数大于0，第2个数小于0即可
变式训练7
【解析】由题
，当且仅当时取等号.
所以，所以最大值为
由题，，
当且仅当即，取等号， 所以的最小值为
又｜， 不等式对任意恒成立，
只需｜即可, 解得， 即m的取值范围是

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