资源简介

概率统计-统计案例
专题综述
统计案例问题是近几年高考的热点内容之一，高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程的求解及应用、独立性检验问题；有时也会在知识交汇处命题，如概率与统计的结合等.从考查形式上看，大题、小题均有出现.
专题探究
探究1：回归分析
当两个变量具有一定的相关关系时，可借助回归分析建立两个变量间的关系.求解回归直线方程的关键是正确理解的计算公式并准确地计算.
(2021山东单元测试)为研究鲈鱼体重与身长的关系，某鱼类研究所得到如下表所示的样本数据.
30.0 31.2 31.1 33.5 34.0 34.7 34.5 35.0 35.1 36.2
242 290 340 363 430 450 500 390 450 500
36.2 36.2 36.4 37.2 37.2 38.3 38.5 38.6 38.7 —
475 500 500 600 600 700 700 610 650 —
（1）请画出散点图，并求鲈鱼身长与体重之间的线性样本相关系数.
（2）建立一元线性回归模型，求出经验回归方程，并预测当鲈鱼身长时体重的平均值是多少？
【审题视点】
样本相关系数、 线性回归方程
【思维引导】
画散点图，并根据相关系数公式进行计算；根据公式计算 ，求得经验回归方程.
【规范解析】
解：（1）散点图如图所示
可得
；
（2）由最小二乘法可得，
∴对的线性回归方程为
当鲈鱼身长为时，
其体重的估计值为．
【探究总结】
（1）在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据做出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.
（2）相关系数大于表示两个变量正相关，小于表示两个变量负相关.时，认为两个变量具有较强的线性相关关系.
（3）如果两个变量具有线性相关关系，则利用最小二乘估计可得经验回归方程.
(2020山东省月考试卷)某学校高一数学兴趣小组对学生每周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀(体育成绩满分100分，不低于85分称优秀)人数之间的关系进行分析研究，他们从本校初二，初三，高一，高二，高三年级各随机抽取了40名学生，记录并整理了这些学生周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀人数，得到如下数据表：
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验．
(Ⅰ)若选取的是初三，高一，高二的3组数据，请根据这3组数据，求出y关于x的线性回归方程；
(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过1，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(Ⅰ)中所得到的线性回归方程是否可靠
参考公式：==,.
探究2：独立性检验
独立性检验的基本思想类似于反证法，要确认两个分类变量有关系，首先假设两个分类变量没有关系(原假设)，在该假设下统计量的值应该很小，如果计算得到的的值很大（与临界值比较），则在一定程度上说明假设不成立（在犯错误概率不超过的前提下，认为原假设不成立）.
(2021河北单元测试)今年疫情期间，许多老师进行抖音直播上课.某校团委为了解学生喜欢抖音上课是否与性别有关，从高三年级中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
男生 女生 合计
喜欢抖音上课 10
不喜欢抖音上课 8
合计 30
已知在这人中随机抽取人，抽到喜欢抖音上课的学生的概率是.
（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有的把握认为喜欢抖音上课与性别有关？
（2）若从这人中的女生中随机抽取人，记喜欢抖音上课的人数为，求的分布列、数学期望.附临界值表：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
参考公式：，其中.
【审题视点】
第一问从问法中可以得出考查独立性检验，按照独立性检验公式计算即可.
第二问为求离散型变量的分布列,判断分布模型然后求解.
【思维引导】
（1）利用已知条件补充列联表，应用独立性检验的方法，即可判断是否有的把握认为喜欢抖音上课与性别有关．（2）的可能取值为,求出概率，得到分布列，然后求解期望．
【规范解析】
解：（1）由30人中随机抽取1人，抽到喜欢抖音上课的学生的概率是，
故喜欢抖音上课的学生共有人．
零假设为：喜欢抖音上课与性别无关
列联表补充如下：
男生 女生 合计
喜欢抖音上课 10 6 16
不喜欢抖音上课 6 8 14
合计 16 14 30
根据列联表中数据经计算得到：
=，
根据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，即认为成立，
所以没有的把握认为喜欢抖音上课与性别有关．
（2）的可能取值为．
,, ,
所以的分布列为：
0 1 2
的数学期望为：．
【探究总结】
独立性检验的一般步骤：
（1）提出零假设
（2）根据样本数据列列联表；
（3）根据公式计算的值；
（4）查表比较与临界值的大小关系，作统计推断.
值越大，对应原假设成立的概率越小，原假设不成立的概率越大.
(2020江苏省月考试卷)某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（Ⅰ）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650）,[750，850）内的两组学生中抽取10人,再从这10人中随机抽取3人,记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量,求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下面的列联表，并依据小概率值
的独立性检验，分析该校学生属于“高消费群”与“性别”是否有关.
属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男
女
合计
（参考公式：，其中）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
专题升华
高考新课标着力对数学核心素养的考查，概率统计成为考查数学应用能力和创新意识的重要载体.这类解答题的特点是题干长，条件分散，文字和图表较多，对同学们的阅读审题、识图用
图、直观想象等水平提出了更高的要求，应以教材为基础、梳理基本概念、形成知识脉络，明白在实际问题中概率统计有什么作用，加强应用意识，培养灵活应变能力.
【答案详解】
变式训练1
【解析】 (1)因为,.
∴关于的线性回归方程为：
(Ⅱ)当时,,，
当时,,，
由此分析,(Ⅰ)中得到的线性回归方程是可靠的.
变式训练2
【解析】（Ⅰ）由题意知，
解得，
样本平均数为元．
（Ⅱ）由题意，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，
随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．
（）所以随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P
随机变量的数学期望.
（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，其中属于“高消费群”的25人，其中女生10人， 得出以下列联表：
属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男生 15 25 40
女生 10 50 60
合计 25 75 100
零假设为 ：该校学生属于“高消费群”与“性别”无关.
根据表格数据
==，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生属于“高消费群”与性别有关．

展开更多......

收起↑