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解析几何-圆锥曲线的定义及标准方程
专题综述
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点。高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题。在解析几何问题中，圆锥曲线的定义是根本，利用定义解题是高考的一个重要命题点．圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，也是问题研究的基础，正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．如，已知圆锥曲线上的点以及焦点（焦点三角形），应考虑使用圆锥曲线的定义等。
专题探究
探究1：圆锥曲线的定义、方程
椭圆
（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为)距离之和为定值()的点的轨迹；
（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦,与另一个焦点构造，则的周长等于。
（3） ①当时，表示椭圆；②当时，表示两定点确定的线段；
③当时，表示无轨迹。
双曲线
（1）秒杀思路：①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数;
②注意定义中两个加强条件:（I）绝对值; （II）；
③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);
（2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦（交到同一支上），与另一个焦点构造
，则的周长等于。
（3） ①当时，表示双曲线；
②当时，表示以两定点为端点向两侧的射线；
③当时，无轨迹；
④当时表示两定点的中垂线。
抛物线
（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。
（2）秒杀公式一：焦点在轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。
（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为或的弦,两段焦半径分别为:,.
(2021全国统考甲卷理科)已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为____________
【审题视点】
如何运用椭圆的定义求解四边形的面积？
【思维引导】
判断四边形为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可。
【规范解析】
因为，为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，
即，所以，
所以四边形的面积为．
故答案为：．
【探究总结】
此类问题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线的各有不同的形式。
(2021天津市)设双曲线的方程为，过抛物线
的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
探究2：焦点三角形
椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。
秒杀题型一：①周长为定值：。
②，当点靠近短轴端点时增大，
当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大。
（2）秒杀题型二：,
即与短轴端点重合时面积最大。
（3）秒杀题型三：①当底角为，个数：4个(点为通径端点)；
②当时，个数：。
（点为以为直径的圆与椭圆的交点）
双曲线的焦点三角形：
（1）焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个；
（2）(为焦点三角形的顶角)=。（等面积思想在解题时非常重要）
(2022重庆市)已知椭圆：的右焦点的坐标为，为椭圆的左焦点,为椭圆上一点,若,,则椭圆方程为______．
【审题视点】
如何处理焦点三角形问题？
【思维引导】
不妨设，根据的面积为，结合余弦定理，解方程组可得和的值，再根据椭圆方程求出，进而求出椭圆方程．
【规范解析】
由题意可知，不妨设， 由，则，
①
在中，
利用余弦定理可得②
由①②联立解得，，
所以，
所以椭圆方程为．
故答案为：．
【探究总结】
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题。
(2021全国联考)已知椭圆的方程为，、为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，椭圆的离心率为，若，则的值为
探究3：双曲线的渐近线
题型一：由双曲线的方程求渐近线
秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程:;
②若焦点在轴上，渐近线为；若焦点在轴上，渐近线为。
题型二：有共同渐近线的双曲线方程的设法
秒杀思路：。
题型三：已知渐近线方程设双曲线方程
秒杀思路：。
题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：
秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。
(2021山东省淄博市期末)设，是双曲线：的左、右焦点，是双曲线右支上一点若，且，则双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
【审题视点】
如何利用焦点三角形的面积？
【思维引导】
结合双曲线的定义与三角形面积公式可推出，再由余弦定理可得，而，联立即可求解。
【规范解析】
由双曲线的定义知，，
，，，
，
，即，
在中，由余弦定理知，
，
，，
化简得，，
双曲线的渐近线方程为，即．
故选：．
【探究总结】
求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可以将双曲线中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解即可求解。
(2021全国联考)设是双曲线：的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为
A. B. C. D.
专题升华
求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的，，的值．
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为，双曲线中的关系式为；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
抛物线的有关性质
已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，，则(1)(为直线的倾斜角)．
(2)以为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3).
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】抛物线的焦点坐标为，则直线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，
，，，，
双曲线的方程为，
故选：．
变式训练2【答案】4
【解析】如图，连接、，是的内心，
可得、分别是和的角平分线，
由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，
则为的角平分线，则到直线、的距离相等，
所以，同理可得，，
由比例关系性质可知．
因为椭圆的离心率为，所以，所以，则，，
又因为，所以，
故答案为．
变式训练3【答案】
【解析】不妨记是双曲线的下焦点，设是双曲线的上焦点，记是双曲线的下顶点，
是双曲线的上顶点，
画出如图所示的图象，
由于为的中点，为线段的中点，
则由中位线定理可得，，
由与以线段为直径的圆相切于点，
则，，
由双曲线的定义可得，，
即有，则，
由，由勾股定理可得，
即，则，即．
的渐近线方程为．
故选：．

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