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函数与导数-指对幂的大小比较
专题综述
比较幂或对数的大小是指数函数、对数函数和幂函数性质的重要应用，也是高考的高频考点.比较大小的方法有：（1）常用：①底数相同借助单调性；②底数不同，指数或真数相同时，借助幂函数或换底公式；③底数不同，指数或真数也不同时，借助中间量（常数）.（2）构造函数：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性，比较大小.（3）图象法：转化为比较两函数图象交点的坐标.（4）辅助：特殊值法、估算法、放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法等. 比较大小时，应先观察要比较的数的特征再选用合适的方法.本专题从构造函数借助单调性，图象比较大小的角度出发，理清解题思路与方法.
专题探究
探究1：借助抽象函数单调性比较大小
指对幂比较大小与函数的单调性应用相结合考查：
答题思路：
第一步: 设为需要比较大小的幂值或对数值，用上述常用方法或辅助方法比较大小；
第二步: 判断抽象函数的单调性
①定义法判断函数单调性；
②利用导数四则运算法则，结合题干含有与的不等式，构造函数，判断的单调性；
第三步: 利用的单调性比较函数值大小.
（2021.江苏南京月考）已知函数满足，时，成立，若，， ，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
题干没有具体的解析式结合性质研究抽象函数；结合导数的四则运算法则，构造函数，研究新函数的单调性；的结构一致可看作三个函数值，即利用新构造函数的单调性比较大小.
【思维引导】
根据的结构一致，可以推出研究的函数为，结合研究其单调性；在区间上单调递减；结合函数奇偶性在区间上单调递增；结合单调性比较大小.
【规范解析】
解：函数为偶函数
设，则为奇函数
在区间上单调递减
在区间上单调递减
即在上单调递减，则，，
，
，
故选：
【探究总结】
结合抽象函数的单调性比较大小的题目思路是：结合题干中含有导函数的关系式，构造函数；利用导数符号及函数奇偶性得出单调性；比较幂值、对数值的大小；利用单调性比较函数值大小.处理这类问题的关键是处理好函数性质的综合应用.
（2021.山东青岛期中考试）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则的大小关系__________.
探究2：构造具体函数比较大小
比较大小的数的结构上具有一致性或相似性,针对给出的结构适当变形，构造函数：
答题思路：
第一步:观察结构，构造函数；
①若都为指数结构，可以同时取对数（通常是取以为底）；将变形为化指数为系数；
② 结构相同，直接构造函数；若不同，可通过作差、作商变形为相同结构，构造函数；
第二步: 求，判断的单调性；
第三步: 利用单调性比较函数值大小.
（2021.江苏南通月考）已知，，，则， ，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【审题视点】
这是一道比较大小的题目，均为指数结构且较大，无法利用常用的方法，如借助指数函数的单调性、图象、常数等比较大小，那么就要考虑变形，构造函数解决.
【思维引导】
①结构相同，均为指数结构对每个式子同时取对数，转化为对数结构；②构造函数比较转化后的式子，若结构相同直接构造函数，若不同，两式结合适当变形.
【规范解析】
解：由题意得：，
，
又，
令，则
当时，
在区间上单调递减
，即
即
同理令，则
设，则
当时，在区间上单调递减
即当时，当时，
在区间上单调递减，
即，即
综上所述，故选：.
【探究总结】
构造具体函数比较大小的问题，关键是变形，变形的过程可能会用到辅助的方法，取对数、作差、作商、放缩、平方等.要观察几个式子的结构，作适当变形.构造函数以后，求导研究函数单调性.
（2021.广东省惠州市模拟）已知正数满足，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．以上均不对
探究3：图象法比较大小
条件出现含有指对结构的方程，常规的方法无法解方程，研究方程的根转化为研究图象的交点.比较大小在同一坐标系中作出多个函数的图象，根据交点的位置，比较交点横坐标的大小.
(2021.江西南昌模拟)已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
题干条件给出了一组方程，无法解出方程的根，就要转化为图象交点问题.
【思维引导】
①将方程,转化为,方程的根即为函数与图象交点的横坐标.其它方程的转化方式同理可得.②在同一坐标系中画出所有函数的图象,比较大小.
【规范解析】
解： ，
，，
则分别为函数，，
与函数图象交点的横坐标
又，则函数在函数的图象下方
在同一直角坐标系中作出函数，，
，的
图象如图所示：
由图可知，，
故选
【探究总结】
解题时出现方程问题，若不能用常规方法解决，就要利用函数与方程思想，转化为图象解决.将方程转化为两个函数相等，作出函数图象，作图时图象要准确.
(2021.湖北襄阳月考）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
专题升华
指对幂的比较大小问题，经常以选择填空题的形式出现，可选择的方法较多，做题时要能够结合条件选择合适的方法求解.比较大小的几个数，若结构不统一，幂值、对数、三角函数值等 “混搭”的情况下，借助指数函数、对数函数的单调性、换底公式、借助常数等方法就能解决，难度较小；若结构一致或相似，数值较大，或无法估计范围时，利用函数的图象与性质，配合放缩、基本不等式等方法解决，难度较大.专题探究构造函数，借助函数的单调性及图象比较大小的思路方法，遇到此类题目，“以不变应万变”.
【答案详解】
变式训练1：
【解析】解：由题意得：
，
设函数，则在上单调递减
又为上的奇函数，则为定义在上的偶函数
，
即
故答案为：.
变式训练2：
【解析】解：由，得，则，
得，则，，
令，则，函数在上单调递增，
，，即
又，，
综上所述：，
故选：.
变式训练3：
【解析】解：，，
为与的两个交点的横坐标且，，
，
如下图所示：
由得：，，解得：，
当时，，
（当且仅当时取等号），
.
故选：.

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