资源简介

等边三角形的判定
课 题 等边三角形 课时 2
教学目标 知识与技能 理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
过程与方法 在探索等边三角形的性质和判定的过程中，体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．
情感价值观 培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
教学重点 理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
教学难点 等边三角形性质和判定的应用．
教学方法 创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
媒体资源 多媒体投影
教 学 过 程
教学流程 教 学 活 动 学生活动 设计意图
创设情境引出内容 1、在等腰三角形中，有一类特殊的三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．2、结合等腰三角形的性质与判定你能探索等边三角形的性质与判定吗？ 独立思考交流完成 引出课题
等边三角形性质和判定 1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60°．2、等边三角形的判定：（1）：三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 归纳证明 明确知识
分析应用 如图，兴趣小组在一次测量活动中测得∠APB＝60°，AP=BP=200 m，他们便得出了结论：池塘最长处不小于200 m．他们的结论对吗？ 独立思考的基础上进行讨论 巩固性质
例题分析 1、如图，在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD∥AE，那么△ADE是等边三角形吗？为什么？2、（变式练习）如图，在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，那么△ADE是等边三角形吗？为什么？ 分组讨论 大胆猜测结论然后进行证明
含有30角直角边与斜边之间的数量关系 1、如图，将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？你能证明你的结论吗？2、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 观察图形，分析数量关系 引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键
应用提高拓展创新 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？ 观察分 析 探索解决问题的关键
巩固提高 1、P80页：练习：1、22、P81页：练习
课堂小结 等边三角形的性质和判定以及应用．
作业布置
教学反思
1等边三角形的判定
一、 教材分析
1、教材地位及作用
本课的主要内容是引导学生探究等边三角形的性质定理和判定定理以及定理的推理证明和初步应用.本教材是学生学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识后学习的，在实际生活中总能找到等边三角形的影子，它不仅使我们的生活变得丰富多彩，让我们在生活中体验到特殊的对称美，而且为我们的数学研究提供了重要素材．这一课的内容不仅是等腰三角形的延续，而且为今后证明角相等、线段相等提供了重要依据，在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用．
2、教学目标
根据上述的教材地位和作用，结合学生已有的认知结构，特制定本节课的教学目标如下：
知识目标：（1）了解等边三角形的概念.（2）探索并掌握等边三角形的性质和判定方法.
能力目标：
（1）建立初步的符号感，发展抽象思维.经过观察实验、猜想证明等数学活动，发展合情推理能力.
（2）通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究，发展逻辑推理能力.
情感目标：
通过数学活动，激发学生的学习兴趣，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，促进学生亲近数学，喜欢数学，激发学生积极参与数学学习活动的兴趣，培养学生良好的创新意识.
根据新课程标准，确立如下教学重点、难点.
3、教学重点、难点
重点：等边三角形判定定理和性质定理的探究与证明.
难点：等边三角形性质和判定方法的应用.
二、教法学法
1．教法探讨：
根据“获得数学知识的过程比获得知识更为重要”的理念，我确定本课的教法为：探究发现法，即学生在老师的正确引导下，积极主动参与探索发现、归纳类比等数学活动获得知识.
2．学法指导：
“教学中让学生发现一个问题比解决一个问题更重要.”因而本课的学法指导是让学生在“观察——发现——论证——归纳”的学习过程中自主参与知识的形成的过程.从而培养学生探究问题，交流合作的良好品质.
3．教具学具：
通过手中的自制的等边三角形卡片，学生展开讨论，探索新知的形成和发展过程，提高学生分析问题的能力，培养合作意识．
三、教学分析
由于在我们的现实生活中随处可见等边三角形，学生在原有生活经验的基础上，对等边三角形已形成初步认识，在前两个学段又对等边三角形有了初步了解，因此本节课通过类比等腰三角形的性质能够发现等边三角形的性质，同时根据经验能够画一个等边三角形，易于掌握如何判断一个三角形是等边三角形．同时在原有几何知识的基础之上，能够合情推理，易于利用性质和判定解决等边三角形的相关问题．
四、预期效果分析
由于本节课是以认知规律为主线，运用教师引导和学生自主探索、合作交流的学习方式，以达到帮助学生从感性认识发展到理性思考，促使学生逐渐形成方法，形成技能．课堂教学始终贯彻“教师为主导，学生为主体”的教学思想，渗透数学思想方法，让学生从归纳中形成能力．因此，我现对课堂教学落实不同的知识点将产生的效果预期较好.
等边三角形的判定
教学目标 1．知识目标：（1）了解等边三角形的概念.（2）探索并掌握等边三角形的性质和判定方法.2．能力目标：（1）建立初步的符号感，发展抽象思维.经过观察实验、猜想证明等数学活动，发展合情推理能力.（2）通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究，发展逻辑推理能力.3．情感目标：通过数学活动，激发学生的学习兴趣，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，促使学生亲近数学，喜欢数学，激发学生积极参与数学学习活动的兴趣，培养学生良好的创新意识.
重 点 等边三角形判定定理和性质定理的探究与证明.
难 点 等边三角形性质和判定方法的应用.
教 学环 节 问题与情境 师生行为 设计意图
新 重课 温引 概入 念 1.活动一：复习引入①回顾等腰三角形的性质与判定②问题探索：在△ABC中AB=AC，∠A=60°，你能得出什么结果？ 学生回忆等腰三角形的性质与判定.学生探究发现出AB=BC=AC. 通过回忆让学生充分准备好本节课学习所需要的基础知识，利用问题探索让学生发现，并初步感悟等腰三角形与等边三角形的区别与联系.
动 获手 得操 感作 知 活动二：动手操作你能用一张纸剪下一个等边三角形吗？ 教师演示等边三角形的作法，并让学生仔细观察. 培养学生的观察与动手操作能力，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣，并用剪下的等边三角形为下面的教学提供实物模型.
合 勇作 于探 创究 新 活动三：探究等边三角形的性质与判定你能说出等边三角形有哪些性质？②怎样判定一个三角形是等边三角形呢？ 观察自制的等边三角形模型教师板书等边三角形的性质.结合活动1中的问题探索，引导学生从边与角的角度探索等边三角形的判定.教师板书等边三角形的判定定理. 培养学生的探究精神，引导学生把等腰三角形的性质判定与等边三角形的性质判定进行类比，感悟这种类比方法在学习中的作用.进一步提升学生的想象力空间，培养学生的探究发现能力。
一 创题 新多 思解 维 活动4：知识应用讲解例4你能想出几种证明方法呢？ 学生相互交流探究证法，教师参与讨论.集思广益，鼓励创新与多种证法，充分给学生思考和发表意见的时间和空间.注意学生书写的证明过程是否规范. 培养学生应用所学知识解决问题的能力与意识，鼓励创新与多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，发展创造性.
夯 提实 高基 能础 力 活动5：课堂练习基础练习：P80：练习1.2 学生思考并作答，教师应注意：注意学生对对称轴的描述是否准确.注意学生的答案不完整，可能遗漏. 及时巩固所学知识，了解学生的学习效果.增强学生灵活运用知识的能力，语言表达能力和对图形的分析，转化能力.
总 拓结 展反 升思 华 活动6：小结反思与作业布置小结；本节课我们主要学习了什么内容？你有哪些收获？作业布置： 对比等腰三角形与等边三角形的性质与判定，有何区别与联系？注意类比，转化等数学思想方法的应用. 总结回顾学习内容，帮助学生归纳.巩固学生的所学知识，总结反思，并通过课后的独立思考，自我评价学习效果.
1(共35张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第4课时 等边三角形
的判定
1
课堂讲解
等边三角形的判定
含30°角的直角三角形的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
等边三角形有哪些性质？
复
习
回
顾
归 　纳
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于
60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别
为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度
相等．
1
知识点
等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等
腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的
结论，并与同伴交流.
知1－导
总 结
知1－导
定理　三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理　有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形.
知1－讲
1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形．
2．应用注意事项：
判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用
的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择
适当的方法．
知1－讲
如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形．
例1
导引：
从题中条件看，利用三角
形的外角性质易求∠OEF
＝∠OFE＝60°，从而证
明△OEF是等边三角形．
知1－讲
∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，
∴OE＝BE，OF＝CF.
∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.
∴∠OEF＝∠OFE＝60°.
∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.
∴△OEF是等边三角形．
证明：
总 结
知1－讲
证明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角
形是等边三角形”来判定；
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于
60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
知1－练
C
2
知1－练
如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
知1－练
3 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ 　　　 B．①②④
C．①③ 　　　 　D．①②③④
D
知1－练
4　(中考 河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2. 若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)
A．1个 　
B．2个
C．3个
D．3个以上
D
知1－练
5　 如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为(　　)
A．34 cm
B．32 cm
C．30 cm
D．28 cm
C
2
知识点
含30°角的直角三角形的性质
知2－导
做一做
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一
个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此
你能发现什么结论？说说你的理由.
归 纳
知2－导
定理　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角 边等于斜边的一半.
知2－导
已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°求证： BC＝　 AB.
知2－导
证明：
如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.
∴AC ＝AC,
∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
∴AB＝AD(全等三角形的对应
边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一
个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
要点精析：
(1)适用条件——含30°角的直角三角形，
(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关
系．
知2－讲
知2－讲
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求证：CD＝　 AB
例2
知2－讲
在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∴CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝ 90°.
∴CD＝ AC(在直角三角形中，如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD = AB.
证明：
知2－讲
例3
〈温州〉如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
导引：
(1)根据平行线的性质可得
∠EDC＝∠B＝60°，
根据三角形内角和定理
即可求解；
(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形
的性质即可求解．
知2－讲
(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
解：
总 结
知2－讲
利用含30°角的直角三角形的性质，关键要有
两个要素：
一是含30°的角；
二是直角三角形．
根据这两个要素可建立直角三角形中斜边与直角边之间的关系．
1
知2－练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长.
因为CD是△ABC的高，
所以∠BDC＝90°.
又因为∠B＝60°，
所以∠BCD＝30°. 所以BC＝2BD＝2.
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
所以∠A＝30°. 所以AB＝2BC＝4.
所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.
解：
(2016 百色)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(　　)
A．6
B．
C．
D．12
知2－练
A
知2－练
3　如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　)
A．BD＝CD B．BD＝2CD
C．BD＝3CD D．BD＝4CD
B
知2－练
如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
C
4
知2－练
如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)
A．3 m
B．4 m
C．5 m
D．6
B
5
知2－练
【中考·河池】已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(　　)
A．3 B．4
C．8 D．9
C
6
等边三角形的判定方法：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
1
知识小结
已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(　　)
A．直角三角形　 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等边三角形
易错点：对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法不理解导致出错
2
易错小结
D
如图，连接PO.
∵点P1与P关于OB对称，
∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.
同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.
∴OP1＝OP2，
∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB
＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.
∴△OP1P2为等边三角形．
本题易错的原因：(1)不会利用轴对称的性质证明OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°；(2)不会用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法．等边三角形的判定
学习目标：
1．掌握等边三角形的定义
2．理解等边三角形的性质与判定定理
3．通过对等边三角形的判定定理的探索让学生体会探究学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的应用，加深对定理的理解.
学习重点：
等边三角形的性质与判定定理.
学习难点：
等边三角形的性质的应用.
学法建议：
要用类比的方法学习等边三角形的性质和判定（类比等腰三角形的学习方法，从边、角、对称性研究）.
学习过程：经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.通过学习了解等边三角形的对称美，增强对学生数学的热爱.
【活动一】自主学习:
1．在等腰三角形中，如果底边等于腰长，这个三角形是个什么三角形？你能给这种三角形下一个定义吗？
等边三角形的定义：
2． 等边三角形有哪些性质？
边的关系
角的关系
对称性 其对称轴是 ，有 条
3.等边三角形一定是等腰三角形吗？答：
反之等腰三角形一定等边三角形吗？答：
有一个角是60°的等腰三角形是是等边三角形吗？答：
归纳总结：等边三角形的判定方法有 ：
（1）
（2）
(3)
【活动二】考考你：
在△ABC中，若∠A=∠B=∠C,你能得到AB=BC=AC吗？写出证明过程
2.如图，△ABC中是等边三角形，DE∥BC,交AB,AC于D,E.求证：△ADE是等边三角形.
【活动三】巩固检测
1.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于（ ）
A.60° B. 90° C. 120° D. 150°
2.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形. 其中是等边三角形的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
【活动四】变式训练：
1..如图原来是一个等腰三角形△ABC，其中AB=AC，现在破损只剩下一条完整的边BC和一个∠B，你能帮助回复原样吗？
2.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°,图中有那些线段与BD相等的
【活动五】小结反思
本节所学知识：等边三角形的性质和判定方法.
判定一个三角形是等边三角形的方法：
（1） 用等边三角形的定义去判定
（1） 用等边三角形的判定定理去判定
方法归纳：判定一个三角形是等边三角形，首先要判定它是一个等腰三角形，再判定它有一个角是.60°或另一边也等于腰.
作业布置：
B
B
C
A
A
B
C
D
E
E
B
C
A在哪里？
C
A
B
C
F
E
D
1

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