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高考数学冲刺点睛
目 录
TOC \o "1-2" \h \z \u 高考数学应试答题技巧 1
轻松考试六步曲 1
第一讲：集合、简易逻辑 4
今天，我怕谁之一 课本基础篇 4
今天，我怕谁之二 常考题型篇 4
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇 5
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇 5
今天，我怕谁之五 规律与技巧总结篇 5
第二讲：函数 6
今天，我怕谁之一 课本基础篇 6
今天，我怕谁之二 常考题型篇 6
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇 7
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇 9
今天，我怕谁之五 规律与技巧总结篇 10
第三讲：数列 10
今天，我怕谁之一 课本基础篇 10
今天，我怕谁之二 常考题型篇 11
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇 13
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇 16
今天，我怕谁之五 规律与技巧总结篇 18
第四讲：三角函数 18
今天，我怕谁之一 课本基础篇 18
今天，我怕谁之二 常考题型篇 24
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇 25
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇 28
今天，我怕谁之五 规律与技巧总结篇 32
第五讲：平面向量 33
今天，我怕谁之一 课本基础篇 33
今天，我怕谁之二 常考题型篇 34
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇 35
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇 35
今天，我怕谁之五 规律与技巧总结篇 36
第六讲：不等式 37
今天，我怕谁之一 历年真题剖析篇 37
今天，我怕谁之二 拓展延伸篇 37
第七讲：直线和圆的方程 38
今天，我怕谁之一 历年真题剖析篇 38
今天，我怕谁之二 拓展延伸篇 40
今天，我怕谁之三 规律与技巧总结篇 41
第八讲：圆锥曲线 42
今天，我怕谁之一 常考题型篇 42
今天，我怕谁之二 历年真题剖析篇 43
今天，我怕谁之三 拓展延伸篇 49
今天，我怕谁之四 规律与技巧总结篇 55
第九讲：立体几何 56
今天，我怕谁之一 常考题型篇 56
今天，我怕谁之二 历年真题剖析篇 61
今天，我怕谁之三 拓展延伸篇 71
今天，我怕谁之四 规律与技巧总结篇 80
第十讲：排列、组合和二项式定理 81
今天，我怕谁之一 历年真题剖析篇 81
今天，我怕谁之二 拓展延伸篇 82
今天，我怕谁之三 规律与技巧总结篇 83
第十一讲：概率与统计 83
今天，我怕谁之一 基本知识篇 83
今天，我怕谁之二 历年真题剖析篇 84
今天，我怕谁之三 拓展延伸篇 87
今天，我怕谁之四 规律与技巧总结篇 91
第十二讲：导数 91
今天，我怕谁之一 核心知识篇 91
今天，我怕谁之二 历年真题剖析篇 92
今天，我怕谁之三 拓展延伸篇 95
今天，我怕谁之四 规律与技巧总结篇 97
高考数学应试答题技巧
最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平衡是非常重要的.刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不忙匆匆作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作全面调查，一般可在十分钟之内做完下面三件事.
1.解答那些一眼看得出结论的简单选择或填空题（一旦解出，情绪会立即稳定）.
2.其他不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略分为A、B两类:A类指题型比较熟悉、预计上手比较容易的题目;B类是题型比较陌生、自我感觉比较困难的题目.
3.做到三个心中有数:对全卷一共有几道大小题有数，防止漏做题，对每道题各占几分心中有数，大致区分一下哪些属于代数题，哪些属于三角题，哪些属于综合型的题.
通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”.对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅，有的人解决的多，有的人解决的少.为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分.这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分.
“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分.
1.对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题.有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对.有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全.因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”.经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”.
2.对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分.我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略.把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密.
（1）缺步解答.如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”.
（2）跳步答题.解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论.如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向;如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”.由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底.也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面.若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答.
（3）退步解答.“以退求进”是一个重要的解题策略.如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论.总之，退到一个你能够解决的问题.为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”.这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发.
（4）辅助解答.一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤.实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举.如:准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等.答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率.试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷.
轻松考试六步曲
如何在考试中发挥正常水平、考出好成绩，获取较高的分数 平时的知识积累和考试时的灵活运用固然重要，但非智力因素发挥得如何，也具有特别重要意义。下述考试六步曲可谓抛砖引玉，以之参考借鉴。
一、一个公式
一个公式就是:信心十专心十细心=胜利。这好比作战一样，战略上要蔑视敌人〔高考并没有什么可怕的〕，战术上要重视敌人〔要认真地对待每一道题目〕，斗志上要压倒敌人〔考试信心百倍〕，这样才能打一场胜仗〔考得好〕。做任何事情，都必须有信心，考试更不例外，这是前提;“专心”和“细心”是方法和技巧问题。这“三心“必须用到考试中去。
二、注意“二意”
〔1〕要正确审出题意。这是正确解题的前提。必须逐字逐句经过大脑“过滤”，千万不要“想当然”。审题，实际上是分析问题和解决问题的思维过程，要保持清醒的头脑，有清浙的思路。在历年大的考试中，常见审题方面出现的毛病是:(1)拿到试卷，急于作答，审题不细，导致漏笔或不按要求作答，导致失分;(2)审错题，答案不切题意要求，答案错误。这些毛病应该克服。审题，一方面要看清题目要求。比如，做选择题，就要看清是选正确的还是选错误的，是选单项还是双项等。另一方面是看清题目本身。数理化等学科要看清符号，英语要看清单词，语文要看清字词等，如考作文题是《世上不只妈妈好》，不少考生写成《世上只有妈妈好》，一字这差，离题万远。
〔2〕要有解题立意。从哪个角度、哪个方位入手，架起“已知”与“未知”的桥梁，寻求解题的有效途径。
三、三快三慢
〔1〕做题要快，审题要慢。因为审题是关键的第一步，力求准确无误，因而这一步不图快。一但有了解题立意，就要快速地书写，其次是先做容易的题目，以赢得时间。
〔2〕思维要快，交卷要慢。要保持清醒的头脑，有清浙的思路，一旦某道题目的解答被“卡壳”时，不要紧张，要马上变换思维方式，换个角度、换个方位去思考，不要自己判定为“死刑“而匆匆交卷。
〔3〕行文要快，复查要慢。有了解题思路，书写文字要快，以赢得时间。复查的时候要特别注意，一是不要全部检查，因时间不允许;二是浏览全卷。对全卷作个粗略的检查，从总体上了解一下是不是所有题目都答了，是不是按要求做了，有没有弄错题号的。特别是选择题，最容易把答案填错。三是要有针对性地检查一先检查是否漏答，再根据草稿纸上记录的题号检查疑惑题目并争取在这里补上分数。四是不要重复原来的思路。五是不仅要检查答案，而且还要检查问题的性质，看看自己是否真的把题目弄清楚了。五是千万不要回头检查选择题，因为考生在高度紧张的选择中，第一反应住住是最正确的。不要在一道题上选来选去，实在不会的，不妨“蒙”一个答案。
四、处理好“四个”关系
〔1〕审题与解题的关系。有的考生对审题重视视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如“至少”，“a>0”，自变量的取值范围等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。
〔2〕“会做”与“得分”的关系。要将你的解题略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点住住被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”、“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”。
〔3〕快与准的关系。在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时习”练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。
〔4〕难题与容易题的关系。拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打 “持久战”，那样既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。
五、悟出“五感”
〔1〕考前一个月要有“题感”。要了解、掌握要考学科的考试题目类型以及基本的解题方法，清理复习中的记忆线索，以便在考试中有一个清晰的回忆“通道”。
〔2〕考前一周要有“临场感“。大致在升学考试的前一周，一般基本都是停止系统的复习，进入一个“适应考试“阶段，形成考试的临场感。这就要求按照升学考试的日程，每夭做两份“准模拟“题。所谓“准模拟“，就是因为做题的时间与升学考试一致，但难度不大，这样既能适应考试的气氛，又能给自己增加信心。当你去教室上课时，就把它当作是去参加考试;当你坐在教室里，就可以想像自己就是在考场上;当你做练习时，就当作自己是在考试。这样就可以避免考试的怯场现象。
〔3〕考试前一夭要有“正常感”。不要因为要参加考试而加班加点，也不要因此而提前睡眠。要保持正常的生活习惯。
〔4〕考试时要有“轻松感”。每考完一科后，千万不要与老师、同学对答案。因为无论答对与否，已经是客观存在的。不要把一些无谓的痛苦来摧残自己的心灵。每考完一科，就想到轻松了一科，即使有的科目自己觉得没考好，也一定要着眼于未来，力争把下一科考好。
〔5〕要有“满足感”。考生务必恰当定位，不被“不会做，做不完、做不对”所吓倒，争取达到最佳竞技状态。即使这科是你的优势，你只可定位在120分，这是你实力的体现，而多拿了1分，就是你超越的表现。有了这种“满足感“不仅消除紧张的心理，而且还有可“超常“发挥。
六、确定符合自己的五个立足点
〔1〕立足于易题。容易的题目，力争快、准、规范答题，确保稳拿分数。〔2〕立足于基础题。属于基础的题目，并不都是容易的题目，要认真对待，确保基础题都得分。〔3〕立足于中档的题目。因为中档试题占八成，即占卷面150分的120分，优秀生可在难题上得分，但事实上，真正拉开档次的是中低档题。也就是说，将中档题拿下来，你就是把竞争对手打去了三分之二。这是考试也是复习的第二战略。(4)立足于平常的心理。选拔考试不仅是智力的竞赛，更是心理素质的较量。良好的心理素质、良好的竞技状态下，才能正常地发挥水平。(5〕立足于自己的优势。在其它科与别人平平的清况下，力争在自己特长和优势的一两个科目提高自己的分数，把同水平的人甩开，由此拉开档次。
七、良好的解题习惯可以避免许多不该发生的事，把能拿到的拿回来。
1．分析条件，弄清问题
（1）读题多遍，弄清题意．（2）数一数有几个条件，揭示每一个条件的本质．（3）条件之间加强联系．（4）选择一个（认为）恰当使用方法．
2．明确任务，制订策略
（5）明确任务，明确“干什么”，突出“目标意识”．（6）能否化归成另一个任务？能否分解成几个小的任务．（7）为什么不画个图，列个表呢？（8）与已知条件之间的关系．（9）见过类似的问题吗？
3．规范表达，实施计划
（10）运算准确，推理严密，不跳步骤．（11）表达规范，步骤完整．
4．验算结果，回顾反思
（12）有归纳、总结性语言．（13）是否利用了所有条件（或发现多余条件）？（14）结论合理吗？检查验证．（15）有没有其他更简便的方法？
第一讲：集合、简易逻辑
今天，我怕谁之一 课本基础篇
今天，我怕谁之二 常考题型篇
【题型1】 集合及其运算
例1、 （陕西理2）已知全集U＝{1，2，3， 4，5}，集合A＝,则集合CuA等于
（A）　　 （B） (C) (D) （　　）
解析：A={2，3，4}，CuA={1，5}，选C
【题型 2】 逻辑联结词与四种命题充要条件
例2、 （2007，山东理7） 命题“对任意的，”的否定是（ ）
（A）不存在， （B）存在，
（C）存在， （D）对任意的，
【答案】C【分析】：注意三点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定；3）对一些常用词的正面叙述的否定的理解，如 “至多有一个”，“至少有一个”，“都是”，“任意的”，“都是”等。
例3、 （海、宁理1文2）已知命题，，则（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
【答案】C 【分析】：是对的否定，故有：
【题型 3】 一元二次不等式和绝对值不等式、指数、对数不等式
例4、 （北京卷）已知集合，．若A∩B=，则实数的取值范围是 ．
解：集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴ ，解得2例5、 （山东文理2）已知集合，则M∩N=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】：求。
【题型 4】 与不等式有关的范围问题
例6、 （浙江理17）设为实数，若，
则的取值范围是 ．
【分析】：作图易知,设若不成立;故当且斜率大于等于时方成立.
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇
1. (2010年全国卷Ⅰ文2)设全集，集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
【解析】.故选C
2.（09全国卷Ⅰ文 1）设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合中的元素共有（ ）
(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个
解：，故选A。也可用摩根律：
3.（07全国卷I文1）设，，则（　　）D
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.（06全国卷I文2）设集合，，则（ ）B
A．M∩N= B． M∩N=M C． D．
5．（05全国卷Ⅱ文10）已知集合则为 （ ）A
(A) (B)
(C) (D)
6. (2010年全国卷Ⅰ文13)不等式的解集是 .
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇
1. （2010年全国卷Ⅱ文1）设全集U=，集合A={1,3}。B={3,5},则（　　）C
（Ａ）｛１，４｝　　　　（ｂ）｛１，５｝　　　（Ｃ）｛２，４｝　（Ｄ）｛２，４｝
2.（09全国卷Ⅱ文1）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则Cu( M N )= ( )C
A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7}
3.（08年全国卷Ⅱ文2）设集合，N={nZ-1n3}, 则M∩N =（ B ）
A． B． C． D．
4．（07年全国Ⅱ卷文1）设集合，则（ ）C
A． B． C． D．
5.（2006年全国卷II）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝ ( D )
（A） （B）｛x|0＜x＜3｝ （C）｛x|1＜x＜3｝ （D）｛x|2＜x＜3｝
6．（05年全国卷Ⅰ文2）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是 （　　　　）Ｃ
（A） （B）
（C） （D）
解：∵所表示的部分是图中蓝色的部分，
所表示的部分是图中除去的部分，∴，故选C．
今天，我怕谁之五　规律与技巧总结篇
第二讲：函数
今天，我怕谁之一 课本基础篇
今天，我怕谁之二 常考题型篇
1、求定义域（使函数有意义）
分母 0
偶次根号0
对数 x>0，a>0且a1
三角形中 0<<180, 最大角>60，最小角<60
2、求值域
判别式法 △0
不等式法
导数法
特殊函数法
换元法 反函数法
题型：
题型一：
法一：
法二：图像法（对有效
题型二：
题型三：
题型四：
题型五
反函数
1、反函数的定义域是原函数的值域（反x=原y）
2、反函数的值域是原函数的定义域（反y=原x）
3、原函数的图像与原函数关于直线y=x对称
题型
周期性
对称
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇
1.（2010年全国卷Ⅰ文10）设a=2，b=In2，c=，则 （ ）C
（A）a2.(2010年全国卷Ⅰ文7)已知函数.若且，则的取值范围是（ ）
(A) (B)(C) (D)
3.（09全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则（ C ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
4.（08全国卷Ⅰ文1)函数的定义域为（　D　）
（A） （B）
（C） （D）
5.（(08全国卷Ⅰ文2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ A ）
6.（08全国卷文Ⅰ8）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ A ）
A． B． C． D．
7.（07全国Ⅰ文8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ A）
A． B．2 C． D．4
8.（07全国Ⅰ文9）设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ B ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
9.（07全国Ⅰ文14）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________。
10.（06全国Ⅰ文）已知函数y = ex的图像与函数y = f（x）的图像关于直线 y =x对称，则（ D ）
A． B．
C． D．
11.（06全国Ⅰ文）已知函数，若f（x）为奇函数，则a =
函数若为奇函数，则，即，a=.
12. (05全国卷Ⅱ文3) 函数 反函数是( )B
(A) (B)= -
(C)= (D)=-
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇
1. （2010年全国卷Ⅱ文4）函数y=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是 ( )D
（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
（C）y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)
2.（09全国卷Ⅱ文2）函数y=(x0)的反函数是 ( B )
（A）（x0） （B）（x0）
（B）（x0） （D）（x0）
3.（09全国卷Ⅱ文3）函数的图像 ( A )
（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称
（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称
4.（09全国卷Ⅱ文7）设则 ( B )
（A） （B） （C） （D）
5.（08全国Ⅱ文4）函数的图像关于（ C ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称
6.（08全国Ⅱ文5）若，则（ C ）
A．<< B．<< C． << D． <<
7.（07全国卷Ⅱ文4）下列四个数中最大的是（ ）D
A． B． C． D．
8.（06全国卷II 文4）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为 ( )D
（A）　　（B） （C）　（D）
解：以－y，－x代替函数中的x，，得 的表达式为，选D
9.（06全国卷II 文8）已知函数，则的反函数为( )
（A）　　　　（B）
（C）　　　　（D）
解：所以反函数为故选B
10.（05全国Ⅰ文8）函数的反函数是( )
（A）（B）
（C）（D）
解：由得,∴函数的反函数是
y,选(B)
11.（05全国卷Ⅰ文9）设，函数，则使的的取值范围是（ ）B
（A） （B） （C） （D）
12. （05全国卷Ⅰ文19）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。
（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。
本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.
解：（Ⅰ）
①
由方程 ②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即
由于代入①得的解析式
（Ⅱ）由
及
由 解得
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是
今天，我怕谁之五　规律与技巧总结篇
第三讲：数列
今天，我怕谁之一 课本基础篇
必考核心公式
1. 数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
2. 等差数列
通项公式:
前n项和公式: 或
3. 等比数列
通项公式：
前n项的和公式： 或.
4. 等差中项：
等比中项：
5. 等差数列： am=an+ (n－m)d, ；
等比数列：; q=;
6. 当m+n=p+q（m、n、p、q∈N＊）时，
等差数列｛an｝：am+an=ap+aq；
等比数列｛an｝：aman=apaq；
7. 对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶—S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈N*）；
8. 首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；
9. 由Sn求an，an={ 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；
10. 分期付款(按揭贷款)
每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).
今天，我怕谁之二 常考题型篇
（熟记等差数列，等比数列的基本公式，掌握其通项公式和求和公式的推导过程）
等差数列：
等比数列：
通项公式的求法
1、
2、
3、
求和:
1、拆项法
2、叠减法（注意，这几个题型是近几年高考的常见题型，应牢牢掌握）
(是等差数列，是等比数列) （①式）
步骤：⑴等式两边同乘以等比数列的公比q，得（②式）
⑵①式-②式得，
⑶当时，
当时，=
⑷化简，特别注意（1-q）为负的时候。
例：求
解：令（①式）
则2（②式）
①式-②式得，-=
∴
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇
1. （2010年全国卷Ⅰ文4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（ ）A
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【解析】由等比数列的性质知，10,所以,
所以
2.（08全国Ⅰ文7）已知等比数列满足，则（ A ）
A．64 B．81 C．128 D．243
3.（06全国Ⅰ文5）设是等差数列{}的前n项和，若，则（ D ）
A、8 B、7 C、6 D、5
4.（05年全国Ⅱ文７）如果数列是等差数列，即（ ）B
（A）＋＋ （B）＋＝＋ （C）＋＋ （D）＝
解：因为对于等差数列{an}有：如果m,n,p,q都是非零的自然数,且m+n=p+q,则必有am+an=ap+aq,故选(B)
5.（09全国卷Ⅰ文14） 设等差数列的前项和为，若,则= 。
解: 由,得.
6. （07全国Ⅰ文16）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______．
7.（05全国Ⅱ文13）在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____．
解：a1=,a5=,a2a3a4=(a1a5)1.5=63=216.
8. （2010年全国卷Ⅰ文17）记等差数列的前的和为，设，且成等比数列，求.
9.（09全国卷Ⅰ文17）设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，已知的通项公式。
解：依题意得，
10. (08全国Ⅰ文19)在数列中，，．
（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的前项和．
解：（1），，，则为等差数列，，，．
（2）
两式相减，得
11. （07全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．所以，
．
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，
．
12.（06全国Ⅰ文17）已知{}为等比数列，，求{}的通项公式。
解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
当q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n.
当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.
13.（05年全国Ⅱ文19）已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列．又，…．
（Ⅰ）证明为等比数列；
（Ⅱ）如果数列前３项的和等于，求数列的首项和公差．
本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12分。
（1）证明：
成等差数列，即
又设等差数列的公差为d，则
这样从而
这时是首项，公比为的等比数列
（II）解：
所以
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇
1. （2010年全国卷Ⅱ文6）如果等差数列{an} 中，a4+a5+a6=12，那么 a1+a2+……+ an= （　　）C
(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35
2.（06全国卷II 文6）已知等差数列中，，则前10项的和＝( )
（A）100 (B)210 (C)380 (D)400
解：d＝，＝3，所以 ＝210，选B
3.（09全国卷Ⅱ文13）设等比数列{}的前n项和为。若，则=
解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。
4.（07全国Ⅱ文14）已知数列的通项，则其前项和 ．
5. （2010全国卷Ⅱ文18）已知{}是各项均为正数的等比例数列，且＋＝20，
(Ⅰ)求{}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{}的前N项和
6.（09全国卷Ⅱ文17）已知等差数列{}中，求{}前n项和.
解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。
解：设的公差为，
即
解得
因此
7.（08全国Ⅱ文18）等差数列 ( http: / / www. )中，且成等比数列，求数列前20项的和．
解：设数列的公差为，则
，， ．
由成等比数列得，
即，
整理得，
解得或．当时，．当时，，
于是．
8.（07全国Ⅱ文17）设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
解：由题设知，
则 ②
由②得，，，
因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式．
9.（06全国卷II 文18）设等比数列的前n项和为，求通项公式。
解：设的公比为q，由，所以得
…① …②
由①、②式得 整理得解得 所以 q＝2或q＝－2
将q＝2代入①式得，所以
将q＝－2代入①式得，所以
10. (05全国卷Ⅰ文21) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。
（Ⅰ）求的通项； （Ⅱ）求的前n项和。
解：（Ⅰ）由 得
即
可得
因为，所以 解得，因而
（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故
则数列的前n项和
前两式相减，得
即
今天，我怕谁之五　规律与技巧总结篇
第四讲：三角函数
今天，我怕谁之一 课本基础篇
知识梳理
1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在轴上的角的集合：
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧长公式：. 扇形面积公式：
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函数的基本关系式：
9、诱导公式：
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
公式组四 公式组五 公式组六
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
公式组三 公式组四 公式组五
,,,.
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
（A、＞0）
定义域 R R R
值域 R R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当非奇非偶当奇函数
单调性 上为增函数；上为减函数（） ；上为增函数上为减函数（） 上为增函数（） 上为减函数（） 上为增函数；上为减函数（）
注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.
②与的周期是.
③或（）的周期.
的周期为2（，如图，翻折无效）.
④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.
⑤当·；·.
⑥与是同一函数,而是偶函数，则
.
⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）
⑨不是周期函数；为周期函数（）；
是周期函数（如图）；为周期函数（）；
的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
.
⑩ 有.
11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
四大平移法则：（必考）
◆法则一：由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)（小1伸，大1缩）
◆法则二：由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)（左“+”，右“-”）
◆法则三：由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）（上“+”，下“-”）
◆法则四：由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）（大1伸，小1缩）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数：
函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是．
函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函数y＝tanx，的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是．
函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
解斜三角形必考公式
1. A+B+C=，A+B=-C
2.
3.
（三）思想方法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
（四）注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1．三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．
2．三角变换的一般思维与常用方法．
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
．也要注意题目中所给的各角之间的关系．
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等．
熟悉常数“1”的各种三角代换：
等．
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁．
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如
sin α = tan α · cos α ，，等．
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，，等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．
3．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为，再用升次公式；
（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握．
4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
6.三角函数的奇偶性
“函数y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函数”．是否正确．
分析：当时，，这个函数显然是偶函数．因此，这个判断是错误的．我们容易得到如下结论：
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数．
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数．
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数．
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数．
7.三角函数的单调性
“正切函数f (x) = tan x，是定义域上的增函数”，是否正确．
分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：
任取，，显然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，与增函数的定义相违背，因此这种说法是不正确的．
观察图象可知：在每一个区间上，f (x ) = tan x都是增函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数．
今天，我怕谁之二 常考题型篇
1、
奇变偶不变 （对k而言）
符号看象限 （看原函数）
2、1的应用
（1）
例：
（2）已知tanα=2，求sin2α+sinαcosα-3cos2α
解：
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇
1. (2010年全国卷Ⅰ文1)（ ）C
(A) (B)- (C) (D)
2. （09全国卷Ⅰ文1）的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。
解：，故选择A。
3.（09全国卷Ⅰ文4）已知tan=4,cot=,则tan(a+)=（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。
解：由题，，故选择B。
4.（09全国卷Ⅰ文10）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
解: ∵函数的图像关于点中心对称
由此易得.故选A
5.（08全国卷Ⅰ文6）是（ D ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
6.（08全国卷Ⅰ文9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（ C ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
7.（07全国卷1文2）是第四象限角，，（　　）B
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8.（07全国卷1文10）函数的一个单调增区间是（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9.（06全国卷1文8）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。若a、b、c成等比数列，且c = 2a，则cosB =( B )
A、 B、 C、 D、
10.（06全国卷1文12）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但是不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）B
A、 cm2 B、 cm2 C、 cm2 D、20cm2
用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选B.
11.（05年全国2文１）函数的最小正周期是( )
（A）（B）（C）（D）
解：∵f(x)=|sinx+cosx|=|sin(x+)|,∴T=,的最小正周期是π.选(C)
12. (2010年全国卷Ⅰ文14)已知为第一象限的角，,则 .
13. (2010年全国卷Ⅰ文18)已知的内角，及其对边，满足，
求内角．
14.（09全国卷Ⅰ文18）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
15.（08全国Ⅰ文17）设的内角所对的边长分别为，且，．
（Ⅰ）求边长；
（Ⅱ）若的面积，求的周长．
解：（1）由与两式相除，有：
又通过知：，
则，，则．
（2）由，得到．
由，解得：， 最后．
16.（07全国卷1文17）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求b．
（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．
17.（06年全国1文18）△ABC的三个内角A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin
=－2(sin － )2+
当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为
18.（05全国2文17）已知为第二象限的角，，为第一象限的角，．求的值．
解法一：
为第二象限的角，，所以
所以
为第一象限的角，，所以
所以
解法二：为第二象限角，，所以
为第一象限角，，所以
故
所以
今天，我怕谁之四　拓展延伸篇
1.（2010年全国卷Ⅱ文3）已知，则 （ ）B
(A) (B) (C) (D)
2.（09全国卷Ⅱ文4）已知△ABC中，，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由选D
3. （09全国卷Ⅱ文9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ）D
(A) (B) (C) (D) 21世纪教育网
答案：D 解析：本题考查正切函数图像及图像平移，由平移及周期性得出ωmin=
4. (08全国卷2文1 ( http: / / www. ))若且是，则是（ C ）
A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
5.（08全国卷2文 10）．函数的最大值为（ B ）
A．1 B． C． D．2
6.（07全国卷2理2）函数的一个单调增区间是（ ）C
A． B． C． D．
7.（07全国卷2文1）（ ）C
A． B． C． D．
8.（06全国卷2文3）函数的最小正周期是 ( )D
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
9.（06全国卷2文10）若则 ( )
（A）　（B） （C）　　（D）
解：
所以,因此故选C
10.（05全国卷1文6）当时，函数的最小值为 （ ）C
（A）2 （B） （C）4 （D）
解：
，当且仅当，即时，取“”，∵，∴存在使，这时，故选(C)．
11.（05全国卷1文10）在中，已知，给出以下四个论断：
1 ②
③ ④
其中正确的是（ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
解：∵，，
∴，∴，
∵，∴①不一定成立，
∵，∴，∴②成立，
∵，∴③不一定成立，
∵，∴④成立，故选B．
12. （2010年全国卷Ⅱ文13）已知a是第二象限的角则___________.
13.（2010年全国卷Ⅱ文17）中，为边上的一点，，，，
求．
解析：由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD=25
14.（09全国卷Ⅱ文18）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.
解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉)，从而求出B=。
解：由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得21世纪教育网
故 ， 或 （舍去），
于是 B= 或 B=. 又由 知或 所以 B=。
15.（08全国卷2文17 ( http: / / www. )）在中，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．
解：（Ⅰ）由，得，
由，得．所以．
（Ⅱ）由正弦定理得．
所以的面积．
16.（07全国卷2文18）在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域； （2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
， ．
因为， 所以，
（2）因为，
所以，当，即时，取得最大值．
17.（06全国卷2文17）在,求
（1）
（2）若点
解：（1）由
由正弦定理知
（2）
由余弦定理知
18.（05全国卷1文17）设函数图像的一条对称轴是直线。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。
今天，我怕谁之五　规律与技巧总结篇
第五讲：平面向量
今天，我怕谁之一 课本基础篇
核心公式
1.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=.
(2)设a=,b=，则a-b=.
(3)设A，B,
则.
(4)设a=，则a=.
(5)设a=,b=，则a·b=.
2.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，
3.向量平行的坐标表示
设a=,b=，且b0，
则a∥b(b0).
ab(a0)a·b=0
4.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．
5. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
6.两向量的夹角公式
(a=,b=).
7.平面两点间的距离公式(A，B).
=
8.线段的定比分公式
设，，是线段的分点,是实数，且，则
（）.
9.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
10.点的平移公式
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.
11.“按向量平移”的几个结论
（1）点按向量a=平移后得
到点.
(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为
.
(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
12. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心
.
（4）为的内心=0.
（5）为的的旁心.
今天，我怕谁之二 常考题型篇
题型1　图象的平移
例1：（1）已知一个函数的图像按向量a=(1,-1)平移后图象的解析式是y=2x2,,则原来图象的解析式是
(2)把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2，的图象。且a⊥b
bc=4,则b=
[启思]：先利用平移公式求出a;然后设b=（x,y）利用方程思想求出b.
变式一：将函数y=sinx按向量 a=(,3)平移后的图象解析式为（ ）
A．y=sin(+3 B.y=sin(-3 C. y=sin(+3, D. y=sin(-3
解题分析：解答此题要把握三点：一是有关图象平移和坐标平移的常用处理方法；二是熟悉平移公式；熟悉新旧坐标的关系；三是抓住关键点。
题型2　平面向量与三角函数
例2：已知A（3。0），B（1。3），C（cos.sin）
(1)=-1,求sin2的值；
（2）若，有求与的夹角
[解析]：将向量的数量积及模的坐标运算转化为三角函数的化简、求值。然后运用三角函数基本关系式求解。
变式二：已知平面向量 a=()，b=（）若存在不为零的实数K和角。使向量C= a+（sin-3）b,d=-k a+sin b,且C⊥d，试求实数k的取值范围
解题分析：解答此题要把握三点：一是向量运算法则；二是正弦函数，余弦函数的有界性；三是二次函数的最值；
题型3平面向量与解析几何
例3：设双曲线C的方程是。点P的坐标为（0。-2）。过P的直线L与双曲线C交于不同的两点M，N
（1） 当时，求直线的方程；
（2） 设t=(o为原点)求t的取值范围。
今天，我怕谁之三 历年真题剖析篇
1.（09全国卷Ⅰ文8）设非零向量、、满足，则 （ ）
（A）150°B）120° （C）60° （D）30°
【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。
解：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。
2.（08全国卷1文5）在中，若点满足，则（ A ）
A． B． C． D．
3.（07全国Ⅰ文3）已知向量，，则与（　A　）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
4.（06全国卷1文1）已知向量、满足|| = 1，|| = 4，且，则与夹角为 （ ）C
A、 B、 C、 D、
5.（05全国卷2文９）已知点，，．设的平分线与相交于，那么有，其中等于 （ ）
（A） ２ （B） （C）－３ （D）－
解：由已知得,且1+λ<0,即,又∵∴-1-λ=2,∴λ=-3,选(C)
今天，我怕谁之四 拓展延伸篇
1. （2010年全国卷Ⅱ文10）△ABC中，点在上，平方．若，，，，则 ( ) B
（A） （B） （C） （D）
∵ CD为角平分线，∴ ，∵ ，∴ ，∴
2.（09全国卷Ⅱ文6）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱= （ ）
（A） （B） （C）5 （D）25
解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选C。
3.（08全国卷2文13 ( http: / / www. )）设向量，若向量与向量共线，则 ．2
4.（07全国Ⅱ文5）在中，已知是边上一点，若，则（ A ）
A． B． C． D．
5.（06全国Ⅱ文1）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝( )B
（A）9 (B)6 (C)5 (D)3
6. （05全国卷1文11）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的( )
（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点
解：,即
得,
即,故,,同理可证,∴O是的三条高的交点,选(D)
今天，我怕谁之五 规律与技巧总结篇
第六讲：不等式
今天，我怕谁之一，历年真题剖析篇
1. (2010全国卷2文13)不等式的解集是 .
【解析】: ，数轴标根得：
2.（09全国卷1文3）不等式的解集为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
3.（05全国卷1文9）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
解：原不等式化为或，
所表示的平面区域如右图所示，，，
∴，故选B
4.（05全国卷1文13）若正整数m满足，则m = 。
解：∵，∴，即，
∴，即 ，∴．
今天，我怕谁之二，拓展延伸篇
1.（2010全国卷2文2）不等式＜0的解集为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】A ：本题考查了不等式的解法
∵ ，∴ ，故选A
2．（07全国卷2文5）不等式的解集是（ ）C
A． B． C． D．
第七讲：直线和圆的方程
今天，我怕谁之一，历年真题剖析篇
1.(2010全国卷Ⅰ文3)若变量满足约束条件则的最大值为 （ ）B
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
【解析】画出可行域（如右图），，由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.
2.（2010全国卷Ⅰ文11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 （ ）D
(A) (B) (C) (D)
【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
【解析1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，
===，令，则，即，由是实数，所以
，，解得或.故.此时.
【解析2】设，
换元：，
【解析3】建系：园的方程为，设，
3.（ 08全国卷1文10）若直线与圆x2+y2=1有公共点，则 （ ）D
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
4.（07全国卷1文6）下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　）C
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5.（06全国卷1文7）从圆外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ B ）
A、 B、 C、 D、0
圆的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B.
6.（09全国卷Ⅰ文16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是
① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。
解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写①或⑤
7.（08全国卷1文13）若满足约束条件则的最大值为 ．9
8.（06全国卷1文15）设 z = 2y – x ，式中变量x、y满足条件，则z的最大值为
，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足的最大值是点C，代入得最大值等于11.
9. （05全国卷2文14）圆心为(1,2)且与直线相切的圆的方程为_____________．
解：圆心(1,2)到直线5x-12y-7=0的距离r=,故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4
今天，我怕谁之二，拓展延伸篇
1. (2010全国卷Ⅱ文5)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 ( )C
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时
2.（2009全国卷Ⅱ文15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。
3.（08全国卷2文）设变量 ( http: / / www. )满足约束条件：，则的最小值（ D ）
A． B． C． D．
4.（08全国卷2文）等腰三角形 ( http: / / www. )两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ A ）
A．3 B．2 C． D．
5.（06全国卷2文）过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
解：(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以
6.（05全国卷1文9）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 （ ）
（A） （B） （C） （D）2
解：原不等式化为或，
所表示的平面区域如右图所示，，，
∴，故选B
7.（05全国卷1文12）设直线过点，且与圆相切，则的斜率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：设过点，且与圆相切的直线的斜率为k,则直线的方程为：y-kx+2k=0,k满足：1=得k=,选(D).
今天，我怕谁之三 规律与技巧总结篇
第八讲：圆锥曲线
今天，我怕谁之一，常考题型篇
1. 已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，
解析几何一般就这些题型，做的时候注意体会（有时会考上一些基础性的问题，如第一、第二定义，焦半径公式等等，要求把公式记牢）若实在不会做，也应先代入，化简为Ax2+Bx+c=0的形式，并写出
今天，我怕谁之二，历年真题剖析篇
1.（2010全国卷Ⅰ文8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则
=（ ）B
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析1】.由余弦定理得
cos∠P=
4
【解析2】由焦点三角形面积公式得：
4
2. (2010全国卷Ⅰ文16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且,则的离心率为 .
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
【解析1】如图，,
作轴于点D1,则由，得
,所以,
即,由椭圆的第二定义得
又由,得
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入
，
3.（09全国卷Ⅰ文5）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )
（A） （B）2 （C） （D）
解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又
解得: .
4.（09全国卷Ⅰ文12）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=（ ）
(a). (b). 2 (C). (D). 3
解:过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
5.（08全国卷1文14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
由抛物线的焦点坐标为为坐标原点得，，则
与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为
6.（08全国卷1文15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
设，则
，.
7.（07全国卷1文4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）A
A． B． C． D．
8.（07全国卷1文12）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）C
A． B． C． D．
9.（06全国卷文4）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ A ）
A． B． C． D．
10.（06全国卷1文11）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ A ）
A． B． C． D．
11. (05全国卷2文5)抛物线上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为（ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
这里,故点A与抛物线焦点的距离是4+1=5,选(D)
12. (05全国卷2文6)双曲线的渐近线方程是（ ）
(A) (B) (C) (D)
在双曲线中将1改为0即得此双曲线的渐展程y=,选(C)
13. (2010年全国卷Ⅰ文22) 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .
（Ⅰ）证明：点在直线上；
（Ⅱ）设，求的内切圆的方程 .
14.（09全国卷Ⅰ文22） 如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
（I）求得取值范围；
（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标
分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.
（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为、、、。
则由（I）根据韦达定理有，
则
令，则 下面求的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。
当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点的坐标。设点的坐标为：
由三点共线，则得。以下略。
15.（08全国卷1文22）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（1）设，，
由勾股定理 ( http: / / www. )可得：
得：，，
由倍角公式，解得 则离心率．
（2）过直线方程为 与双曲线方程联立
将，代入，化简有
将数值代入，有
解得
最后求得双曲线方程为：．
16．（07全国卷1文22）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．
（Ⅰ）设点的坐标为，证明：； （Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，
；
因为与相交于点，且的斜率为，
所以，．
四边形的面积 ．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
17.（06全国卷1文21）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求的最大值。
解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2 =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .
因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;
若118.（05全国卷2文22）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与 共线， 与共线，且 · = 0.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.
解：∵. 即.
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴. 不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴.
∵F(0, 1) ∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0分别代入椭圆中得：|MN|=, |PQ|=2.
∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=××2=2.
当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)，代入椭圆中得：(k2+2)x2+2kx-1=0, ∴x1+x2=, x1·x2=.
∴
同理可得：.
∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|==
(当且仅当即时，取等号).
又S四边形PMQN =，∴此时, S四边形PMQN.
综上可知：(S四边形PMQN )max=2, (S四边形PMQN )min=.
今天，我怕谁之三，拓展延伸篇
1.（2010全国卷Ⅱ文12）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k = （ ）
（A）1 （B） （C） （D）2
【解析】B：，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，
，解得，
2. (2010全国卷Ⅱ文15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________
【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质
设直线AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）
3.（09全国卷Ⅱ文8）双曲线的渐近线与圆相切，则r= （ ）
（A） （B）2 （C）3 （D）6
答案：A 解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=
4.（09全国卷Ⅱ文11）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k= （ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：D 解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=。
5.（09全国卷Ⅱ文）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
答案： 解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。
6.（08全国卷2文11 ( http: / / www. )）设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
7.（08全国卷2文15 ( http: / / www. )）已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于 ．2
8.（07全国卷2文11）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）B
A． B． C． D．
9.（07全国卷2文12）设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ ）B
A． B． C． D．
10. (06全国卷2文5)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ C ）
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
11.（06全国卷2文9）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ A ）
（A） (B) (C) (D)
12.（05全国卷1文5）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：由得，∴，抛物线的准线为，因为双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，所以，解得，所以，所以离心率为，故选D．
13.（2010全国卷Ⅱ文22）已知斜率为1的直线1与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。
14.（09全国卷Ⅱ文20）
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。
解：（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为
故 ， 21世纪教育网 由
得 ，=
（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。
由 （Ⅰ）知C的方程为+=6. 设
(ⅰ)
　C成立的充要条件是，
且
整理得
故 ①
将
于是 , =, 代入①解得，，此时 于是=， 即 因此， 当时，， ； 当时，， 。
（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.
15.（08全国卷2文22）设椭圆 ( http: / / www. )中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
解答：（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，．
如图，设，其中，
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，化简得，解得或．
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
．又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，故四边形的面积为
，当时，上式取等号．所以的最大值为．
16.（07全国卷2文21）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即 ． 得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得 ．
设，由成等比数列，得 ，即 ． 由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．
17.（06全国卷2文22）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
提示 F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为
由可得
因此过A点的切线方程为 (1)
过B点的切线方程为 (2)
解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值2. =0可得三角形面积
所以 当且仅当时取等号
本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点
涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大
18.（05全国卷1文22）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
今天，我怕谁之四，规律与技巧总结篇
第九讲：立体几何
今天，我怕谁之一 常考题型篇
1、证垂直
（1）几何法
线线垂直
线面垂直
面面垂直
2、向量法
线线垂直
线面垂直为α的法向量
法向量求法
求平面ABC的法向量，
面面垂直
为α,β的法向量
求角
1、线面夹角
几何法：做射影，找出二面角，直接计算
向量法：
找出直线及平面α的法向量，
2、线线成角
几何法：平移（中点平移，顶点平移）
向量法：
a ,b 夹角，
3、面面成角（二面角）
方法一：直接作二面角（需要证明）
方法二：面积法（一定有垂直才能用）
PC ┴ 面ABC，记二面角P—AB—C为θ，则
（先写公共边/点，再按垂线依次往后写，垂足放在分子）
附：使用时，可能会正弦定理与余弦定理搭配使用。
正弦定理：
余弦定理：
方法三：向量法
求，β所成二面角x，先求α ，法向量 所成的角θ
则
求距离
点到平面的距离
方法一：等体积法（注意点的平移，以及体积的等量代换）
例：求点B到PAC的距离h（已知PB┴面ABC)
(注意余弦定理，正弦定理的综合应用）
方法二：向量法
同上，设面PAC的法向量为n (可以自行求出），在面PAC上任取一点，不妨碍取P，则
空间向量VS立体几何
今天，我怕谁之二 历年真题剖析篇
1.（2010年全国卷Ⅰ文9）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为 （ ）
A． B. C. D.
2.（2010年全国卷Ⅰ文12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.
3.（09全国卷Ⅰ文9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）
（A） （B） （C） (D)
解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D
4.（09全国卷Ⅰ文11）已知二面角α-l-β为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）
(A) (B)2 (C) (D)4
解:如图分别作 ，连
，又
当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。
5.（08全国1文11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ C ）
A． B． C． D．
6.（07全国Ⅰ文7）如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）
A． B． C． D．
7.（06全国卷1文7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （ ）
A． B． C． D．
正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴ 球的半径为，球的表面积是，选C.
8.（05全国卷2文2）正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是 （ ）
(A)三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形
解：如图, 正方体的过、、的截面图形是六边形PMRSQ,选(D)
9.（05全国卷2文12）的顶点B在平面内，、在的同一侧，、与所成的角分别是和．若＝３，＝，＝５，则与所成的角为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：如图，AE⊥平面α于E,CD⊥平面α于D,EF∥AC,EF交CD于F,则∠ABE=300,
∠CBD=450,由此得CD=4,AE=1.5,∴EF=2.5,而EF=AC=5 ∴∠FED=300,即AC与平面
α所成的角为300,∴选(C)
10.（09全国卷Ⅰ文15）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.
【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。
解：设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以。
11.（08全国卷1文16）已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 ．
12.（07全国卷Ⅰ文15）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
13.（06全国卷1文14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于。
14.（05全国卷2文16）下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）
解：正确的命题为①④
15. （2010年全国卷Ⅰ文20）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
(Ⅱ) 由知
. 故为等腰三角形.
取中点F,连接,则.
连接，则. 所以，是二面角的平面角.
连接AG,AG=,,
，所以，二面角的大小为120°.
解法二：
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，
，
故.
令，则.
由平面得.
故.
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知,取中点F，则,,
故,由此得.
又,故由此得,
向量与的夹角等于二面角的平面角.
于是 ，所以，二面角的大小为120°.
16.（09全国卷Ⅰ文19）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
（I）证明：是侧棱的中点； 求二面角的大小。
【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。
（I）解法一：作∥交于N，作交于E，
连ME、NB，则面，,
设，则,
在中，。在中由解得，从而 M为侧棱的中点M.
解法二:过作的平行线.
（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.
解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。
（Ⅰ）设，则
，
，由题得
，即解之个方程组得即
所以是侧棱的中点。
法2：设，则
又故，即
，解得，所以是侧棱的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，
设分别是平面、的法向量，则
且，即且
分别令得，即
，
∴
二面角的大小。
17.（08全国卷1文18）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
解：（1）取中点，连接交于点，
，，
又面面，面，
．
，
，，即，
面，．
（2）在面内过点作的垂线，垂足为．
，，面，，
则即为所求二面角的平面角．
，，，
，则，
，即二面角的大小．
18.（07全国Ⅰ文19）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。
(Ⅰ)证明：SA⊥BC； (Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；
解答：解法一：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
，．
的面积．
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得
，
解得．
设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
，．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
19.（06全国卷1文20）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线线段，
点A、B在上，C在上，AM = MB = MN。
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB = 60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。
.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .
解法二: 如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),
(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.
(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).
连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),
=(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,
∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH,则=(－1,, ),
∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),
∴cos∠NBH= = =
20.（05全国卷2文20）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF垂直于平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分12分。
方法一：
（I）证明：连结EP
DE在平面ABCD内
，又CE＝ED，PD＝AD＝BC
为PB中点
由三垂线定理得
在中，又
PB、FA为平面PAB内的相交直线平面PAB
（II）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1
为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且
与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直 平面AEF
连结BE交AC于G，作GH//BP交EF于H，则平面AEF
为AC与平面AEF所成的角
由可知
由可知
与平面AEF所成的角为
方法二：
以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系
（1）证明：
设E（a，0，0），其中，则C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，，）
又平面PAB，平面PAB，
平面PAB
（II）解：由，得
可知异面直线AC、PB所成的角为
又，EF、AF为平面AEF内两条相交直线平面AEF与平面AEF所成的角为即AC与平面AEF所成的角为
今天，我怕谁之三 拓展延伸篇
1. （2010年全国卷Ⅱ文8）已知三棱锥中，底面ABC为变长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成的角 的正弦值为 （ ）D
（A） （B） （C） （D）
【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴
2.（2010全国卷Ⅱ文11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（　）
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个
【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.
∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，
3.（09全国卷Ⅱ文5） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为 （ ）
（A） (B) (C) (D)
解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CD’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE即可，易知EB=,A'E=1,A'B=,故由余弦定理求cos∠A'BE=，或由向量法可求。
4.（09全国卷Ⅱ文12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是 （ ）B
（A）南 （B）北 （C）西 （D）下
解析：.此题用还原立体图方法直接得出结果，使上在正上方依次找到对应面即可。
5.（09全国卷Ⅱ文16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于
解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由
6.（08全国卷2文8）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ B ）
A．3 B．6 C．9 D．18
7.（08全国卷2文12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ）
A．1 B． C． D．2
8.（08全国卷2文）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
(两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．)
9．（07全国卷2文7）已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A
A． B． C． D．
10．（07全国卷2文15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．
11.（06全国卷2文7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( )
（A）4　　　（B）6 （C）8　　　　（D）9
解：连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A
12. （06全国卷2文14）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比 。
解：设圆的半径为r，则＝，＝，由得r R＝ 3
又，可得1 3
13. （05全国卷1文2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：∵截面圆面积为，∴截面圆半径， ∴球的半径为，
∴球的表面积为，故选Ｂ．
14.（05全国卷1文4）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
解：如图,过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可证得DM⊥EF、CN⊥EF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积V为，∵，，∴，
作NH垂直于点H，则H为BC的中点，则，∴，∴，
，，∴，故选A．
15.（05全国卷1文16）在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，
1 四边形一定是平行四边形
1 四边形有可能是正方形
1 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
1 四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）
解：①平面与相对侧面相交，交线互相平行，
∴四边形一定是平行四边形；
②四边形若是正方形，则，又，
∴平面，产生矛盾；
③四边形在底面ABCD内的投影是正方形；
④当E、F分别是、的中点时，，又平面，
∴四边形有可能垂直于平面,∴填①③④.
16. （2010年全国卷Ⅱ文19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．
（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．
解法一：
（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.
因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1。
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点，又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD。所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
（II）因为DG∥AB 1，故∠CDG为异面直线AB 1与CD的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=

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