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第1讲 和差求最值
一．选择题（共9小题）
1．（2020秋 宁波期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由双曲线，得，，
．
不妨以在双曲线右支为例，当轴时，
把代入，得，即，
此时，则；
由，得，
又，①
两边平方得：，
，②
联立①②解得：，，
此时．
使△为锐角三角形的的取值范围是．
故选：．
2．（2018 麒麟区校级模拟）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线右支于，两点，则的最小值为　　
A．16 B．12 C．11 D．
【解答】解：根据双曲线，得：，
由双曲线的定义可得：①，
②，
①②可得：，
过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，
，当是双曲线的通经时最小．
．
．
故选：．
3．（2018 盐湖区校级四模）设双曲线的左、右焦点分别为，．若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：△为锐角三角形，不妨设在第一象限，点在与之间运动，如图，
当在处，，
，
由，，
可得，
此时，
当在处，，，
易知，
此时，
△为锐角三角形，则的取值范围是，，
故选：．
4．（2016秋 渝中区校级期中）已知为双曲线右支上的动点，为圆上动点，为圆上的动点，则的最小值、最大值分别为　　
A．4、8 B．3、9 C．2、10 D．1、11
【解答】解：双曲线的两个焦点分别是与，
则这两点正好是两圆和的圆心，半径分别是，，
，
，，
，，
的最小值，
的最大值，
的最小值、最大值分别3，9，
故选：．
5．（2020 4月份模拟）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的焦点为，点是双曲线右支上的动点，且的周长的最小值为14，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．3 D．2
【解答】解：由题意得抛物线的焦点为，抛物线的焦点，
设双曲线的右焦点为，则三角形的周长
，故，
所以．
故选：．
6．（2021 黄山一模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若，且△周长最小值为实轴长的4倍，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，是一个正方形的相邻两边，即，
，
由双曲线的定义知，，
，
△周长为，
当且仅当，，按此顺序三点共线时，等号成立，
△周长最小值为实轴长的4倍，
，
离心率．
故选：．
7．（2017 民乐县校级模拟）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为
，
当且仅当，，共线，取得最小值，且为，
由题意可得，
即，
，
则，
故选：．
8．（2020 淮南二模）已知，分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为　　
A．7 B．8 C． D．
【解答】解：双曲线中
，，，，
，，
圆半径为，，
，
（当且仅当，，共线
且在，之间时取等号），
，
当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．
的最小值是7．
故选：．
9．（2019秋 金安区校级期末）已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为　　
A．9 B．8 C． D．
【解答】解：设双曲线的左焦点，，圆上一点，
，
．
故选：．
二．填空题（共7小题）
10．已知，为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点在双曲线上，则的最小值为　　．
【解答】解：双曲线，，半焦距，
右焦点，左焦点；
又，是双曲线上一点，
当点在双曲线的右支上时，取得最小值，
，
当且仅当，，共线时，取得最小值．
故答案为：．
11．（2015秋 龙凤区校级期末）设双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为　10　．
【解答】解：根据双曲线，得，，
由双曲线的定义可得：①，
②，
①②可得：，
由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，
可得，当是双曲线的通径时最小．
即有．
即有．
故答案为：10．
12．（2017秋 西湖区校级期末）设双曲线的左，右焦点分别为，．若点在双曲线上，且△为钝角三角形，则的取值范围是　，，　．
【解答】解：由双曲线，得，，
，
不妨以在双曲线右支为例，当轴时，
把代入，得，即，
此时，则；
由，得，
又，①
两边平方得：，
，②
联立①②解得：，
，
此时，
且，
由如图可知，
使△为钝角三角形的的取值范围是，，．
故答案为：，，．
13．（2020 合肥二模）已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线的渐近线方程为　　．
【解答】解：由题意可得，，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为
，
当且仅当，，共线，取得最小值，且为，
由题意可得，
即，即，
可得，
所以双曲线的渐近线方程为：．
故答案为：．
14．（2020 合肥二模）已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上的一个动点，则周长的最小值等于　　．
【解答】解：
双曲线，，
如图所示，不妨设为轴上方的虚轴端点，则，，
设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义可知，，即，
的周长为，
当且仅当、、三点共线时，等号成立．
所以周长的最小值等于．
故答案为：．
15．（2020 江西模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，若点是双曲线虚轴的一个顶点，且的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线的渐近线方程为　　．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，点的坐标为，在双曲线的左支，
，，
的周长为，
由双曲线的定义可得，，
当在左支上运动到，，共线时，
的周长取最小值：，
的周长的最小值为实轴长的3倍，可得，
可得：，，双曲线的渐近线方程为：．
故答案为：．
16．（2015 西安模拟）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为　9　．
【解答】解：双曲线中，
，，，
，，
，
，，
，
所以，
．
故答案为：9．第1讲 和差求最值
一．选择题（共9小题）
1．（2020秋 宁波期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．（2018 麒麟区校级模拟）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线右支于，两点，则的最小值为　　
A．16 B．12 C．11 D．
3．（2018 盐湖区校级四模）设双曲线的左、右焦点分别为，．若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．（2016秋 渝中区校级期中）已知为双曲线右支上的动点，为圆上动点，为圆上的动点，则的最小值、最大值分别为　　
A．4、8 B．3、9 C．2、10 D．1、11
5．（2020 4月份模拟）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的焦点为，点是双曲线右支上的动点，且的周长的最小值为14，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．3 D．2
6．（2021 黄山一模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若，且△周长最小值为实轴长的4倍，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
7．（2017 民乐县校级模拟）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
8．（2020 淮南二模）已知，分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为　　
A．7 B．8 C． D．
9．（2019秋 金安区校级期末）已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为　　
A．9 B．8 C． D．
二．填空题（共7小题）
10．已知，为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点在双曲线上，则的最小值为　 　．
11．（2015秋 龙凤区校级期末）设双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为　 　．
12．（2017秋 西湖区校级期末）设双曲线的左，右焦点分别为，．若点在双曲线上，且△为钝角三角形，则的取值范围是　　．
13．（2020 合肥二模）已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线的渐近线方程为　　．
14．（2020 合肥二模）已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上的一个动点，则周长的最小值等于　　．
15．（2020 江西模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，若点是双曲线虚轴的一个顶点，且的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线的渐近线方程为　　．
16．（2015 西安模拟）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为　　．第2讲 几何特征
一．选择题（共20小题）
1．（2017 青岛三模）已知点是双曲线左支上一点，、是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：在三角形中，点恰好平分线段，点恰好平分线段，
，又的斜率为，
，
在三角形中，设．，
根据双曲线的定义可知，，
在直角三角形中，，，
又，则，
即，
双曲线的离心率是，
故选：．
2．（2021 沈阳二模二模）已知点、分别是双曲线的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：如图：
由，可知，
设，则，
在△中，，
，
，
，
，
，
故选：．
3．（2017秋 顺庆区校级期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，渐近线方程为，
对称点为，
即有，
且，
解得，，
将，，即，，
代入双曲线的方程可得，
化简可得，即有，
解得．
故选：．
4．（2020 河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：设，则，
，
，
同理，，
，
，
，
在，中，，
即，得，
有，，
在△，中，
由，
即，
得，即离心率，
故选：．
5．（2020 淮北二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，且抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设、，
由题意可知，抛物线的准线与重合，过点作准线于，如图所示，
直线的倾斜角为，，即为等腰直角三角形，
设，则，
由双曲线的定义可知，，①，
在△中，由余弦定理可知，，
，化简得②，
结合①②可知，．
故选：．
6．（2017秋 孝感期末）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的一点，关于坐标原点的对称点为，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：由题意设，则，，，
则，，
直线与直线的交点恰好为线段的中点，可知，与共线，
，，，
可得，
可得，所以．
故选：．
7．（2021春 瑶海区月考）设双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的两支分别交于点，，若点满足，，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图：
，，
故，
由双曲线的定义可得：，，则，
，而，
，
，
△为等腰直角三角形，，，
在△中，，
整理可得：，，
双曲线的渐近线方程为：，
故选：．
8．（2020秋 德州期末）设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：由已知直线过点，则令，所以，所以，
如图所示：过原点作垂直直线，垂足为，
设双曲线的右焦点为，连接，
因为，所以由直角三角形的性质可得，
所以，又为的中点，所以是的中点，
所以，而，所以，
由双曲线的定义可得：，即，
在直角三角形中，由勾股定理可得：，
即，解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为，
故选：．
9．（2017 尖山区校级四模）设双曲线的左右焦点分别为，，若在曲线的右支上存在点，使得△的内切圆半径为，圆心记为，又△的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：由平行于轴得，则，
所以，又，
则，．由得，
因此，代入椭圆方程得，
即，则．
故选：．
10．（2017 成都模拟）设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，若以为直径的圆与相切，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：如图所示，由题意可得，，，，
，
，点为双曲线左支的一个点，
，
，
以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，
，
，
，
故选：．
11．（2019 朝阳四模）已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图设在第一象限，，，
，，将其代入，得，
化简得：，
，，
，，．
故选：．
12．（2017 四模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，
代入，
可得，，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
13．（2019秋 安徽期末）设是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：是双曲线与圆在第一象限的交点，
、分别是双曲线的左、右焦点，连接，，
可得，设，，由双曲线的定义可得，
且，，
则，，，
即有，．
故选：．
14．（2020秋 池州期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且满足，则的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
，．
故选：．
15．（2020 广州一模）已知为坐标原点，设双曲线的左，右焦点分别为，，点是双曲线上位于第一象限内的点．过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：延长交与，由为的角平分线，，所以为的中点，，
连接，则为△的中位线，所以，而
因为，而
所以整理可得，即，解得或1，
再由双曲线的离心率大于1，可得，
故选：．
16．（2020 江西模拟）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左，右焦点分别为，，且，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B．
C． D．或
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，，
可得，
即有直线的斜率为，
由直线与双曲线的一条渐近线交于点，
可得，
可得，
即有，
化为，
由可得，
解得或，
由，可得，即，可得舍去．可得
渐近线方为：，
故选：．
17．（2021 嘉兴二模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且的面积是面积的2倍，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，直线的方程为，①
以为直径的圆的方程为，②
由①②解得，，
直线的方程为，与渐近线方程，
解得，，
由的面积是面积的2倍，
可得到直线的距离为到直线的距离的2倍，
即有，
化为，即为，
所以．
故选：．
18．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆的半径为，圆的直径为，
，
，，
，
，
，
故选：．
19．（2010秋 宁波期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任意一点，过作的平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：点关于的角平分线的对称点在直线的延长线上，
故，
又是△的中位线，
故，
点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
则点的轨迹方程为
故选：．
20．（2019 文登区三模）设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，，若，则双曲线渐近线的斜率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，且，
，可得，
在△中，由余弦定理可得
设切点为，在△中，．
．
，．
双曲线渐近线的斜率为，
故选：．
二．填空题（共9小题）
21．（2020 肇庆三模）已知点是双曲线左支上一点，是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是　　．
【解答】解：由题意，△是直角三角形，的斜率为，
设，，则，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
22．（2020 天河区三模）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为　，　．
【解答】解：，
，根据三角形的性质可知，△为直角三角形，则，
，①
由双曲线的定义可得：，即，②
将②代入①得：，
整理可得，配方可得，
又，③，
则，结合②得，
则两边同时加上得：，即有，
所以，
解得，
即．
故答案为：，．
23．（2020春 安徽期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过点，且与双曲线在第二象限交于点，若点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为、
直线过点，可得，
直线过点与双曲线在第二象限交于点，
设，，
所以，解得，，
可得．
故答案为：．
24．（2020春 成都期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在第一象限的双曲线上，且轴，△内一点满足，且点在直线上，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：点在第一象限的双曲线上，且轴，
，，解得：．
△内一点满足，
如图，取，，
则有，故为的重心，
，
又，，，
，
，即，
，即，
综上，，，
点在直线上，，，
，，（负值舍去）
则双曲线的离心率为，
故答案为：．
25．（2020 济宁模拟）设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为，点坐标为且满足，若在双曲线的右支上存在点使得成立，则双曲线的离心率的取值范围是　　．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，
由，，可得，
由点坐标为且满足，
可得，即，
即，则，
又，
则，
当且仅当，，三点共线时，上式取得等号．
由题意可得，即，可得，
综上可得，
故答案为：，．
26．（2020 衡阳三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点，，若，则该双曲线的离心率为　　．
【解答】解：法1（代数法）：因为与相切，
所以直线斜率，
由对称性不妨考虑情形．
又双曲线的渐近线方程为，则垂直其中一条渐近线，
故与一渐近线的交点，即为该渐近线与在第二象限的交点，
可得，如图，
设中点为，由，
即，则有，又，
故，且为的中点，
所以为的中点，则，三等分，
由，得，
由在另一渐近线上，
即有，则，
故离心率．
法2（几何法）：设，则，
由题意易知，，
在中，，又，
则有，即，
故离心率．
法3（参数方程法）：直线的参数方程为为参数），
代入，可得对应的参数
又对应的参数，由及与相切，
可知，即，
则，则有，故离心率．
故答案为：．
27．（2021 4月份模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：焦点到渐近线的距离为，则，所以．
故答案为：．
28．（2021 榆林模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点，若线段交双曲线于点，且，则该双曲线的离心率为　　．
【解答】解：设，，
由，解得，，
因为，为的中点，
所以为的中点，所以，，
将的坐标代入双曲线的方程，可得，
化简可得，则．
故答案为：．
29．（2020 深圳一模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点，为的渐近线与圆的一个交点，为坐标原点，若直线与的右支交于点，且，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：如图，由题意可得，直线与圆相切于点，且，
由双曲线的定义可知，，
，且，
，即，
，
又，
联立解得，即．
故答案为：．第2讲 几何特征
一．选择题（共20小题）
1．（2017 青岛三模）已知点是双曲线左支上一点，、是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是　　
A． B． C．2 D．
2．（2021 沈阳二模二模）已知点、分别是双曲线的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
3．（2017秋 顺庆区校级期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
4．（2020 河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
5．（2020 淮北二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，且抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
6．（2017秋 孝感期末）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的一点，关于坐标原点的对称点为，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
7．（2021春 瑶海区月考）设双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的两支分别交于点，，若点满足，，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
8．（2020秋 德州期末）设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
9．（2017 尖山区校级四模）设双曲线的左右焦点分别为，，若在曲线的右支上存在点，使得△的内切圆半径为，圆心记为，又△的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
10．（2017 成都模拟）设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，若以为直径的圆与相切，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
11．（2019 朝阳四模）已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
12．（2017 四模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
13．（2019秋 安徽期末）设是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
14．（2020秋 池州期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且满足，则的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
15．（2020 广州一模）已知为坐标原点，设双曲线的左，右焦点分别为，，点是双曲线上位于第一象限内的点．过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
16．（2020 江西模拟）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左，右焦点分别为，，且，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B．
C． D．或
17．（2021 嘉兴二模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且的面积是面积的2倍，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
18．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
19．（2010秋 宁波期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任意一点，过作的平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
20．（2019 文登区三模）设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，，若，则双曲线渐近线的斜率为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共9小题）
21．（2020 肇庆三模）已知点是双曲线左支上一点，是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是　　．
22．（2020 天河区三模）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为　　．
23．（2020春 安徽期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过点，且与双曲线在第二象限交于点，若点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为　　．
24．（2020春 成都期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在第一象限的双曲线上，且轴，△内一点满足，且点在直线上，则双曲线的离心率为　　．
25．（2020 济宁模拟）设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为，点坐标为且满足，若在双曲线的右支上存在点使得成立，则双曲线的离心率的取值范围是　　．
26．（2020 衡阳三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点，，若，则该双曲线的离心率为　　．
27．（2021 4月份模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为　　．
28．（2021 榆林模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点，若线段交双曲线于点，且，则该双曲线的离心率为　　．
29．（2020 深圳一模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点，为的渐近线与圆的一个交点，为坐标原点，若直线与的右支交于点，且，则双曲线的离心率为　　．第3讲 渐近线问题
一、单选题
1．（2012·四川泸州市·高三月考（理））已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A．( 1,2) B．(1,2) C． D．(2,+∞)
【答案】C
【详解】
解：
解：已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b/a，
∴b/a≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
2．（2021·山西省古县第一中学高二期末（文））已知双曲线与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线有交点，则应满足，结合，可得e的范围.
【详解】
解：如图所示，
双曲线的渐近线方程为，
若双曲线(，)与直线有交点，则有，
，即，解得，得.
双曲线离心率的取值范围为.
故选：A
【点晴】
直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑.
3．（2021·全国高三专题练习（文））设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设条件推导出，，可得的坐标，由两点间的距离公式得，计算求出离心率．
【详解】
由题设知双曲线C：的一条渐近线方程为：，
∵右焦点，且，
∴，
∴，由，解得，
∴，∴，
平方化简得，
又，
∴，即，
，即，
所以，故得，
故选：D.
4．（2019·全国高二专题练习（理））已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，
则点到渐近线的距离为，即，
则,
又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，
在直角中，则，即，
整理得，解得，
又由，则，即，
所以双曲线的渐近线方程为，故选A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
5．（2019·安徽宿州市·高二期中（文））过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．
【详解】
如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2，所以A为线段FB的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，
∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2+∠4＝2∠2＝∠3．
故∠2+∠3＝90°＝3∠2 ∠2＝30° ∠1＝60° ．
∴，e2＝4 e＝2．
故选：B．
【点睛】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．
6．（2018·江西九江市·九江一中高二月考（理））F是双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若3，则此双曲线的离心率为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为yx，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．
【详解】
解：由题意得右焦点F（c，0），
设一渐近线OA的方程为yx，
则另一渐近线OB的方程为yx，
由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，
可得A的横坐标为，
由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，
可得B的横坐标为．
由3，
可得3（c）c，
即为2c，
由e，可得2，
即有e4﹣4e2+3＝0，解得e2＝3或1（舍去），
即为e．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键．
7．（2020·安徽高三二模（理））已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，则，即，故，即，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
8．（2020·湖北高三二模（文））已知椭圆和双曲线，点P是椭圆上任意一点，且点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根据题意，设P点坐标为，满足椭圆方程，得，再根据双曲线方恒列出渐近线方程，表达点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为使之为定点则 系数为零，再计算离心率.
【详解】
设，则有，即
双曲线的两渐近线方程为，
则有
依题意，要使得该式子为定值，则的值与 无关，
则必须，则
.
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线方程渐近线方程，考查离心率问题，属于中等题型.
9．（2020·广东汕头市·金山中学高二月考）已知双曲线C：(，)的左右焦点分别为，，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．
【详解】
由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．
设，则，
由，解得或，
∴，．
又为双曲线的左顶点，则，
∴，，，
在中，，由余弦定理得，
即，
即，
则，所以，则，
即，所以
∴．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
10．（2020·河北唐山市·（文））已知是双曲线：的右焦点，是的渐近线上一点，且轴，过作直线的平行线交的渐近线于点（为坐标原点），若，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设,根据轴,可得,再根据直线的方程联立渐近线方程可得,再利用求解出关于的方程,化简求得离心率即可.
【详解】
设,因为轴,故.又直线：,
联立直线:可得,.
又,故,即.
化简可得,故.
故离心率.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.
11．（2020·四川广元市·高三三模（文））已知为坐标原点,双曲线,过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为,若四边形的面积为,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意求出的坐标,再根据四边形的面积为可建立关于的关系,进而根据双曲线中参数的关系求解得到计算即可.
【详解】
因为均与渐近线平行,故,故均为等腰三角形.故横坐标均为,又渐近线方程为.
不妨设.又四边形的面积为,故,
即,解得,故.故离心率为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了双曲线的离心率求解,需要根据题意确定的坐标,进而求得面积的表达式,再列式根据双曲线基本量的关系求解离心率即可.属于中档题.
二、填空题
12．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.
【答案】
【分析】
作出图形，根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】
如下图所示，双曲线的渐近线方程为，
由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，
由图可知，直线的倾斜角，所以，，
因此，.
所以，该双曲线的离心率为取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：
一种是直接建立的关系式求或的范围；
另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，令两边同除以或化为的关系式，进而求解．
13．（2021·合肥市第六中学高二期末（文））已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【分析】
根据向量条件，求出的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论.
【详解】
由题意，设，直线的方程为，
与渐近线联立，可得的坐标为，
，即，
，
代入双曲线方程可得，，
化简可得，
，
故答案为：
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
14．（2021·内蒙古赤峰市·高三月考（文））设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【分析】
画出图形，由，可得是的中点，再结合题意可得垂直平分，再由双曲线的两条渐近线关于对称，从而可得，进而可求出双曲线渐近线方程
【详解】
解：因为，所以是的中点，
因为，所以垂直平分，
所以，
因为双曲线的两条渐近线关于对称，
所以，
因为,
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
15．（2020·上海高三专题练习）过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线交于点，若 ，则双曲线的渐近线方程为___________
【答案】
【分析】
不妨设双曲线的一条渐近线方程为，求出点的坐标，由求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可求得的值，进而解出的值，即可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】
如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
则所在直线的斜率为，直线的方程为：，
联立，解得，
设，由，得，
所以，解得： ，
即，代入，得，
整理得，则，.
因此，双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，解答的关键在于求出点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
16．（2020·湖南株洲市·株洲二中高二月考（文））已知是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，在线段上，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______.
【答案】
【分析】
由题意，，，可得，利用，，即可求出双曲线的离心率.
【详解】
由题意，，，
，
，
，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，掌握双曲线的渐近线求法、离心率求法是解决此题的关键，属于基础题.
17．（2020·浙江高三专题练习）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为P，与另一条渐近线交于点.若，则该双曲线的离心率为_______.
【答案】
【分析】
由题意结合双曲线的性质可设直线的方程为，联立方程组可得点、点，再由平面向量的知识可得，化简后结合双曲线的离心率公式即可得解.
【详解】
由题意可得该双曲线的渐近线方程为，设右焦点，
不妨令直线垂直于直线，则直线的方程为，
由可得点，
因为，所以点，
由可得点，
又，所以即，
所以，
所以该双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
18．（2021·广西桂林市·高二期末（文））已知点P是双曲线上任意一个点，若点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】
设,点P在双曲线上则满足，利用点到直线的距离公式进行计算即可得到离心率.
【详解】
设，则即，
双曲线两条渐近线的方程为，则点P到两条渐近线的距离乘积为
，故．
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求解，考查双曲线的简单的几何性质的应用，属于基础题.
19．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二月考（文））如图所示，设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以线段为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为___________
【答案】
【分析】
由已知条件推导出直线方程、圆的方程，联立直线方程与圆的方程，解得的表示方法，由，推导出，由此能求出双曲线的离心率．
【详解】
由已知条件推导出直线：，圆的方程为，
联立，解得
由，
解得
则
故答案为
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质，联立直线方程与圆的方程求出的表示，结合已知条件的角度，运用向量的知识来求解，继而求出双曲线的离心率，本题较为综合
20．（2020·湖北高三月考（理））已知双曲线的左顶点为，过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且（为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.
【答案】
【分析】
根据题意，得到，渐近线方程为：，不妨令与直线垂直，与直线垂直，求出，坐标，得到，再根据求出，进而可求出离心率.
【详解】
由题意，，双曲线的渐近线方程为：，
不妨令与直线垂直，与直线垂直，
则，，
所以直线的方程为：；直线的方程为：；
由解得：（其中），则；
由解得：，即，
所以，
又，所以，即，即，
解得：或（不满足），
所以此双曲线的离心率是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
21．（2020·全国高三专题练习（理））已知为双曲线（，）右支上的任意一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一、四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为______.
【答案】
【分析】
设，，，利用向量的坐标运算可得P点坐标，代入双曲线方程及A,B在渐近线上，化简可得，利用，可求出，代入三角形面积公式化简即可求解.
【详解】
设，，，由，
得，则，，
所以.
易知点在直线上，点在直线上，
则，，所以，
化简可得.
由渐近线的对称性可得：
所以的面积为
，得，
所以双曲线的实轴长为.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，向量运算，三角形面积公式，考查了推理及运算能力，属于难题.
22．（2019·重庆巴蜀中学高三一模（文））已知F1、F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（） 0（O为坐标原点），且|PF1||PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
由 0，可得（） （）＝0，即|OP|＝c，则∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a，且m2+n2＝4c2，令m=kn，结合双曲线定义及不等式求得e的范围从而求得结果.
【详解】
0，即为（） （）＝0，
即为22，可得|OP|＝c，
即有∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a，
且m2+n2＝4c2，令m=kn，
∴n，m．
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2＝4c2，
∴（）2+（）2＝4c2，
∴（）2+（）2＝e2，又k，
e2=，
即有，
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题.第3讲 渐近线问题
一、单选题
1．（2012·四川泸州市·高三月考（理））已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A．( 1,2) B．(1,2) C． D．(2,+∞)
2．（2021·山西省古县第一中学高二期末（文））已知双曲线与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三专题练习（文））设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·全国高二专题练习（理））已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为
A． B．
C． D．
5．（2019·安徽宿州市·高二期中（文））过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
6．（2018·江西九江市·九江一中高二月考（理））F是双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若3，则此双曲线的离心率为（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．（2020·安徽高三二模（理））已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2020·湖北高三二模（文））已知椭圆和双曲线，点P是椭圆上任意一点，且点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
9．（2020·广东汕头市·金山中学高二月考）已知双曲线C：(，)的左右焦点分别为，，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·河北唐山市·（文））已知是双曲线：的右焦点，是的渐近线上一点，且轴，过作直线的平行线交的渐近线于点（为坐标原点），若，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
11．（2020·四川广元市·高三三模（文））已知为坐标原点,双曲线,过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为,若四边形的面积为,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.
13．（2021·合肥市第六中学高二期末（文））已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________．
14．（2021·内蒙古赤峰市·高三月考（文））设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
15．（2020·上海高三专题练习）过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线交于点，若 ，则双曲线的渐近线方程为___________
16．（2020·湖南株洲市·株洲二中高二月考（文））已知是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，在线段上，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______.
17．（2020·浙江高三专题练习）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为P，与另一条渐近线交于点.若，则该双曲线的离心率为_______.
18．（2021·广西桂林市·高二期末（文））已知点P是双曲线上任意一个点，若点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于，则双曲线的离心率为______．
19．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二月考（文））如图所示，设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以线段为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为___________
20．（2020·湖北高三月考（理））已知双曲线的左顶点为，过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且（为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.
21．（2020·全国高三专题练习（理））已知为双曲线（，）右支上的任意一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一、四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为______.
22．（2019·重庆巴蜀中学高三一模（文））已知F1、F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（） 0（O为坐标原点），且|PF1||PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是_____．第4讲内切圆问题
一、单选题
1．（2020·全国高三专题练习）已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（　　）
A．（1，） B．（1，2）
C．（1，2] D．（1，]
【答案】D
【分析】
根据条件和三角形的面积公式，求得的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案．
【详解】
设的内切圆的半径为，则，
因为，所以,
由双曲线的定义可知，
所以，即，
又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，
故选D．
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
2．（2020·宁夏银川市·银川一中高三二模（文））已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.
详解：
设的内切圆半径为，
由双曲线的定义得，
，
，
由题意得，
故，
故，又，
所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.
点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.
3．（2020·全国高三专题练习（理））已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.
【详解】
由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为
,
设的内切圆的半径为,则,
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.
4．（2018·浙江高三其他模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，若的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
不妨设点在第一象限，由双曲线的定义和勾股定理，得到，进而得到，结合双曲线的离心率的范围，即可求解.
【详解】
根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，如图所示，
由题意设的内切圆切三边分别于，，三点，
则，，．
又，所以，
设，则，所以切点为双曲线的右顶点，
所以，
，
在中，由勾股定理得，
整理得，即，
解得，又因为，所以双曲线的离心率为.
故选：C．
【点睛】
本题考查双曲线的定义、标准方程，以及离心率的计算，其中求解双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
5．（2020·全国高三专题练习）已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】
设的内切圆圆心为 ，的内切圆圆心为，边 上的切点分别为 易见 横坐标相等，则 由
即 得 即 ，记 的横坐标为 ，则 ，于是 ，得
同理内心 的横坐标也为 则有轴，
设直线的倾斜角为，则 则
故选D.
6．（2020·全国高二开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设点分别为、的内心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围．
【详解】
解：记边、、上的切点分别为，则，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得．同理，内心的横坐标也为，则有轴.设直线的倾斜角为，则，，所以，由双曲线可得，，，所以，由于为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则，可得的范围是.
故选：
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，属于难题．
7．（2020·江西赣州市·高三月考（理））为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点.若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，得到三角形为直角三角形，再利用直角三角形内切圆切线长定理，求得半径，再根据内切圆的半径为，建立方程求解.
【详解】
如图所示：
因为，所以三角形为直角三角形，
故它的内切圆半径
，
所以
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及直角三角形内切圆问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
8．（2018·广西贺州市·高二期末（文））已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由双曲线的定义知，又轴，所以的内切圆半径为，由，得，故选D.
【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：① 直接求出，从而求出；② 构造的齐次式，求出；③ 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④ 根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的内切圆半径为，从而找出之间的关系，求出离心率．
9．（2016·湖南高三月考（理））如图，为双曲线的左右焦点，且，若双曲线右支上存在点，使得
，设直线与轴交于点，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：因为，且的内切圆半径为，所以，所以，所以，因为图形的对称性可知，，所以，又因为，所以，所以双曲线的离心率为，故选A．
考点：双曲线的定义及其简单的几何性质．
10．（2020·广东（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】
∵由，∴内切圆半径为，∴离心率，故选A
11．（2020·湖北武汉市·高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的右支上一点，点和分别是的重心和内心，且与轴平行，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
不妨设点，，，由题意，则点到直线、、的距离均为，点到的距离为，利用三角形面积公式可得，再由即可得解.
【详解】
不妨设点，，，则，
，，
由点是的重心，点即，
又与轴平行，点是的内心，
点到直线、、的距离均为，点到的距离为，
，
又，，
，.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线性质的应用和离心率的求解，考查了三角形内心、重心性质的应用，属于中档题.
12．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】
由得 ，所以,
由 ,因此 ,选C.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
13．（2020·安徽安庆市·高三三模（理））双曲线：的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图，设圆与三边的切点分别为，，，得到，故，计算得到答案.
【详解】
如图，设圆与三边的切点分别为，，，
根据圆切线的性质和双曲线的定义，有.
又，所以，
所以，即点的横坐标为3，所以.
因为，，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
二、多选题
14．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知，为双曲线：的左右焦点，过点作渐近线的垂线交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则下列结论正确的有（ ）
A． B．内切圆的半径为
C． D．双曲线的离心率为
【答案】ABD
【分析】
首先确定直线的方程，以及内切圆圆心的坐标，利用圆心到直线的距离确定内切圆的半径，以及求得直线的直线方程，判断AB选项，联立和的直线方程，求得点的坐标，代入双曲线方程，求离心率，并求得点的坐标，判断C.
【详解】
如图，直线为：，即，根据对称性可知在轴上，的内切圆的圆心恰好落在以为直径的圆上，故，故，点到直线的距离，故B正确；
设直线，即，点到直线的距离，平方后化简得，解得：或，
当时，直线与的交点的横坐标是0，不满足条件，故舍去，
当时，直线，与直线垂直，即，故A正确；
联立方程组，解得：，
代入双曲线方程得 ，化简整理得：，故，故D正确；
直线，当时，，即，，
，所以，故C不正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用圆心到直线的距离求内切圆的半径，以及利用圆心到直线的距离求的直线方程，再一个关键求得点的坐标，代入双曲线方程，计算过程是关键.
三、填空题
15．（2019·四川成都市·树德中学高二期中（文））已知点是双曲线右支上一点,,分别是双曲线的左右焦点,为的内心,若,则双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】
设出的内切圆的半径,利用三角形面积公式、双曲线的定义、离心率的公式可以求出双曲线的离心率的值.
【详解】
设的内切圆的半径为,
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的离心率公式,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力.
16．（2017·全国）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF 2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.
【答案】
【解析】
设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF 2＝S△IPF 1－λS△IF 1F 2 ×PF2×r＝×PF1×r－λ×F1F2×r PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝＝.
17．（2020·银川市·宁夏大学附属中学（理））已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为__________.
【答案】
【分析】
根据题意，设△ABF2内切圆的半径为r，三角形的周长为4a,进而求出三角形面积的表达式，再求出,求出△ABF2的面积，进而求出内切圆的半径．
【详解】
根据题意,设△ABF2内切圆的半径为r；
椭圆的方程为，三角形的周长为20，故，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则,故，∴，解得，所以内切圆的半径为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，运用面积相等即可求出内切圆的半径，属于基础题.
18．（2021·全国高三专题练习）已知F1 F2为双曲线=1(a>0，b>0)的左 右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r1与的内切圆半径r2之比为___________.
【答案】
【分析】
连接交于点，由题意可得，即求.
【详解】
由内切圆的性质可知，
的内切圆和的内切圆都与轴相切于双曲线的右顶点，
可知三点共线.
连接交于点，
如图：
直线l的倾斜角为60°，所以，
，在与中，
则，则为
故答案为：
19．（2018·湖南益阳市·高三月考（理））F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_____.
【答案】
【分析】
设为内切圆圆心，用、表示出，，根据列方程得出，的关系即可得出离心率．
【详解】
解：，．
的外接圆半径为，
的内切圆的半径为．
设的内切圆的圆心为，过作轴的垂线，连接，，则，
设，，则，①
不妨设在第一象限，由双曲线的定义可知，②
由①②可得，，
，且，分别是，的角平分线，
，
又，，
，化简可得，故，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．
20．（2021·全国高三二模（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点(点位于第一象限)，的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率为___________.
【答案】
【分析】
数形结合，设，，，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可.
【详解】
设圆与的三边的切点分别为，，，
如图
令，，，
根据双曲线的定义可得可得，
由此可知，在中，轴于，同理轴于，
∴轴.过圆心作的垂线，垂足为.
易知直线的倾斜角与大小相等.
不妨设，，则，，
所以根据勾股定理，，所以.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算.
21．（2021·全国高三专题练习（文））已知，分别为双曲线的左、右焦点，的离心率，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是_______________.（用只含有的式子表示）
【答案】
【分析】
利用双曲线的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，根据题中条件，得到，以及的范围，即可得到所求范围．
【详解】
记边、、上的切点分别为、、，
则，，，
由双曲线的定义可得：，即，
得，则，记的横坐标为，则，
于是，得．
同理，内心的横坐标也为，则有轴.
即、的内心、在直线上，
则的右顶点为，直线的倾斜角为，
因为的离心率，所以，则，所以，
因为过的直线与双曲线的右支交于、两点，所以或或；
则，且，
在中，，，
同理，在中，，，
则
，
因为，所以，因此.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据双曲线的性质以及三角形内切圆的性质，得到、的横坐标都为，再结合直线与双曲线交点的位置以及双曲线的离心率确定直线的倾斜角的范围，即可求解.
22．（2016·河南许昌市·高三三模（理））已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：设内切圆半径为，由题意知，即
，即.又因为，所以.
考点：直线与圆锥曲线位置关系.
【思路点晴】本题是有关双曲线焦点三角形内切圆的问题.解决过程中主要靠两点，一点是紧紧围绕定义，双曲线的定义，，还有内心的概念，内切圆的半径就是三角形的高，在化简过程中，用三角形面积公式代入，再利用定义来求解.第二点是双曲线中这个隐含条件.
23．（2020·和县第二中学高二期中（文））已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且为的内心，若成立，则的值为___________．
【答案】
【解析】
试题分析：设的内切圆的半径为，由双曲线的定义得，，由题意得，所以，因为，所以，所以，所以，即．
考点：双曲线的定义及其简单的几何性质的应用．
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了三角形的面积的计算与内切圆的性质，其中利用三角形的内切圆的性质，表示出的面积，利用关系式，求出的表达式是解答的关键，着重考查了学生分析问题、解答问题的能力，属于中档试题．
24．（2019·长春市九台区第四中学高二期末（理））已知点为双曲线右支上的一点，分别为双曲线的左 右焦点，为的内心，若成立，则的值为__________.
【答案】
【分析】
根据Ⅰ为的内心及，可得，再由双曲线的定义得，两式联立求解.
【详解】
由Ⅰ为的内心及，
得，
即，
又由双曲线的定义得，
则，
故.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义和三角形内切圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
25．（2020·全国高三专题练习）已知一簇双曲线En：x2﹣y2＝（）2（n∈N*，且n≤2020），设双曲线En的左、右焦点分别为F、F，Pn是双曲线En右支上一动点，三角形PnF的内切圆Gn与x轴切于点An（an，0），则a1+a2+…a2020＝_____．
【答案】
【分析】
根据圆的切线长定理及双曲线的定义可得，再根据,得，化简即可求出，利用数列求和即可求解.
【详解】
如图所示，
设Pn，与圆Gn分别切于点Bn，．
根据内切圆的性质可得：,
又点Pn是双曲线En右支上一动点，
∴，
∴．
∴．
可得：an．
可得：a1+a2+…a2020．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义，圆的切线性质，等差数列求和公式，考查了推理运算能力，属于难题.
26．（2020·山东）已知，分别是双曲线的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则的大小为________；双曲线的离心率为________．
【答案】
【分析】
如图所示：不妨取渐近线，易知，设内切圆圆心为，根据对称性知在轴上，得到，根据距离相等得到直线：，联立方程得到，代入双曲线方程，计算得到答案.
【详解】
如图所示：不妨取渐近线，易知，（否则不能与右支相交）.
则直线为：，即，
设内切圆圆心为，根据对称性知在轴上，
的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，故，故，
到直线的距离为：，
设直线：，即
到直线的距离为：，
化简整理得到，解得或，
当时，直线与的交点横坐标为，不满足题意，舍去.
故直线：，故，，
联立方程得到，解得，
代入双曲线方程得到：，化简整理得到：，故.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了双曲线中直线的位置关系，离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第4讲 内切圆问题
一、单选题
1．（2020·全国高三专题练习）已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（　　）
A．（1，） B．（1，2）
C．（1，2] D．（1，]
2．（2020·宁夏银川市·银川一中高三二模（文））已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是
A． B． C． D．
3．（2020·全国高三专题练习（理））已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·浙江高三其他模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，若的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2020·全国高三专题练习）已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为
A．1 B． C．2 D．
6．（2020·全国高二开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设点分别为、的内心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·江西赣州市·高三月考（理））为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点.若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·广西贺州市·高二期末（文））已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
9．（2016·湖南高三月考（理））如图，为双曲线的左右焦点，且，若双曲线右支上存在点，使得
，设直线与轴交于点，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为
A．2 B．4 C． D．
10．（2020·广东（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为
A． B．2 C． D．
11．（2020·湖北武汉市·高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的右支上一点，点和分别是的重心和内心，且与轴平行，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
13．（2020·安徽安庆市·高三三模（理））双曲线：的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知，为双曲线：的左右焦点，过点作渐近线的垂线交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则下列结论正确的有（ ）
A． B．内切圆的半径为
C． D．双曲线的离心率为
三、填空题
15．（2019·四川成都市·树德中学高二期中（文））已知点是双曲线右支上一点,,分别是双曲线的左右焦点,为的内心,若,则双曲线的离心率为______．
16．（2017·全国）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF 2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.
17．（2020·银川市·宁夏大学附属中学（理））已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为__________.
18．（2021·全国高三专题练习）已知F1 F2为双曲线=1(a>0，b>0)的左 右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r1与的内切圆半径r2之比为___________.
19．（2018·湖南益阳市·高三月考（理））F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_____.
20．（2021·全国高三二模（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点(点位于第一象限)，的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率为___________.
21．（2021·全国高三专题练习（文））已知，分别为双曲线的左、右焦点，的离心率，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是_______________.（用只含有的式子表示）
22．（2016·河南许昌市·高三三模（理））已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为 ．
23．（2020·和县第二中学高二期中（文））已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且为的内心，若成立，则的值为___________．
24．（2019·长春市九台区第四中学高二期末（理））已知点为双曲线右支上的一点，分别为双曲线的左 右焦点，为的内心，若成立，则的值为__________.
25．（2020·全国高三专题练习）已知一簇双曲线En：x2﹣y2＝（）2（n∈N*，且n≤2020），设双曲线En的左、右焦点分别为F、F，Pn是双曲线En右支上一动点，三角形PnF的内切圆Gn与x轴切于点An（an，0），则a1+a2+…a2020＝_____．
26．（2020·山东）已知，分别是双曲线的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则的大小为________；双曲线的离心率为________．第5讲 离心率范围
一、单选题
1．（2013·甘肃张掖市·高三月考（文））已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是
A．(1,2] B．[2 +) C．(1,3] D．[3，+)
【答案】C
【详解】
试题分析：由定义知：|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=2a+|PF2|
+4a+|PF2| ≥8a，当且仅当=|PF2|，
即|PF2|=2a时取得等号．
设P（x0，y0） （x0≤-a），由焦半径公式得：
|PF2|=-ex0-a=2a，
又双曲线的离心率e＞1，∴e∈（1，3]，故选C．
考点：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，均值定理的应用．
点评：中档题，本题综合性较强，是高考常见题型，关键是利用双曲线的定义，创造应用均值定理的条件并灵活运用焦半径公式．
2．（2011·江西高三月考（文）） 设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
：∵|OF1|=|OF2|="|OP|" ∴∠F1PF2=90°
设|PF2|=t，则|F1P|=t，a=（t-t)/2，t2+3t2=4c2，则t=c
∴e=c/a=+1
3．（2020·四川遂宁市·高三三模（理））已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设P的坐标，代入双曲线的方程，求出数量并利用双曲线的范围求出x2﹣c2﹣b2 a2﹣c2﹣b2＝﹣b2，再由双曲线可得a，b的关系，进而求出离心率的最小值．
【详解】
设P（x，y），则|x|≥a，所以，
由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以（x+c，y）（x﹣c，y）＝x2﹣c2+y2＝x2﹣c2+（1）b2x2﹣c2﹣b2 a2﹣c2﹣b2＝﹣b2，
所以﹣2a2≥﹣b2，即2a2≤b2，所以离心率e，
故选：C．
【点睛】
本题考查双曲线的性质及数量积的运算，解题时注意双曲线中点的坐标的取值范围，属于中档题．
4．（2020·福建高三其他模拟（理））已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据双曲线的定义可得，则，又，即可得到不等式，即可解得；
【详解】
解：因为
所以；
，，
在双曲线右支上，
又由双曲线的定义，得，
，即，
由双曲线的几何性质，知，
，
即；
，
解得；
又，
双曲线离心率的范围是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了求双曲线的离心率的范围的问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的灵活运用问题，属于中档题．
5．（2017·云南高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
根据正弦定理可知，所以 ，而，即，所以 ，解得： ，而 ，即 ，整理得： ，解得， ，又因为双曲线的，所以 ，故选A.
【点睛】离心率的取值或是取值范围是高考常考题型，如果题设有比较明显的几何特征时，要注意几何关系求的取值或是取值范围，或是根据已知条件转化为关于的齐次方程求解，如果焦半径构成三角形时，经常利用三角形内两边之和大于第三边，或是焦半径的取值范围求解.
6．（2020·四川成都市·双流中学高三月考（理））已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，C上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在C的右支上），使得，且为正三角形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
将，整理可得，又为正三角形，可得P的坐标，代入双曲线的方程可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系可得双曲线的离心率．
【详解】
如上图，因为，整理可得，
又为正三角形，所以可得，
而P又在双曲线上，所以，
整理可得，所以可得．
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的性质，及正三角形的性质，属于中档题．
7．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．
【详解】
依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.
故选B．
【点睛】
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
8．（2019·辽宁沈阳市·高二期末（理））已知F是双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆外，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（1，1） D．（1，2）
【答案】D
【分析】
点E在以AB为直径的圆外可知到的距离大于通经长的一半,再列式求解不等式即可.
【详解】
由题得为通经,故,又点E在以AB为直径的圆外可知到的距离大于通经长的一半,即
故,又,故.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了双曲线离心率的问题,需要根据题意找出对应的不等式关系再求解即可.属于中等题型.
9．（2019·江西抚州市·临川一中高二期中（理））设点P是双曲线-=1（a，b＞0）上异于实轴端点上的任意一点,F1，F2分别是其左右焦点,O为中心,,则此双曲线的离心率为（　　　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】
由余弦定理可得cos∠POF1,．结合可得=2c．利用PF2-PF1=2a．即可求解．
【详解】
解：如图，cos∠POF1…①
…②
①+②可得…③
又…④
由③④可得=．
∵PF2-PF1=2a．
∴4a2=2c2- 3c2=7a2，
e==
故选A．
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率,考查了余弦定理及运算能力,考查了转化思想,属于中档题．
10．（2020·浙江高二期末）点是双曲线左支上一点，其右焦点为，若是线段的中点且到坐标原点距离为，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：根据题意设双曲线的左焦点为，则在中，点（为 坐标原点）分别为的中点，所以，即在双曲线的左支上存在点使，同时即：解得：即且，所以，故答案为A.
考点：1.三角形的中位线；2.双曲线的离心率.
11．（2019·全国高二专题练习（理））设双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为l1、l2，过F作平行于l1的直线依次交双曲线C和直线l2于点A、B，若，，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设直线l的方程为：，分别求出，又，从而得到双曲线离心率的取值范围.
【详解】
由题意可得：双曲线C：的渐近线方程为：，
设直线l的方程为：，
则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：B（），
联立方程：解得
∴
解得：
故选B
【点睛】
求离心率的常用方法有以下两种：
（1）求得的值，直接代入公式求解；
（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．
12．（2019·成都市实验外国语学校（西区）高二期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点．设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为
A． 或 B．或3 C．2或 D．2或3
【答案】D
【分析】
不妨设在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，利用可设，，且有，，从而利用焦半径公式得到，从中解出可得双曲线的离心率.
【详解】
不妨设在第一象限且，则，，
过作直线（抛物线的准线）的垂线，垂足为，
则，故，
因为直角三角形，故可设，
且，
所以，解得或，
若，则， ；
若，则，；
综上，选D.
【点睛】
离心率的计算关键在于构建的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离.
13．（2020·全国高三专题练习（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】
设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．
【详解】
过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，
则，
为双曲线上的点，则，即，得，，
又，在中，由余弦定理可得，
整理得，即，，解得或.
故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（2020·江西南昌市·高三一模（文））已知双曲线C： =1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．+l
【答案】D
【分析】
假设已知直线的倾斜角为，根据直线的斜率为，可知，可得，然后根据，可得点坐标，最后代入双曲线方程化简并结合，可得结果.
【详解】
设已知直线的倾斜角为
由题可知：，
所以
又，所以，即
所以
又，所以，又
所以
化简可得：，
所以
所以，又，所以
故选：D
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，关键在于得到点坐标，考验计算能力，属中档题.
15．（2019·江西南昌市·南昌二中高二期末（文））直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于A，B两点，F为右焦点，若AB⊥BF，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
联立，得xB，由F为右焦点，AB⊥BF，得直线BF：y（x﹣c），联立，得xB，从而，由此能求出该双曲线的离心率．
【详解】
直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于A，B两点，
联立，得xB，
∵F为右焦点，AB⊥BF，∴F（c，0），直线BF：y（x﹣c），
联立，得xB，
∴，整理，得：，
由e＞1，解得该双曲线的离心率e．
故选B．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求法，考查直线、双曲线等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16．（2013·浙江高三一模（理））如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2|＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意设，则，即，所以，又有，则，即，所以双曲线的离心率为.
考点：双曲线的定义及性质.
17．（2020·河南高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有，
即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解
【详解】
如图，因为，所以.因为所以.
在中，，即，
得，则.在中，由得.
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题
二、多选题
18．（2020·福建泉州市·高三月考（理））若双曲线：绕其对称中心旋转可得某一函数的图象，则的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AD
【分析】
利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．
【详解】
解：当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，
可得：，所以双曲线的离心率为：．
当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，
可得：，，所以双曲线的离心率为：．
故选：AD．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题.
三、填空题
19．（2020·北京高三专题练习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点，使、、成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
【答案】
【分析】
根据、、成等比数列，得到，再根据点在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得到，因此可以用、表示或，最后根据双曲线右支上的点到焦点的距离的取值范围，即或，得到关于的不等式，进而求出的取值范围．
【详解】
令，，则由、、成等比数列，得．
又，，所以，即，
则，，根据，得．
又由，得，，，所以．
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线离心率取值范围的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．（2021·定远县育才学校高二期末（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【详解】
因为在中，由正弦定理得，
则由已知，得，即，,
由双曲线的定义知
，
由双曲线的几何性质知
所以解得
又，故双曲线的离心率
21．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线，点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足，若，则E的离心率为_________.
【答案】
【分析】
由题意设，即有，由双曲线定义及已知可得且，结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程，即可求得离心率.
【详解】
令，则且①，
由题意知：E的左准线为，结合双曲线第二定义知：，，又，
∴，解得②，
∵知：，
∴联立①，②得：，整理得，
∴.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数，可得点的横坐标为；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于的齐次方程求离心率即可.
22．（2019·贵州省铜仁第一中学高二期末（理））已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2=，，则该双曲线的离心率为____________.
【答案】
【分析】
设P（m，n），可得1，F1（﹣c，0），F2（c，0），运用直线的斜率公式，解方程可得m，n，再由b2＝c2﹣a2，e，可得e的方程，解方程即可得到所求离心率．
【详解】
设P（m，n），可得1，
F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，
可得直线PF1的斜率k1，直线PF2的斜率k2，
k2＝﹣2，k1，
即为，2，
解得mc，nc，
则1，
由b2＝c2﹣a2，e可得
9e225，
化为9e4﹣50e2+25＝0，
即为e2＝5（1舍去），
可得e．
故答案为．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．
23．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左右焦点为，点是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线的离心率为______
【答案】
【分析】
设，先得的表达式，再由其最小值解出a，即可求出离心率.
【详解】
设，
则，
，
，
当时等号成立，
的最小值是，
，
解得，
又，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，向量的运算，离心率的求法，属于中档题.
24．（2018·安徽省舒城中学高三一模（文））已知双曲线，其左右焦点分别为， ，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设点的横坐标为 ∵，在双曲线右支上（ ）
根据双曲线的第二定义，可得
故答案为.
25．（2021·全国高三专题练习（文））已知分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得，则双曲线的离心率的取值范围是_________.
【答案】(1,3]
【分析】
依题意，双曲线左支上存在一点P使得8a，|PF1|﹣|PF2|＝﹣2a，可求得，|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．
【详解】
解：∵P为双曲线左支上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|＝﹣2a，
∴|PF2|＝|PF1|+2a，①
又8a，②
∴由①②可得，|PF1|＝2a，|PF2|＝4a．
∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即2a+4a≥2c，
∴3，③
又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，
∴2a+2c＞4a，
∴1．④
由③④可得13．
故答案为（1，3]．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
26．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
【答案】(1,2)
【解析】
由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF< 即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF< ，即1，故127．（2020·江苏常州市·高二期末）双曲线的方程为，为其渐近线，为右焦点.过作且交双曲线于，交于.若，且则双曲线的离心率的取值范围为________.
【答案】
【分析】
根据渐近线解得，设，根据，解得，代入双曲线方程化简得到，得到答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程为：，不妨设，
则，联立解得
设，故，故
代入双曲线方程得到：，化简得到
故
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力.
28．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,B为其左支上一点,线段BF与双曲线的一条渐近线相交于A,且,,其中O为坐标原点,则该双曲线的离心率为________.
【答案】
【分析】
由题意，OA垂直平分BF，设，运用点关于直线对称的特点，由中点祖彪公式和垂直的条件解得的值，代入双曲线的方程，化简整理，结合离心率的公式，即可求解.
【详解】
不妨设点B在第二象限.
由题意知OA垂直平分线段BF，设F(c,0),B(m,n),则=-,且=·,得m=,n=,
代入双曲线的方程,可得-=1,又b2=c2-a2,化简并整理可得c2=5a2,
∴该双曲线的离心率e==.
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
29．（2018·浙江温州市·温州中学高二期末）如图，点F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左焦点，直线y＝kx分别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则双曲线C的离心率e＝_____．
【答案】．
【分析】
设双曲线的另一个焦点为，则为平行四边形，由条件可得，然后由双曲线的定义可得，再在用勾股定理，进而求出离心率．
【详解】
如图，设双曲线的另一个焦点为，连接.
根据双曲线的对称性可得，为平行四边形.
由FA⊥AB，在中, ∠ABF＝∠AFO.
，得.
在中有，,得.
.
由双曲线的定义有：
在中：，即
化简整理得:,两边同时除以化为：
解得： .
所以双曲线的离心率为：
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线的定义和对称性性质，属于中档题．
30．（2020·全国高三专题练习）已知F为双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【详解】
∵，∴．
设双曲线的左焦点为，连，
则可得四边形矩形，
∴，．
设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，
∴．
∵S△MNF＝|MF|·|NF|＝ab，
∴，
又在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，
即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，
∴，
即，
整理得，
∴．
答案：
31．（2020·江苏苏州市·南京师大苏州实验学校高三月考）已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．
【答案】2
【分析】
由可得，故得，所以，再根据双曲线的定义得到，．然后在和中运用余弦定理并结合可得的关系，进而可得离心率．
【详解】
如图，由可得，
∴，，
由双曲线的定义可得，，
∴
在中由余弦定理得
在中由余弦定理得
，
∵，
∴，
整理得，
∴，解得或（舍去）．
∴双曲线的离心率等于2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（）来表示，然后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可，属于中档题．
32．（2021·福建厦门市·厦门一中高二期末）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点．过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结并延长交双曲线C于点P．若，且，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【分析】
设双曲线C的左焦点为，连结，，设，则，，，由对称性得四边形为平行四边形，进而在中，利用余弦定理得，在中，由余弦定理得，进而得答案.
【详解】
解：设双曲线C的左焦点为，连结，，设，则，
所以，.
由对称性可知，四边形为平行四边形，故.
在中，由余弦定理得，
解得.
故，.
在中，由余弦定理得，
，
解得：.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义，对称性，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中利用双曲线的对称性和双曲线的定义求得的值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第5讲离心率范围
一、单选题
1．（2013·甘肃张掖市·高三月考（文））已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是
A．(1,2] B．[2 +) C．(1,3] D．[3，+)
2．（2011·江西高三月考（文）） 设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
3．（2020·四川遂宁市·高三三模（理））已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·福建高三其他模拟（理））已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017·云南高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
6．（2020·四川成都市·双流中学高三月考（理））已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，C上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在C的右支上），使得，且为正三角形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（ ）
A．6 B．5 C． D．
7．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·辽宁沈阳市·高二期末（理））已知F是双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆外，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（1，1） D．（1，2）
9．（2019·江西抚州市·临川一中高二期中（理））设点P是双曲线-=1（a，b＞0）上异于实轴端点上的任意一点,F1，F2分别是其左右焦点,O为中心,,则此双曲线的离心率为（　　　　）
A． B． C． D．3
10．（2020·浙江高二期末）点是双曲线左支上一点，其右焦点为，若是线段的中点且到坐标原点距离为，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
11．（2019·全国高二专题练习（理））设双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为l1、l2，过F作平行于l1的直线依次交双曲线C和直线l2于点A、B，若，，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
12．（2019·成都市实验外国语学校（西区）高二期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点．设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为
A． 或 B．或3 C．2或 D．2或3
13．（2020·全国高三专题练习（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
14．（2020·江西南昌市·高三一模（文））已知双曲线C： =1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．+l
15．（2019·江西南昌市·南昌二中高二期末（文））直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于A，B两点，F为右焦点，若AB⊥BF，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
16．（2013·浙江高三一模（理））如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2|＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
17．（2020·河南高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
18．（2020·福建泉州市·高三月考（理））若双曲线：绕其对称中心旋转可得某一函数的图象，则的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
三、填空题
19．（2020·北京高三专题练习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点，使、、成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
20．（2021·定远县育才学校高二期末（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.
21．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线，点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足，若，则E的离心率为_________.
22．（2019·贵州省铜仁第一中学高二期末（理））已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2=，，则该双曲线的离心率为____________.
23．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左右焦点为，点是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线的离心率为______
24．（2018·安徽省舒城中学高三一模（文））已知双曲线，其左右焦点分别为， ，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是__________．
25．（2021·全国高三专题练习（文））已知分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得，则双曲线的离心率的取值范围是_________.
26．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
27．（2020·江苏常州市·高二期末）双曲线的方程为，为其渐近线，为右焦点.过作且交双曲线于，交于.若，且则双曲线的离心率的取值范围为________.
28．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,B为其左支上一点,线段BF与双曲线的一条渐近线相交于A,且,,其中O为坐标原点,则该双曲线的离心率为________.
29．（2018·浙江温州市·温州中学高二期末）如图，点F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左焦点，直线y＝kx分别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则双曲线C的离心率e＝_____．
30．（2020·全国高三专题练习）已知F为双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．
31．（2020·江苏苏州市·南京师大苏州实验学校高三月考）已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．
32．（2021·福建厦门市·厦门一中高二期末）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点．过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结并延长交双曲线C于点P．若，且，则该双曲线的离心率为________．第6讲第三定义
一、单选题
1．（2018·广东佛山市·高三月考（文））双曲线的左右焦点分别为，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设 与交点为，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由直线方程可得直线过双曲线的左焦点，倾斜角为，
直线与圆相切，则：，即是直角三角形，
结合可得：，
联立直线与双曲线的方程可得：
，
则：，据此有：,
结合整理可得：,
据此可得关于离心率的方程：，即，
双曲线中.
本题选择C选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2．（2019·河南郑州市·郑州一中高二开学考试（理））已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，设，则，
即，因为，所以，
则该双曲线的离心率为；故选C.
点睛：在处理圆锥曲线问题或直线和圆锥曲线的位置关系时，往往利用“设而不求”的思想进行处理，如本题中设出点的坐标，但没有求点的坐标，只是利用其横纵坐标间的关系进行求解.
3．已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的渐近线方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】
设出点A,B，P的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合,即可，即可求渐近线方程．
【详解】
令，，由关于原点对称得，将，代入曲线方程得：，两式作差得： 由得：，整理得：，所以双曲线的渐进线方程为：，故选A．
【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程及点差法．设，是曲线上的两点，代入曲线方程得：，两方程作差得：．
4．（2019·安徽六安市·六安一中（理））双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】
本题首先可以设出双曲线的左焦点坐标并写出过双曲线的左焦点且斜率为1的直线方程，然后与渐近线方程联立即可得出两点坐标，最后通过两点坐标得出中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果．
【详解】
设双曲线的左焦点，则过点且斜率为1的直线方程为，
与渐近线方程联立可得、，
故中点坐标为，则有，
即，，
，，故选B．
【点睛】
本题考查了双曲线的相关性质，主要考查双曲线的离心率的计算、双曲线的渐近线方程、中点坐标公式、两点间距离公式，考查化归与转化思想，体现了基础性与综合性，是中档题．
5．（2016·湖北黄冈市·高二期末（理））过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】
试题分析：设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．利用kPMkPN=，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率．
解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．
由kPMkPN=，可得：，即，即，
又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，
所以，，所以，
所以c2=a2+b2=，所以双曲线C的离心率为e===．
故选A．
考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．
6．（2020·全国高三专题练习）已知点P，A，B在双曲线(a＞0，b＞0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
根据双曲线的对称性可知点关于原点对称，设，，，利用点差法求得，进而得到，根据离心率公式计算即得.
【详解】
根据双曲线的对称性可知点关于原点对称，
设，，，
所以,,
两式相减得，即，
因为直线PA，PB的斜率之积为，
所以，
所以双曲线的离心率为
故选:A．
【点睛】
本题考查双曲线的性质，离心率，点差法，属中档题.
利用点差法可以证得：
（1）点P，A，B在曲线 上，直线过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积.
（2）点P，A，B在双曲线 上，直线过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积.
7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高二期中（文））过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
设，，，代入双曲线的方程，作差，可得，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值.
【详解】
由题意可设，，，
则，，
即有，
即，
由，，
可得，
因为，所以.
故选：.
8．（2020·全国高三专题练习（文））已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0
【答案】B
【分析】
先设出直线的方程为，联立，设，由线段AB的中点为，，由此得出，从而能求出双曲线C的渐近线方程.
【详解】
设直线方程为，
联立，消去y，得，
设，
因为线段AB的中点为，
所以，解得，
所以，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为，即，
故选B.
【点睛】
该题所考查的是有关双曲线的渐近线的方程的求解问题，涉及到的知识点有直线与双曲线的位置关系的综合题，对应的直线与双曲线相交的解题思路，以及中点坐标公式的应用，结合题中所给的中点坐标，求出，从而得到渐近线的方程.
9．（2015·湖北武汉市·高三月考（文））过原点的直线与双曲线交于、两点，是双曲线上异于、的点，若直线的斜率之积，则双曲线的离心率
A． B． C． D．2
【答案】A.
【解析】
试题分析：由双曲线的对称性知，可设，，则. 由可得：
，即，即，又因为，均在双曲线上，所以，，所以，所以，所以双曲线的离心率为，故应选A.
考点：双曲线的性质及其应用.
10．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线C：，经过点M(2，1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0
C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0
【答案】A
【分析】
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入双曲线方程后相减，利用中点坐标可得直线的斜率，从而得直线方程．
【详解】
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为M(2，1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝＝8，
故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.
故选：A．
【点睛】
结论点睛：本题考查双曲线的中点弦问题，设是双曲线的弦中点，解题问题方法是“点差法”，即设，代入双曲线方程后相减，即可得．
11．（2018·重庆高三月考（文））已知双曲线，直线l的斜率为-2，与双曲线交于A，B，若在双曲线上存在异于A，B的一点C，使直线AB，BC，AC的斜率满足=3，若D，E，H三点为AB，BC，AC的中点，则+=
A．-6 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】
由题意得，
∴．
设点B,C,E的坐标分别为，
则有，
两式相减得，
整理得，即．
同理得．
∴．选D．
点睛：
本题中涉及的斜率较多，解题的关键是如何将这些斜率联系在一起，通过分析题意可发现，在条件中给出了双曲线的中点弦问题，故可采用“点差法”求解，通过求解可得到结论：双曲线中弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线的斜率之积为定值（其中为双曲线的实半轴和虚半轴的长）．然后根据此结论和条件可使问题容易解决，在解决解析几何的问题中要注意中间性结论的积累和利用，这样可达到提高解题速度的效果．
12．（2021·安徽六安市·六安一中高二开学考试（文））已知双曲线是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线与直线的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点，求得，利用点在双曲线上，及已知定值2可求得，从而可得离心率．
【详解】
根据题意，设点，则，，
所以，所以双曲线的离心率.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于的等式．解题方法是设出坐标，代入双曲线方程，然后把等式用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．
二、填空题
13．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.
【答案】
【分析】
设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.
【详解】
设点、，
由题意可得，，，
直线的斜率为，
则，两式相减得，
所以，
由于双曲线的一个焦点为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.
14．（2020·衡水第一中学高三月考（文））双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，以右顶点为圆心，半径为的圆与过的直线相切于点，设与的交点为，若，则双曲线的离心率为___________.
【答案】2.
【解析】
因为以右顶点为圆心，半径为的圆过的直线相切与点，A=，故可知直线的倾斜角为，设直线方程为
设点P，根据条件知N点是PQ的中点，故得到，因为，故得到
故答案为2.
点睛：这个题目考查的是双曲线的离心率的求法；圆锥曲线中求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子．
15．（2015·浙江衢州市·高二月考（理））已知点是双曲线E：上的一点，M、N分别是双曲线的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为___________________．
【答案】
【解析】
试题分析：代入整理得
渐近线为
考点：双曲线方程及性质
16．（2020·全国高二课时练习）设A.B分别为双曲线（a>0，b>0）的左.右顶点，P是双曲线上不同于A.B的一点，直线AP.BP的斜率分别为m.n，则当取最小值时，双曲线的离心率为__________.
【答案】
【分析】
先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.
【详解】
设，则 ，
因此 当且仅当时取等号,
所以离心率是.
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.
17．（2020·全国高三月考（理））已知双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，且直线与直线的斜率之积为1，则双曲线的焦距为__________.
【答案】
【分析】
设，利用斜率乘积为和在双曲线上可构造方程组求得，进而得到，求得焦距.
【详解】
由双曲线方程知：，，
设，则，即，
又，，，双曲线的焦距为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线焦距的求解问题，关键是能够利用斜率关系和点在双曲线上构造方程求得双曲线标准方程中的未知量.
18．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二月考）已知椭圆：（），为左焦点，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为，、为左、右顶点，是椭圆上任意一点，直线和满足，过作圆：的两条切线，切点分别为、，则的最小值为______．
【答案】
【分析】
设，代入椭圆方程，另外用表示出，从而可得，再结合椭圆中的关系，进而可求出，明确椭圆的方程，根据椭圆的性质可得当为椭圆的上顶点时，所求数量积最小，结合二倍角的余弦公式即可求出最小值.
【详解】
解：由题意知，，，不妨设，
则，整理得，又，
所以联立两方程可得，即，又，
，解得，即椭圆方程为，
因为表示以为圆心，为半径的圆，则，
因为，所以到距离越大，越大，
此时越大，则越小，
设，则，到圆心距离，
因为，所以当时，取最大值，
即到距离最大，此时，则，
所以，
则
故答案为:
【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的求解，考查了椭圆的几何性质，考查了平面向量的数量积公式，考查了斜率公式，考查了二倍角的余弦公式，属于中档题.本题的关键是根据已知条件求出椭圆的标准方程.第6讲 第三定义
一、单选题
1．（2018·广东佛山市·高三月考（文））双曲线的左右焦点分别为，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设 与交点为，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
2．（2019·河南郑州市·郑州一中高二开学考试（理））已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是
A．2 B． C． D．
3．已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的渐近线方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2019·安徽六安市·六安一中（理））双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于
A． B． C．或 D．
5．（2016·湖北黄冈市·高二期末（理））过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．2
6．（2020·全国高三专题练习）已知点P，A，B在双曲线(a＞0，b＞0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高二期中（文））过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ）
A．4 B．1 C． D．
8．（2020·全国高三专题练习（文））已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0
9．（2015·湖北武汉市·高三月考（文））过原点的直线与双曲线交于、两点，是双曲线上异于、的点，若直线的斜率之积，则双曲线的离心率
A． B． C． D．2
10．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线C：，经过点M(2，1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0
C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0
11．（2018·重庆高三月考（文））已知双曲线，直线l的斜率为-2，与双曲线交于A，B，若在双曲线上存在异于A，B的一点C，使直线AB，BC，AC的斜率满足=3，若D，E，H三点为AB，BC，AC的中点，则+=
A．-6 B．5 C．6 D．7
12．（2021·安徽六安市·六安一中高二开学考试（文））已知双曲线是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线与直线的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.
14．（2020·衡水第一中学高三月考（文））双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，以右顶点为圆心，半径为的圆与过的直线相切于点，设与的交点为，若，则双曲线的离心率为___________.
15．（2015·浙江衢州市·高二月考（理））已知点是双曲线E：上的一点，M、N分别是双曲线的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为___________________．
16．（2020·全国高二课时练习）设A.B分别为双曲线（a>0，b>0）的左.右顶点，P是双曲线上不同于A.B的一点，直线AP.BP的斜率分别为m.n，则当取最小值时，双曲线的离心率为__________.
17．（2020·全国高三月考（理））已知双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，且直线与直线的斜率之积为1，则双曲线的焦距为__________.
18．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二月考）已知椭圆：（），为左焦点，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为，、为左、右顶点，是椭圆上任意一点，直线和满足，过作圆：的两条切线，切点分别为、，则的最小值为______．第7讲 椭双共焦点
一、单选题
1．（2019·甘肃兰州市·兰州一中高三月考（文））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设椭圆与双曲线的半焦距为,,由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可求出范围.
【详解】
如图所示：
设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得
， ，即
，即
，
由可知，令，，
所以，故选D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题.
2．（2019·重庆八中高二期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到答案．
【详解】
设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定可得，
解得，，
由，可得，
即，
由，，可得，
由，可得，
可得，即，
则，
可设，则，
由在递增，可得，．
则，．
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，离心率，考查换元法和构造函数法求范围问题，属于中档题．
3．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．8 D．
【答案】C
【分析】
由在上的投影等于可知PF1⊥PF2， 利用椭圆与双曲线的
焦距相同找到和的关系，最后构建函数利用导数求出的最小值.
【详解】
如图，设半焦距为．∵点是两曲线在第一象限的交点，且在上
的投影等于，∴PF1⊥PF2．设，，则，
．∴＝﹣．在中，
由勾股定理可得：.
∴．两边同除以c2，得2＝，
所以，
当即时取等号，因此9e12+e22的最小值是8．
故选：C.
【点睛】
求最值题目一般分为三步：
①写表达式；
②消元；
③求值域.
4．（2020·四川广安市·邻水实验学校高二月考（理））有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题得：设周长为
当且仅当M、A、B共线时，周长的最小
点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案
5．（2018·宜昌市夷陵中学高三一模（文））我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值．
【详解】
设F1（﹣c，0），F2（c，0），
椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，
可得PF1+PF2=2a，PF1﹣PF2=2m，
可得PF1=a+m，PF2=a﹣m，
由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22﹣2PF1 PF2cos60°，
即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）=a2+3m2，
由离心率公式可得+=4，
e1e2=1，
即有e24﹣4e22+3=0，
解得e2=
故选C．
【考点】
椭圆、双曲线定义，离心率
【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
6．（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又= ，故．故选A．
【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．
【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误．
7．（2019·湖北（文））椭圆：与双曲线：焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限、第三象限的交点分别为、，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先设双曲线的右焦点为，由椭圆与双曲线的特征可知，A与B关于原点对称，可得，由，可得，再由椭圆与双曲线定义可得，从而可得，，由余弦定理可得，结合基本不等式即可得出结果.
【详解】
设双曲线的右焦点为,由题意点A与点B关于原点对称，因此，又，所以；由椭圆与双曲线定义可得，所以，，根据余弦定理可得，即，化简得，所以离心率乘积为，当且仅当时，去等号;由，所以，所以，再将（1）（2）代入可得，所以双曲线的渐近线方程为或，故选C.
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的定义与简单几何性质，需要学生灵活掌握圆锥曲线的定义与性质，难度系数较大.
8．（2018·浙江全国·高三课时练习）已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±2y＝0
【答案】C
【解析】
设椭圆C1：＝1(a>b>0)，双曲线C2：＝1(m＞0，n＞0)，依题意c1＝c2＝c，且＝∴＝，则a＝3m.由圆锥曲线定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|－|PF2|＝2m∴|PF1|＝4m，|PF2|＝2m.在△F1PF2中，由余弦定理，得：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝12m2，∴c2＝3m2，则n2＝c2－m2＝2m2，因此双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.故选C.
点睛:本题考查椭圆和双曲线的定义以及性质,属于中档题.首先设出椭圆和双曲线的方程,根据椭圆和双曲线的离心率公式以及定义,求出a＝3m, |PF1|＝4m，|PF2|＝2m.在△F1PF2中,利用余弦定理可求得c2＝3m2 ,n2＝c2－m2＝2m2，根据双曲线的渐近线方程公式,即可求得答案.
二、填空题
9．（2020·南通市天星湖中学高二月考）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】
由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值．
【详解】
由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，
由椭圆定义，
可得，，
又，
，
可得，
得，
即，
可得，
则
，
当且仅当，上式取得等号，
可得的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．
10．（2017·全国高三专题练习）设F1，F2分别为椭圆C1：(a＞b＞0)与双曲线C2： (a1＞0，b1＞0)的公共左，右焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆C1的离心率e∈，则双曲线C2的离心率e1的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
由已知得MF1＋MF2＝2a，MF1－MF2＝2a1，所以MF1＝a＋a1，MF2＝a－a1，又因为∠F1MF2＝90°，所以MF＋MF＝4c2，即(a＋a1)2＋(a－a1)2＝4c2，即a2＋a＝2c2，所以＋＝2，所以e＝，因为e∈[，]，所以≤e2≤，
即≤≤，≤2－≤，
所以≤e≤，所以e1∈.
11．（2020·张家口市宣化第一中学高三月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】
设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义求得，由此可求得的最小值，得到答案.
【详解】
由题意，设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
令在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
两式平方相加，可得
又由，则，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的最值问题，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
12．（2020·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知椭圆和双曲线有共同的焦点分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于_______．
【答案】
【分析】
根据椭圆和双曲线的定义可利用表示出和，在中，利用余弦定理构造等量关系，配凑求得所求式子的值.
【详解】
设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点.
由椭圆和双曲线定义知：，，
，，
由椭圆和双曲线对称性可知：四边形为平行四边形，
，，，
即，
.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查共焦点的椭圆和双曲线离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用椭圆和双曲线的定义，利用椭圆长半轴和实半轴表示出焦半径，从而利用余弦定理构造等量关系.
13．（2019·长沙市·湖南师大附中高三二模（理））已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______.
【答案】
【解析】
由题意，不妨设P在第一象限，
由双曲线的方程知|PF1| |PF2|=4,c=2
∵|PF2|=2,∴|PF1|=6，
∴2a=|PF2|+|PF2|=8，
∴a=4.
∵椭圆与双曲线有相同的右焦点,c=2，
∴椭圆C1的离心率为e==，
故答案为.
14．（2020·辽宁沈阳市·高三期末（理））中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点、，P为与在第一象限的交点，且，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的范围是__________.
【答案】
【分析】
由于P为与在第一象限的交点，，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案.
【详解】
设椭圆：与双曲线：，
因为P为与在第一象限的交点，，所以焦点三角形是以为底边的等腰三角形，
即在椭圆中有①；同理，在双曲线中有②，
由①②可知，，
因为，且，
由不等式的性质可知，.
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.
15．（2020·吉林白山市·高三其他模拟（文））双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为，它们在第一象限的交点为，若，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为____________.
【答案】
【分析】
利用正弦定理求得，利用椭圆和双曲线的定义求得，进而由列方程，并转化为含有双曲线离心率的方程，由此求得双曲线的离心率.
【详解】
设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，由正弦定理得.∵，∴，∴.∵，，∴，∴.又∵，，两边除以并化简得，∴.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
16．（2019·河南郑州市·高二期末（文））设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，,若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的值为_______
【答案】
【分析】
利用椭圆与双曲线的定义，列出方程组，求得，再由勾股定理，得出离心率的方程，即可求解.
【详解】
由椭圆和双曲线的定义，可得，
所以，
因为，所以，即，
即，
又由，即有，
因为，所以，可得.
【点睛】
本题主要考查了椭圆与双曲线的简单的几何性质的应用，以及曲线的离心率的求解，求曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①利用定义求解；②根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
17．（2020·全国高二单元测试）设、分别为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是________.
【答案】
【分析】
本题首先可根据题意绘出椭圆和双曲线图像，然后设、，结合椭圆定义和双曲线定义得出、，再然后根据得出，进而得出，最后根据即可求出离心率的取值范围.
【详解】
如图，绘出椭圆和双曲线图像：
设，，
由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，
解得，，
因为，所以，
即，由离心率的公式可得，
因为，所以，
即，解得，
因为，所以，，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查离心率的相关计算，主要考查椭圆定义和双曲线定义的应用，椭圆中有，双曲线中有，离心率计算公式为，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
18．（2020·长沙市明德中学高二月考）椭圆与双曲线有相同的焦点，左右焦点分别为、，且在第一象限的交点为P，椭圆与双曲线离心率分别为，，若，，则________.（答案要填区间）
【答案】
【分析】
设共同的焦点坐标与，运用椭圆与双曲线的定义，以及焦点三角形中的余弦定理公式构建，的关系，进而由已知的范围，求得答案.
【详解】
设公共焦点为，且
由椭圆与双曲线的定义可知，解得
在中，，由余弦定理可知
则，即，整理有
因为，有，即
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查圆锥曲线中共焦点问题，还考查了求离心率的取值范围，属于较难题.
19．（2021·安徽六安市·六安一中高二开学考试（文））已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为____________.
【答案】
【分析】
根据正弦定理，可得，根据椭圆与双曲线定义可求得，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得，进而求得双曲线的离心率．
【详解】
设焦距为2c
在三角形PF1F2中，根据正弦定理可得
因为，代入可得
，所以
在椭圆中，
在双曲线中，
所以
即
所以
因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1
即 ，即
所以
化简得，等号两边同时除以
得，因为 即为双曲线离心率
所以若双曲线离心率为e，则上式可化为
由一元二次方程求根公式可求得
因为双曲线中
所以
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．
20．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线在第一象限的交点为P，若，且，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【分析】
利用两曲线在第一象限的交点为P，得到；又，进而得到，转化为离心率的齐次式即得．
【详解】
由已知可得点，代入得出
，即
将代入得出，即．
故． ．
又椭圆与双曲线有相同的焦点，
故，
故．
即 ．
故答案为：．
21．（2020·衡水第一中学高三期中（理））已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.
【答案】
【分析】
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得
4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，
化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值.
【详解】
设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,
∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，
，
由柯西不等式得（1+）（）≥（）2
故答案为
【点睛】
本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关
键．属于难题．
22．（2019·福建三明市·三明一中高二期中）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.
【答案】
【分析】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．由椭圆及双曲线定义用，表示出，，在△中根据余弦定理可得到，与的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．
【详解】
解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义：
，，
，，
设，，则：
在△中由余弦定理得，
，
化简得：，
即，
又，
，即，
即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题．
23．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考（理））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
设椭圆与双曲线的半焦距为，，由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可得答案.
【详解】
设椭圆与双曲线的半焦距为，，由题意可得：，，
，，，
，，，
.
，，设，，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线和椭圆的定义及简单性质、离心率的问题，考查转化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
24．（2019·陕西渭南市·高三月考（文））已知椭圆与双曲线有公共的左 右焦点、，它们在第一象限交于点，其离心率分别为、，以、为直径的圆恰好过点，则_____.
【答案】2
【分析】
根据椭圆和双曲线的定义，结合两个曲线有公共焦点列方程，化简后求得的值.
【详解】
椭圆与双曲线有公共的左 右焦点、，
由题意可知，以、为直径的圆恰好过点，
又，，，，
，，即.
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查椭圆和双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
25．（2019·福建师大附中高二期末（理））如图，在中，已知其内切圆与边相切于点，延长到，使，连接,设以为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则当取最大值时，的值为__．
【答案】.
【分析】
设内切圆与，分别切于点，设，，利用椭圆、双曲线的定义分别求出的表达式，求出的最大值，并求出的值．
【详解】
设内切圆与，分别切于点，
所以，，，，则，
设，，
根据圆的切线性质，可得，
在中，，
设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
由椭圆双曲线定义，
，，，，
，
，
令，则，
当时，方程有解，满足条件，
当时，则应满足，解得且，
综上，，
则可得当时，取得最大值为，此时取最大值，
.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查三角形内切圆的相关内容，椭圆、双曲线的定义等，利用椭圆、双曲线的定义求出的表达式是解题关键，求最大值时利用了判别式法求值域.第7讲椭双共焦点
一、单选题
1．（2019·甘肃兰州市·兰州一中高三月考（文））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2019·重庆八中高二期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．8 D．
4．（2020·四川广安市·邻水实验学校高二月考（理））有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:
A． B．
C． D．
5．（2018·宜昌市夷陵中学高三一模（文））我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率
A． B． C． D．
6．（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
7．（2019·湖北（文））椭圆：与双曲线：焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限、第三象限的交点分别为、，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是
A． B．
C． D．
8．（2018·浙江全国·高三课时练习）已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±2y＝0
二、填空题
9．（2020·南通市天星湖中学高二月考）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______.
10．（2017·全国高三专题练习）设F1，F2分别为椭圆C1：(a＞b＞0)与双曲线C2： (a1＞0，b1＞0)的公共左，右焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆C1的离心率e∈，则双曲线C2的离心率e1的取值范围是________________．
11．（2020·张家口市宣化第一中学高三月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为__________．
12．（2020·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知椭圆和双曲线有共同的焦点分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于_______．
13．（2019·长沙市·湖南师大附中高三二模（理））已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______.
14．（2020·辽宁沈阳市·高三期末（理））中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点、，P为与在第一象限的交点，且，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的范围是__________.
15．（2020·吉林白山市·高三其他模拟（文））双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为，它们在第一象限的交点为，若，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为____________.
16．（2019·河南郑州市·高二期末（文））设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，,若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的值为_______
17．（2020·全国高二单元测试）设、分别为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是________.
18．（2020·长沙市明德中学高二月考）椭圆与双曲线有相同的焦点，左右焦点分别为、，且在第一象限的交点为P，椭圆与双曲线离心率分别为，，若，，则________.（答案要填区间）
19．（2021·安徽六安市·六安一中高二开学考试（文））已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为____________.
20．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线在第一象限的交点为P，若，且，则双曲线的离心率为_________．
21．（2020·衡水第一中学高三期中（理））已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.
22．（2019·福建三明市·三明一中高二期中）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.
23．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考（理））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是__________．
24．（2019·陕西渭南市·高三月考（文））已知椭圆与双曲线有公共的左 右焦点、，它们在第一象限交于点，其离心率分别为、，以、为直径的圆恰好过点，则_____.
25．（2019·福建师大附中高二期末（理））如图，在中，已知其内切圆与边相切于点，延长到，使，连接,设以为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则当取最大值时，的值为__．第8讲 直接法
一．选择题（共17小题）
1．（2020 石家庄模拟）过双曲线右焦点的直线交的右支于，两点，直线是坐标原点）交的左支于点．若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：取左焦点，设，则，由题意可得，所以，
所以，，而，所以，
，
进而可得，
在直角三角形中，，
所以，解得，
所以，，，，
在三角形中，所以可得：，
所以，
故选：．
2．（2021 合肥一模）设双曲线的左、右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．4
【解答】解：设为第一象限内的点，,,,
可得,
在△中，可得,
即为,即,
又△的面积为,
化为,
由,可得,
解得 (负的舍去),
故选：．
3．（2019 青岛一模）已知双曲线，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，过的右焦点右侧的点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若与的面积之比为，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，
则，
，
，
的渐近线方程为，
故选：．
4．（2014秋 滕州市校级期末）已知双曲线的方程为，它的左、右焦点分别，，左右顶点为，，过焦点先作其渐近线的垂线，垂足为，再作与轴垂直的直线与曲线交于点，，若，，依次成等差数列，则离心率　　
A． B． C．或 D．
【解答】解：由题设知双曲线的一条渐近线方程为
，
右焦点，，
，
轴，，解得，
，
，若，，依次成等差数列，
，，依次成等差数列，
，
，即，
解得．
故选：．
5．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆的半径为，圆的直径为，
，
，，
，
，
，
故选：．
6．（2020秋 河南月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点．若，则　　
A．4 B．6 C．8 D．12
【解答】解：双曲线的，
根据双曲线的定义，得，，
两式相加得，
即，
又，
所以．
故选：．
7．（2019春 安徽月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则△的面积为　　
A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解：设，则，
的角平分线恰好过点，
，即．
又，
，即，
解方程组，得，（舍或，，
△的面积为．
故选：．
8．（2018秋 中原区校级月考）已知直线与双曲线相切于点，与双曲线两条渐近线交于，两点，则的值为　　
A．3 B．4
C．5 D．与的位置有关
【解答】解：取点，则，，，
取点，则，，，
故选：．
9．已知，分别为双曲线的中心和右焦点，点、分别在的渐近线和右支上，若，轴，，则的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：知，分别为双曲线的中心和右焦点，不妨点、分别在的渐近线和右支上，若，
可得，则的纵坐标为：，
轴，则的纵坐标为：，横坐标为：，则，
，可得：，，化简可得，
可得双曲线的离心率为：．
故选：．
10．（2020秋 北碚区校级期中）已知，分别是双曲线的中心和右焦点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，异于原点，若，则双曲线的离心率为　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，
以为直径的圆的方程为，
即，
联立，解得，即点的纵坐标为．
，即，
故选：．
11．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线两条渐近线分别为：，
由得，，
则点的坐标是，，
同理可求的坐标是，，
设的中点是，则的坐标是，，
因为，所以，
因为的斜率是，所以的斜率是，
则，化简得，
所以，则，
所以该双曲线的离心率是，
故选：．
12．（2019 南昌三模）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，
分别与联立，解得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故选：．
13．（2018秋 聊城期末）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，△为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：可设点在双曲线的右支上，且△的，
，可得，
由双曲线的定义可得，
可得．
故选：．
14．（2017 普兰店市二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，，
由双曲线的定义可得，，
可得，，
由四边形为平行四边形，
又，可得，
在三角形中，由余弦定理可得
，
即有，即，
可得，
即．
故选：．
15．（2020秋 五华区校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，△是以为底边的等腰三角形，且，则该双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：△是以为底边的等腰三角形，
，
在△中，由余弦定理知，
，
由双曲线的定义知，，
，
，
，
，
，
离心率，即．
故选：．
16．（2020 全国二模）已知双曲线上存在一点，过点向圆做两条切线、，若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线上存在一点，过点向圆做两条切线、，若，
可知是正方形，，所以双曲线的实半轴长的最大值为，
所以．
故选：．
17．（2020 武汉模拟）已知，分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于，两点（点，异于，，则直线，的斜率之比　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知得双曲线，，．
故，，．
设直线，且，，，．
由消去整理得，
，
两式相比得①，
②，
将①代入②得：上式．
故．
故选：．
二．多选题（共1小题）
18．（2021 江苏一模）已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，则下列结论正确的有　　
A．若，则双曲线的离心率
B．若是面积为的正三角形，则
C．若为双曲线的右顶点，轴，则
D．若射线与双曲线的一条渐近线交于点，则
【解答】解：对于，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故选项正确；
对于，因为是面积为的正三角形，所以，解得，
所以，故，故选项正确；
对于，因为为双曲线的右顶点，则，又轴，则，所以，故选项错误；
对于，若为右顶点，则射线与双曲线的渐近线交于点，此时，故选项错误．
故选：．第8讲 直接法
一．选择题（共17小题）
1．（2020 石家庄模拟）过双曲线右焦点的直线交的右支于，两点，直线是坐标原点）交的左支于点．若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
2．（2021 合肥一模）设双曲线的左、右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．4
3．（2019 青岛一模）已知双曲线，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，过的右焦点右侧的点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若与的面积之比为，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
4．（2014秋 滕州市校级期末）已知双曲线的方程为，它的左、右焦点分别，，左右顶点为，，过焦点先作其渐近线的垂线，垂足为，再作与轴垂直的直线与曲线交于点，，若，，依次成等差数列，则离心率　　
A． B． C．或 D．
5．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
6．（2020秋 河南月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点．若，则　　
A．4 B．6 C．8 D．12
7．（2019春 安徽月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则△的面积为　　
A．12 B．24 C．36 D．48
8．（2018秋 中原区校级月考）已知直线与双曲线相切于点，与双曲线两条渐近线交于，两点，则的值为　　
A．3 B．4
C．5 D．与的位置有关
9．已知，分别为双曲线的中心和右焦点，点、分别在的渐近线和右支上，若，轴，，则的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
10．（2020秋 北碚区校级期中）已知，分别是双曲线的中心和右焦点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，异于原点，若，则双曲线的离心率为　　
A．2 B． C． D．
11．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
12．（2019 南昌三模）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
13．（2018秋 聊城期末）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，△为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
14．（2017 普兰店市二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
15．（2020秋 五华区校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，△是以为底边的等腰三角形，且，则该双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
16．（2020 全国二模）已知双曲线上存在一点，过点向圆做两条切线、，若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
17．（2020 武汉模拟）已知，分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于，两点（点，异于，，则直线，的斜率之比　　
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
18．（2021 江苏一模）已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，则下列结论正确的有　　
A．若，则双曲线的离心率
B．若是面积为的正三角形，则
C．若为双曲线的右顶点，轴，则
D．若射线与双曲线的一条渐近线交于点，则第9讲 综合题
一．选择题（共8小题）
1．（2018 西城区校级模拟）在等腰梯形中，，且，，，其中，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在等腰梯形中，
，
由双曲线的定义可得，，，
由椭圆的定义可得，，，
则，
令，
则在上单调递减，
所以，
则，
则，
故的最大值为
故选：．
2．如图，等腰梯形中，，且，，，以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为．以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，动点在边上，且，对恒成立，则的最大值为　　
A． B．2 C． D．不存在
【解答】解：在等腰梯形中，
，
由双曲线的定义可得，，；
由椭圆的定义可得，，，
则，
令，
则在上递减，
则，
则有的取值范围为，．
由于，对恒成立，
则有．
即有的最大值为．
故选：．
3．（2020 河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：设，则，
，
，
同理，，
，
，
，
在，中，，
即，得，
有，，
在△，中，
由，
即，
得，即离心率，
故选：．
4．（2020 广东一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于，两点，且，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
设双曲线的一条渐近线方程为，
联立，解得，，
，且轴，
，，则，
则，得，即．
故选：．
5．（2020 九江二模）已知双曲线的左右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆．与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的左右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆，与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为菱形，
可得：，，代入双曲线方程可得：，
可得：，，解得．
故选：．
6．（2021 陕西模拟）已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于在第一象限），两点，，且，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设双曲线的左焦点为．则为平行四边形，．
因为，所以，所以．
因为．所以．
所以，
得，故离心率．
故选：．
7．（2019 桂林一模）设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A．， B． C．， D．
【解答】解：抛物线的焦点为，其准线，双曲线的两个交点分别是，，，，
是等边三角形，可得，可得，
所以双曲线的离心率：．
双曲线的离心率的取值范围是：，．
故选：．
8．（2012 江西模拟）设抛物线的焦点是双曲线右焦点．若与的公共弦恰好过，则双曲线的离心率的值为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：由题意，交点为，，代入双曲线方程得
，又
，化简得
，
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．（2020 潍坊一模）已知双曲线，则不因改变而变化的是　　
A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程
【解答】解：双曲线，可化为．
，．
，
，
渐近线，
故选：．
10．（2020秋 山东月考）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则　　
A．若，同在双曲线的右支，则的斜率大于
B．若在双曲线的右支，则最短长度为2
C．的最短长度为
D．满足的直线有4条
【解答】解：双曲线的，，，
渐近线方程为，
若，同在双曲线的右支，且直线垂直于轴，可得直线的斜率不存在，故错误；
当垂直于轴时，可令，可得，即，
当为实轴时，，，，
故正确；
当垂直于轴时，，当为实轴时，，
而，则的最短长度为6，故错误；
若，同在双曲线的右支，由于，可得过的直线有两条；
若，分别在双曲线的一支上，由，可得过的直线有两条，
则满足的直线有4条，故正确．
故选：．
三．填空题（共2小题）
11．（2015秋 台州校级月考）在等腰梯形中，，且，，，其中，以、为焦点且过点的双曲线的离心率为，以、为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为　　．
【解答】解：对于双曲线，，
，
，
故，
故，
对于椭圆，，
，
，
故，
故，
令，，
故，
，
由对勾函数的单调性及复合函数的单调性知，
在上是减函数，
故，
故若对对任意，不等式恒成立，
则，
故答案为：．
12．（2020 泉州二模）如图1，已知四面体的所有棱长都为，，分别为线段和的中点，直线垂直于水平地面，该四面体绕着直线旋转一圈得到的几何体如图2所示，若图2所示的几何体的正视图恰为双曲线的一部分，则的方程为　　．
【解答】解：通过补形，将该四面体放入正方体中，使得四面体的棱恰好时正方体的面对角线，
易得正方体的棱长为2，对棱，的中点间的距离等于正方体的棱长2，
故双曲线的实轴长为2，该双曲线过点，，
则，故双曲线的方程为．
故答案为：．第9讲 综合题
一．选择题（共8小题）
1．（2018 西城区校级模拟）在等腰梯形中，，且，，，其中，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
2．如图，等腰梯形中，，且，，，以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为．以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，动点在边上，且，对恒成立，则的最大值为　　
A． B．2 C． D．不存在
3．（2020 河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
4．（2020 广东一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于，两点，且，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
5．（2020 九江二模）已知双曲线的左右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆．与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
6．（2021 陕西模拟）已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于在第一象限），两点，，且，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
7．（2019 桂林一模）设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A．， B． C．， D．
8．（2012 江西模拟）设抛物线的焦点是双曲线右焦点．若与的公共弦恰好过，则双曲线的离心率的值为　　
A． B． C． D．2
二．多选题（共2小题）
9．（2020 潍坊一模）已知双曲线，则不因改变而变化的是　　
A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程
10．（2020秋 山东月考）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则　　
A．若，同在双曲线的右支，则的斜率大于
B．若在双曲线的右支，则最短长度为2
C．的最短长度为
D．满足的直线有4条
三．填空题（共2小题）
11．（2015秋 台州校级月考）在等腰梯形中，，且，，，其中，以、为焦点且过点的双曲线的离心率为，以、为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为　 　．
12．（2020 泉州二模）如图1，已知四面体的所有棱长都为，，分别为线段和的中点，直线垂直于水平地面，该四面体绕着直线旋转一圈得到的几何体如图2所示，若图2所示的几何体的正视图恰为双曲线的一部分，则的方程为　　．
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