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函数导函数和生活中优化问题的类型与解法
函数导函数和生活中的优化问题在近几年高考试题中也有出现，从题型上看一般都是函数的大题；难度为中，高档。纵观近几年高考试卷，归结起来函数导函数和生活中优化问题主要包括：①运用函数导函数求某种收益的最大值；②运用函数导函数求某种支出的最小值等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数导函数和生活中优化问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱的包装盒，E，F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值（2019全国高考江苏）
【解析】
【考点】①正方形和等腰直角三角形的定义与性质；②正四棱柱的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④求一元二次函数最值的基本方法；⑤函数导函数的定义与基本求法；⑥运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质，结合问题条件把a，h表示成关于x的式子，从而根据正四棱柱侧面积的公式求出S关于x的解析式，利用求一元二次函数最值的基本方法就可求出S的最大值与x的值；（2）运用正四棱柱的体积公式把包装盒的体积表示成关于x的函数，运用求函数导函数和用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出包装盒体积的最大值与x的值。
【详细解答】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），如图a=x，h=
=（30-x），（0（x）=-6+120x=6x（20-x），令（x）=0得：x=0或x=20，0x=20，当x（0，20）时, （x）>0，当x（20，30）时, （x）<0，函数
V（x）在（0，20）上单调递增，在（20，30）上单调递减，= V（30）=800
（-20+30）=8000（cm），此时==，包装盒容积V（cm）最大时，x=20，包装盒的高与底面边长的比值为。
2、某农场有一块农田如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上，设OC与MN所成的角为。
（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3，求当为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大（2018全国高考江苏卷）
【解析】
【考点】①圆和矩形的定义与性质；②求三角形和矩形面积的基本方法；③三角函数的定义与性质；④求三角函数最值的基本方法；⑤函数导函数的定义与基本求法；⑥运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质，结合问题条件把a，h表示成关于x的式子，从而根据正方体侧面积的公式求出S关于x的解析式，利用求一元二次函数最值的基本方法就可求出S的最大值与x的值；（2）运用正方体的体积公式把包装盒的体积表示成关于x的函数，运用求函数导函数和用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出包装盒体积的最大值与x的值。
【详细解答】（1）如图过A，B分别作ADMN于点A，BCMN于点B，分别交圆弧MPN于点D，C，设PO交CD于点H，AD=BC=40sin+10，AB=CD=240cos=80 cos，PH=40-40sin，=AB.BC=（40sin+10）.80 cos，=3200 sin. cos+800 cos，
=CD.PH=40 cos（40-40sin）=1600 cos-1600 sin. cos，若点C，D落在优弧MN上时，AB>MN，与题意不符，点C，D只能落在劣弧MN上，<40 sin
0)，则乙种蔬菜年产值为3k(k>0)，年总产值为y，y=4k+3k=8000k（sin. cos+ cos），令f（）= sin. cos+ cos，（）= cos - sin - sin= -2sin - sin+1，令（）=0得：sin=-1
或sin=，-1（，1）， sin=，=，若sin=，当（，）
时, （）>0，当（，）时, （）<0，函数f（）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，= f（）= sin. cos+ cos=+
=，即y=8000k=6000k为年产值的最大值，当=时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大。
3、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元。
（理）（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润。
（文）（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+-)元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润。
【解析】
【考点】①产品利润定义与性质；②求产品利润的基本方法；③函数导函数定义与性质；④函数求导法则和基本方法；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据问题条件得到关于x的不等式，求解不等式就可求出要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围；（2）设生产900千克该产品获得的利润为y元，根据问题条件得到y关于x的函数解析式，运用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出要使生产900千克该产品获得的利润最大，生产速度x的值和利润的最大值。（文）（1）每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元，生产a千克该产品d的时间为小时，就可证明生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+-)元；（2）设生产900千克该产品获得的利润为y元，根据问题条件得到y关于x的函数解析式，运用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出要使生产900千克该产品获得的利润最大，生产速度x的值和利润的最大值。
【详细解答】（理）（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，200（5x+1-）
3000，5x--140，解之得：3x10，要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3，10]；（2）设生产900千克该产品获得的利润为y元，则 y=.100（5x+1-）=9（-++5） (1x10），令函数f（x）=-++5，（x）=
-=，当x[3，6）时，（x）>0，当x[6，10]时，（x）0，函数f（x）在[3，6）上单调递增，在[6，10]上单调递减，当x[3，10]时，= f（6）=9（-++5）=9=457500（元），要使生产900千克该产品获得的利润最大，甲厂应该选取6千克/小时的生产速度，获得的最大利润为457500元。（文）（1）证明：每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元，生产a千克该产品d的时间为小时，：生产a千克该产品所获得的利润为100. （5x+1-）=100a（5+-）；（2）设生产900千克该产品获得的利润为y元，则 y=.100（5x+1-）=9（-++5） (1x10），令函数f（x）=-++5，（x）=-=，当x[3，6）时，（x）>0，当x[6，10]时，（x）0，函数f（x）在[3，6）上单调递增，在[6，10]上单调递减，当x[3，10]时，= f（6）=9（-++5）=9=457500（元），要使生产900千克该产品获得的利润最大，甲厂应该选取6千克/小时的生产速度，获得的最大利润为457500元。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数求某种收益最大值的问题，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）运用函数导函数求某种收益最大值问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②根据问题的条件选择适当的函数模型，得到相应函数的解析式； ③运用函数导函数求出该函数的最大值；④得出实际应用问题的结果。
【典例2】解答下列问题：
1、一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方长正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需要400元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
【解析】
【考点】①火车总费用定义与性质；②求火车总费用的基本方法；③函数导函数定义与性质；④函数求导法则和基本方法；⑤运用函数导函数求函数最值的基本求法。
【解题思路】设火车的速度为xkm/h，甲，乙两地之间的距离为akm,火车的总费用为y元，根据问题条件得到y关于x的函数解析式，运用函数求导法则与基本方法和运用函数导函数求函数最值的基本方法，就可求出要使火车从甲城开往乙城的总费用最少，火车的速度。
【详细解答】设火车的速度为xkm/h，甲，乙两地之间的距离为akm,火车的总费用为y元，火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方长正比，当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，40=k8000，k=，y=(+400)= a+400a（0<
x100），=-=，令=0解得：x=20，当x（0，20）时，<0，当x[20，100]时，0，函数y在（0，20）上单调递减，在[20，100]上单调递增，当x（0，100]时，只有x=20km/h时，y的值最小，当x=20km/h时，火车才能使从甲城开往乙城的总费用最少。
2、有甲，乙两个工厂，甲厂位于乙直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，
如图，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米30元和50元，问供水站建在何处才能使水管费用最少？（河宽忽略不计）
【解析】
【考点】①水管总费用定义与性质；②求水管总费用的基本方法；③函数导函数定义与性质；④函数求导法则和基本方法；⑤运用函数导函数求函数最值的基本求法。
【解题思路】如图，设点C到点D的距离为xkm，水管的总费用为y元，根据问题条件得到y关于x的函数解析式，运用函数求导法则与基本方法和运用函数导函数求函数最值的基本方法，就可求出要使水管的总费用最少，点C到点D的距离x的值。
【详细解答】如图，设点C到点D的距离为xkm，水管的总费用为y元， AC=50-x，BD=40，BC==，y=30（50-x）+50（0+，令=0解得：x=30，当x（0，30）时，<0，当x[30，50）时，0，函数y在（0，30）上单调递减，在[30，50）上单调递增，当x（0，100]时，只有x=30km时，y的值最小，供水站建在离点A20km时，才能使水管的总费用最少。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用函数导函数求某支出最小值的问题，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）运用函数导函数求某种支出最小值问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②根据问题的条件选择适当的函数模型，得到相应函数的解析式； ③运用函数导函数求出该函数的最大值；④得出实际应用问题的结果。

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