资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题训练(七)　中点四边形
　类型之一　中点四边形形状与原四边形的关系
1.我们把顺次连结任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形.已知四边形ABCD的中点四边形是正方形,则关于对角线AC与BD的关系,下列说法正确的是 (　　)
A.AC,BD相等且互相平分
B.AC,BD互相垂直平分
C.AC,BD相等且互相垂直
D.AC,BD互相垂直且平分对角
2.如图7-ZT-1,连结四边形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,只要四边形ABCD满足条件　　　　,就能保证四边形EFGH是菱形.
图7-ZT-1
3.如图7-ZT-2,顺次连结任意四边形ABCD各边的中点,所得的四边形EFGH是中点四边形.有下列四个说法:
图7-ZT-2
①中点四边形EFGH一定是平行四边形;
②当四边形ABCD是矩形时,中点四边形EFGH也是矩形;
③当中点四边形EFGH是菱形时,四边形ABCD是矩形;
④当四边形ABCD是正方形时,中点四边形EFGH也是正方形.
其中正确的是　　　　(填序号).
4.如图7-ZT-3,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB,E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.
图7-ZT-3
　类型之二　由四边形边的中点或对角线的中点或线段中点构成的中点四边形
5.如图7-ZT-4,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AC,AD,BD的中点,要使四边形EFGH是菱形,则四边形ABCD的边AB,CD应满足的条件是　　　　　　.
图7-ZT-4
6.如图7-ZT-5,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
(1)判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;
(2)当BD,AC满足什么条件时,四边形EFGH是正方形
图7-ZT-5
7.如图7-ZT-6,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求证:AD=BC;
(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.
图7-ZT-6
　类型之三　中点四边形的相关计算
8.如图7-ZT-7所示,E,F,G,H为四边形ABCD各边的中点.若对角线AC,BD的长都为20,则四边形EFGH的周长是 (　　)
图7-ZT-7
A.80 B.40 C.20 D.10
9.如图7-ZT-8,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD和DA的中点,连结EF,FG,GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是 (　　)
图7-ZT-8
A.AB=EF B.AB=2EF C.AB=EF D.AB=EF
10.(2020宁波鄞州区期末)如图7-ZT-9,在正方形ABCD中,E,F,G,H是各边的中点,连结GH,取GH的中点P,连结EP,FP,则下列说法正确的是 (　　)
图7-ZT-9
A.PE=GH
B.四边形BEPF的周长是△GDH周长的3倍
C.∠EPF=60°
D.四边形BEPF的面积是△GDH面积的3倍
11.如图7-ZT-10,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为　　　　.
图7-ZT-10
12.如图7-ZT-11,在四边形ABCD中,AC=8,BD=6,且AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2=　　　　.
图7-ZT-11
　类型之四　探究题
13.如图7-ZT-12,正方形ABCD的边长为1,顺次连结正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1,再顺次连结正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2……以此类推,则第2022个正方形A2022B2022C2022D2022的周长是　　　　.
图7-ZT-12
详解详析
1.C　[解析] 由于中点四边形是正方形,正方形的四条边相等且相邻边互相垂直,根据三角形中位线定理可证任意四边形的中点四边形都是平行四边形,所以原四边形的对角线AC,BD相等且互相垂直.故选C.
2.AC=BD　[解析] ∵顺次连结四边形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,
∴四边形EFGH为平行四边形.
根据菱形的判定,可知只要再有一组邻边相等就能说明 EFGH为菱形,∴可以添加AC=BD.故答案为AC=BD.
3.①④　[解析] 如图,连结AC,BD.
∵E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点,
∴EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,GF∥BD,
∴EF∥HG,EH∥GF,
∴四边形EFGH是平行四边形,故①正确.
若四边形ABCD是矩形,
则AC=BD.
由三角形中位线定理可得EF=AC,EH=BD,∴EF=EH,
∴ EFGH是菱形,故②错误.
若四边形EFGH是菱形,则AC=BD,
但四边形ABCD不一定是矩形,故③错误.
若四边形ABCD是正方形,
则AC=BD,AC⊥BD,
可得EF=EH,EF⊥EH,
∴四边形EFGH是正方形,故④正确.
∴正确的说法是①④.
4.证明:如图,连结AC,BD交于点O.
∵E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点,
∴EF∥BD∥GH,EH∥AC∥FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵AD=CD,AB=CB,
∴点D,B都在线段AC的垂直平分线上,
∴DB垂直平分AC.
∵EF∥BD,∴EF⊥AC.
∵FG∥AC,∴EF⊥FG,
∴ EFGH是矩形.
5.AB=CD
6.解:(1)四边形EFGH是平行四边形.
证明:∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF∥AC,且EF=AC.
同理可得HG∥AC,且HG=AC,
∴EF∥HG,且EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)当BD=AC且BD⊥AC时,四边形EFGH是正方形.
7.证明:(1)如图,延长DC至点K,使CK=AB,连结BK.
又∵AB∥CK,∴四边形ABKC是平行四边形,
∴AC=BK,AC∥BK,∴∠ACD=∠K.
∵BD=AC,∴BD=BK,
∴∠BDC=∠K,∴∠ACD=∠BDC.
在△ACD和△BDC中,
∵
∴△ACD≌△BDC(SAS),∴AD=BC.
(2)如图,连结EH,HF,FG和GE.
∵E,H分别是AB,BD的中点,
∴EH为△ABD的中位线,
∴EH=AD.
同理GF=AD,EG=BC,HF=BC.
由(1)知AD=BC,∴EH=HF=GF=EG,
∴四边形EHFG是菱形,
∴线段EF与线段GH互相垂直平分.
8.B　[解析] ∵E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点,
∴HG=AC=EF,GF=BD=HE,
∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE=(AC+AC+BD+BD)=×(20+20+20+20)=40.
9.D　[解析] 如图,连结AC,BD交于点O.
∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴EF=AC.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AO=AC,AC⊥B D,
∴EF=AO.
同理EH=BO.
∵EH=2EF,∴BO=2AO.
在Rt△ABO中,设AO=x,则BO=2x,
∴AB==x=AO,
∴AB=EF.故选D.
10.D　[解析] 如图,连结AC,BD,EH,EF,FG.
∵E,F,G,H是正方形ABCD各边的中点,
∴EF∥AC,EF=AC,HG∥AC,HG=AC,EH∥BD,EH=BD,
∴EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵在正方形ABCD中,AC=BD,AC⊥BD,
∴EF=EH,EF⊥EH,
∴四边形EFGH是正方形,
∴∠EHP=∠FGP=90°.
∵P是GH的中点,
∴HP=PG=HG.
设EH=HG=EF=FG=2x,
则HP=PG=x,
∴PE=PF=x,
∴PE=GH,故A错误;
∵E,F,G,H是正方形各边的中点,
∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH,∠BAD=90°,
∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH=x,
∴四边形BEPF的周长=(2+2)x,△GDH的周长=(2+2)x.
∵3×(2+2)x≠(2+2)x,故B错误;
若∠EPF=60°,则由PE=PF可得△PEF为等边三角形,
∴EF=PE=x.
而EF=2x≠x,
∴∠EPF≠60°,故C错误;
∵AC⊥BD,EF∥AC,HG∥AC,
∴BD⊥EF,BD⊥HG.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD==4x.
∵PD==x,
∴BP=BD-PD=3x=3PD,
∴四边形BEPF的面积=EF·PB=EF·PD,而△GDH的面积=HG·PD=EF·PD,
∴四边形BEPF的面积是△GDH面积的3倍,故D正确.
故选D.
11.12　[解析] ∵E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点,
∴HE=AC=4,HE∥AC,GF∥AC,
∴HE∥GF.同理,HG∥EF,HG=BD=3,
∴四边形EFGH是平行四边形.
由AC⊥BD,易得∠EHG=90°,
∴ EFGH是矩形,
∴矩形EFGH的面积=HE·HG=4×3=12.
12.50　[解析] 如图,连结HG,EH,EF,FG.
∵E,H分别是AB,DA的中点,∴HE∥BD,HE=BD.
同理,FG∥BD,FG=BD,
∴HE∥FG,HE=FG=BD=3,
∴四边形HEFG是平行四边形.
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF∥AC,EF=AC=4.
由AC⊥BD,易得EF⊥HE,
∴四边形HEFG为矩形,
∴EG2+FH2=EF2+FG2+EF2+HE2=50.
13.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑