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第四单元 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。
4、分数与除法：A÷B=（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5=
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如： =10÷5=2 =21÷5=4（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：把2化成分母是4的假分数;2= 2×4=8 （8作分子）（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：5= 5×5+1=2（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：1=====…==…
7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如：=10、最简分数;分子分母互质的分数叫做最简分数。
分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（最简真分数、最简假分数）
11、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：
和 可以化成和
12、分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100…… 能约分的要约分 如：0.3= 0.03= 0.003=
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……如：=0.3
==0.6 ==0.25
方法二：用分子÷分母 ，分子除以分母，除不尽的取近似值 如：=3÷4=0.75
（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2=2+0.3=2.3
13、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
14、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。
=
考点1：分数的意义和读写
【典例分析01】（2021秋 湖北期末）一袋苹果有10个，贝贝吃了这袋苹果的，贝贝吃了（　　）个苹果。
A．2 B．4 C．5
【思路引导】根据题意，把10个苹果平均分成5份，那么其中的1份有2个苹果，那么1其中的2份就有4个苹果，据此选择。
【完整解答】解：10÷5＝2（个）
2×2＝4（个）
答：贝贝吃了4个苹果。
故选：B。
【考察注意点】解答此题的关键是理解10个苹果平均分成了几份，每份有2个。
【典例分析02】（2021秋 惠州期末）一根圆棒的是，这根圆棒是下面三根中的第（　　）根。
A． B．
C．
【思路引导】把一个圆棒的长度看作单位“1”，把它平均分成3份。每份是它的。这根圆棒的是，这根圆棒的长度相当于它的3倍。
【完整解答】解：如图：
一根圆棒的是，这根圆棒是下面三根中的第三根。
故选：C。
【考察注意点】此题是考查分数的意义。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
【变式训练01】（2021秋 辉县市期末）下面图形的涂色部分可以用表示的是（　　）
A． B． C．
【思路引导】把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示，据此可知图一不是平均分，不能用分数表示；图二是把圆形平均分成4份，涂色部分占1份就用分数表示；图三是把图形平均分成5份，涂色占1份就用分数表示，据此解答。
【完整解答】解：图一不是平均分，不能用分数表示；图二是把圆形平均分成4份，涂色部分占1份就用分数表示；图三是把图形平均分成5份，涂色占1份就用分数表示。
故选：B。
【考察注意点】解答此题的关键是观察图形是否是把图形进行平均分。
【变式训练02】（2021秋 福州期末）小鼓和小楼同时从家出发，向对方家里走。如图表示的是1分钟后他们所在的位置。
（1）1分钟后，小鼓和小楼共走了全程的几分之几？
（2）剩下的路程占全程的几分之几？
【思路引导】（1）由图可知，把小鼓和小楼家的距离看作单位“1”，把它平均分成12份，1分钟后，小鼓和小楼分别走了2份和3份，即分别走了全程的和，把小鼓和小楼分别走了全程的和相加即可解答；
（2）用“1”减去小鼓和小楼共走了全程的几分之几，就是剩下的路程占全程的几分之几。
【完整解答】解：（1）+＝
答：小鼓和小楼共走了全程的。
（2）1﹣＝
答：剩下的路程占全程的。
【考察注意点】本题主要考查分数的意义以及分数减法的应用。
考点2：真分数、假分数和带分数
【典例分析03】（2021秋 凌河区期末）如图，在上面的括号里填上适当的假分数，在下面的括号里填上适当的带分数。
【思路引导】在数轴上，把一个单位长看作单位“1”，把它平均分成5份，每份表示，7份就是，13份就是，写成带分数是2，3是15份，也就是，16份是，也就是3。
【完整解答】解：
【考察注意点】此题是考查分数的意义．把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数，注意带分数和假分数之间的关系。
【典例分析04】（2021春 岳池县期中）分母是7的假分数有无数个，而真分数只有6个。　√　（判断对错）
【思路引导】根据假分数的意义，分子大于或等于分母的分数是假分数，分母是7的假分数的分子是7、8、9……有无数个；根据真分数的意义，分子小于分母的分数是真分数，分母是7的真分数的分子是1、2、3、4、5、6共6个。
【完整解答】解：分母是7的假分数有无数个，而真分数只有6个。
原题说法正确。
故答案为：√。
【考察注意点】解答此题的依据是真、假分数的意义。
【变式训练03】（2021春 辉县市期中）按要求把分数填在相应的方框里。
、、、、、、、
【思路引导】分子比分母小的分数叫真分数，分子大于或等于分母的分数叫假分数，据此把分数填入框内。
【完整解答】解：
【考察注意点】此题重点考查真分数和假分数的意义。
【变式训练04】（2021春 灵宝市期中）请在直线的上面填上真分数或假分数，下面填上带分数。
【思路引导】根据图片可以看出把1平均分成5份，每一小格代表。带分数是假分数的另外—种形式；大于或等于1的分数，即分子大于分母或分子和分母相同的分数为假分数，假分数转换为带分数，用分子除以分母，商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分子，除数作为带分数的分母。
【完整解答】解：
【考察注意点】确定1平均分成的份数，掌握真分数、假分数、带分数的意义和假分数与带分数的互化是解题的关键。
考点3：整数、假分数和带分数的互化
【典例分析05】（2021春 温县期末）一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数．　√　（判断对错）
【思路引导】假分数化带分数或整数的方法是用分子除以分母，商为整数部分，余数作分子．即一个假分数的分子除以分母如果没有余数，也就是分子能被分母整除，这样的假分数能化成整数；如果分子除以分母有余数，余数作带分数的分子，分母不变，因此，一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数．
【完整解答】解：一 个假分数的分子除以分母如果没有余数，也就是分子能被分母整除，这样的假分数能化成整数，如果分子除以分母有余数，余数作带分数的分子，分母不变，就能化成假分数，
因此，一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数．
故答案为：√．
【考察注意点】根据假分数化带分数或整数的方法即可判定，一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数．
【典例分析06】（2017秋 大东区期末）12÷9＝＝1。 　√　（判断对错）
【思路引导】根据除法和分数的关系，12÷9＝，化简为＝，再把假分数化成带分数；即可判断。
【完整解答】解：12÷9＝＝＝＝1
所以原题计算正确。
故答案为：√。
【考察注意点】此题考查了除法和分数的关系，假分数和带分数的转化。
【变式训练05】（2020秋 惠阳区期末）
1＝ ＝3 5＝ ＝4
【思路引导】
将带分数化为假分数：分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子；将带分数化为整数：被除数÷除数＝，除得尽的为整数；将假分数化为带分数：分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边整数部分，余数作分子，据此计算解答。
【完整解答】解：1＝＝
3＝＝
5＝＝
14÷3＝4.....2
故答案为：8，29，30，2。
【考察注意点】本题考查了整数、假分数和带分数的互化。
【变式训练06】（2021春 天门期中）把假分数化成整数或带分数．
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
【思路引导】假分数化整数或带分数的方法是用分子除以分母，商为整数部分，余数作分子，分母不变．
【完整解答】解：＝3；
＝4；
＝5；
＝11；
＝12．
【考察注意点】此题是考查假分数化整数或带分数，属于基础知识，要掌握．
考点4：小数与分数的互化
【典例分析07】（2021秋 金牛区期末）在0.、、0.67这三个数中，最大的数是 　　，最小的数是 　　。
【思路引导】把分数化成小数，再根据小数大小比较的方法比较即可。
【完整解答】解：＝0.666……
＝0.676767……
所以0.666……＜0.67＜0.676767……
即＜0.67＜
答：最大的数是，最小的数是。
故答案为：，。
【考察注意点】本题主要考查分数、小数的互化以及小数大小的比，关键是把分数化成小数，再比较。
【典例分析08】（2021 海曙区）有3个真分数：、、在这三个数中，　　一定是最简真分数； 　　一定能化成有限小数。
【思路引导】最简真分数的意义：分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最真简分数。一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数。的分子a是5，则就不是最简分数，的分子b是2，则不是最简分数，的分子c是小于19的数，小于19的数和19都是互质数，所以一定是最简分数；在这三个数中，50的质因数只有2和5，所以一定能化成有限小数。
【完整解答】解：由分析可得，3个真分数：、、在这三个数中，一定是最简真分数；一定能化成有限小数。
故答案为：；。
【考察注意点】本题考查了最简真分数的意义和什么样的分数可以化成有限小数。
【变式训练07】（2021春 崆峒区期末）2021年6月17日9时22分，神舟十二号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道，顺利将3名航天员送上太空。李阿姨和张叔叔打同样一篇航天知识稿子，谁打字快一些？
【思路引导】李阿姨、张叔叔的工作效率（即每秒打字的个数）已知，通过比较，即可确定谁打字快一些。
【完整解答】解：0.9＝＝
＝
＞
答：李阿姨打字快一些。
【考察注意点】此题是考查小数化分数、分数的大小比较。
【变式训练08】（2021秋 泉港区期末）　3　÷　4　＝＝＝　0.75　（填小数）
【思路引导】根据分数与除法的关系，＝3÷4，再根据分数的基本性质，的分子、分母都乘8就是；3÷4＝0.75。
【完整解答】解：3÷4＝＝＝0.75（填小数）
故答案为：3，4，，0.75。
【考察注意点】此题主要是考查除法、小数、分数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
考点5：求几个数的最大公因数的方法
【典例分析09】（2021秋 凤翔县期末）如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（　　）
A．m B．9 C．n D．mn
【思路引导】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。据此解答即可。
【完整解答】解：因为m＝9n（m和n都是不为0的整数），即m是n的9倍，所以m和n的最大公因数是n。
故选：C。
【考察注意点】熟练掌握为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数是解题的关键。
【典例分析10】（2020秋 平桂区 期末）有三根木棒，长分别是12cm、36cm、44cm，要把它们截成同样长的小棒而没有剩余，每根小棒最长能有 　4　厘米。
【思路引导】把它们截成同样长的小棒而没有剩余，求每根小棒最长是多少厘米，就是求12、36、44的最大公因数，据此解答即可。
【完整解答】解：12＝2×2×3
36＝2×2×3×3
44＝2×2×11
所以12、36、44的最大公因数是2×2＝4。
答：每根小棒最长能有4厘米。
故答案为：4。
【考察注意点】先把要求的数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
【变式训练09】（2019春 荥阳市期末）李奶奶买芒果花了16元，王奶奶买芒果花了24元．如果她们买的芒果的单价是一样的，那么这种芒果的单价最高是多少元？写出思考过程．（她们购买芒果的单价和数量都是整数）
【思路引导】本题实质上是求16和24这两个数的最大公因数，也就是这两个数的公有质因数的连乘积．
【完整解答】解：实质上是求16和24这两个数的最大公因数，
16＝2×2×2×2
24＝2×2×2×3
故16和24的最大公因数是2×2×2＝8
答：这种芒果的单价最高是8元．
【考察注意点】考查了求几个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答．
【变式训练10】（2019春
成武县期末）有一张长方形纸，长24厘米，宽16厘米，如果要剪成若干个同样大小的正方形纸而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？一共可以剪多少个这样大小的正方形纸？
【思路引导】根据题意，剪成的正方形边长最大是多少，是求24和16的最大公因数，求至少可以剪成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．
【完整解答】解：24＝2×2×2×3，
16＝2×2×2×2；
24和16的最大公因数是2×2×2＝8；
24×16÷（8×8），
＝24×16÷64，
＝6（个）；
答：裁成的正方形边长最大是8厘米，一共可以剪6个这样的正方形．
【考察注意点】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
考点6：几个数的最小公倍数的方法
【典例分析11】（2021秋 乳源县期末）一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，这袋糖最少有（　　）颗。
A．30 B．60 C．120
【思路引导】一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余可知，这袋糖最少的颗数是4、5、6的最小公倍数，据此解答。
【完整解答】解：4和5的最小公倍数是4×5＝20
20＝2×2×5
6＝2×3
所以20和6的最小公倍数是2×2×3×5＝60
答：这袋糖最少有60颗。
故选：B。
【考察注意点】此题考查了最小公倍数的应用，求三个数的最小公倍数，先求出其中两个数的最小公倍数，再和第三个数求最小公倍数。
【典例分析12】（2021秋 郑州期末）下列哪一组最小公倍数是正确的（　　）
A．7和14的最小公倍数是28
B．15和20的最小公倍数是60
C．5和7的最小公倍数是70
【思路引导】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。
【完整解答】解：A.14是7的2倍，所以7和14的最小公倍数是14，原题说法错误；
B.15＝3×5，20＝2×2×5，所以15和20的最小公倍数是2×2×3×5＝60，所以原题说法错误；
C.5和7的最小公倍数是5×7＝35，所以原题说法错误。
故选：B。
【考察注意点】熟练掌握求两个数最小公倍数的方法是解题的关键。
【变式训练101（（2021秋 灌阳县期末）24和18的最大公因数是 　6　；6和9的最小公倍数是 　18　。
【思路引导】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
【完整解答】解：24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
所以24和18的最大公因数是2×3＝6；
6＝2×3
9＝3×3
所以6和9的最小公倍数是2×3×3＝18。
故答案为：6；18。
【考察注意点】熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。
【变式训练12】（（2021秋 大洼区期末）箱子里装有同样数量的排球和篮球．每次取出5个排球和3个篮球，取了几次后，排球没有了，篮球还剩6个，一共取了几次？原来排球和篮球各有多少个？
【思路引导】设取出x次，根据“每次取出的个数×次数＝球的个数”分别求出取出排球的个数和取出篮球的个数，进而根据“取出篮球的个数+6＝取出排球的个数“列出方程，求出取出的次数，进而用“每次取出排球的个数×取出的次数”求出结论．
【完整解答】解：设取出x次，根据题意可知：
5x﹣3x＝6，
2x＝6，
x＝3；
5×3＝15（个），或3×3+6＝15（个）；
答：一共取了3次，原来排球和篮球各有15个．
【考察注意点】解答此题的关键是：设取出的次数为未知数，进而找出数量间的相等关系式，然后根据关系式，列出方程，解答求出取出的次数．
考点7：单位“1”的认识及确定
【典例分析13】（2021秋 磐石市期末）“五（一）班女生人数是全班人数的。”这句话中把 　五（一）班全班总人数　看作单位“1”，数量关系式是：　五（一）班全班总人数　×　　＝女生人数。
【思路引导】根据题意，把全班人数平均分成5份，其中的3份就表示女生人数，因此全班人数为单位“1”，利用全班人数×＝女生人数。
【完整解答】解：把五（一）班全班总人数平均分成5份，女生人数占全班人数的，因此五（一）班全班总人数为单位“1”。
五（一）班全班总人数×＝女生人数。
故答案为：五（一）班全班总人数，五（一）班全班总人数×＝女生人数。
【考察注意点】在确定单位“1”，一般“是谁、占谁”谁是单位“1”。
【典例分析14】（（2019 保定模拟）解答题
（1）六（1）班女生人数是全班人数的．
（2）一筐苹果的质量相当于一筐梨质量的．
上面两句话中，每句话均有两个量，把哪个量看作是单位“1”；相对应的量又叫什么呢？
【思路引导】（1）六（1）班女生人数是全班人数的，是把女生人数与全班人数相比较，是把全班人数平均分成7份，女生人数占3份．因此，此句中全班人数就是单位“1”，也是标准量，女生人数与单位“1”相比较，叫做比较量，女生人数占全班人数的．
（2）一筐苹果和一筐梨的质量相比较，一筐梨的质量是单位“1”
，一筐苹果的质量是比较量，苹果的质量是梨的质量的．
【完整解答】解：（1）六（1）班女生人数是全班人数的，全班人数就是单位“1”，也是标准量，女生人数与单位“1”相比较，叫做比较量．
（2）一筐苹果和一筐梨的质量相比较，一筐梨的质量是单位“1”，一筐苹果的质量是比较量，苹果的质量是梨的质量的．
【考察注意点】此题主要考查了单位“1”的确定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通常把“的”前面的量以及“是”、“比”、“占”、“相当于”等后面的量看作单位“1”．
【变式训练13】（2021秋 镇平县月考）男生比女生人数多，这里是把 　女生人数　看作单位“1”，男生人数是女生人数的，女生人数比男生人数少。
【思路引导】通常把“的”前面的量以及“是”、“比”、“占”、“相当于”等后面的量看作单位“1”，根据题意可知，女生人数为单位“1”有5份，男生比女生多1份就是5+1＝6份，求男生人数是女生的几分之几，用男生人数除以女生人数；求女生人数比男生人数少几分之几，用男生人数减女生人数再除以男生人数即可。据此解答。
【完整解答】解：男生比女生人数多，这里是把女生人数看作单位“1”，女生有5份，男生比女生多1份就是5+1＝6份，男生人数是女生人数的，女生人数比男生人数少＝。
故答案为：女生人数，，。
【考察注意点】解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可。
【变式训练14】（2021秋 海安市期末）根据“男生人数比女生人数多”这句话，可以得到以下结论。
（1）单位“1”的量是 　女生人数　。
（2）　女生人数　×＝　男生比女生多的人数　。
（3）男生人数与女生人数的比是 　4：3　，女生人数比男生人数少。
【思路引导】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”；把女生人数看作单位“1”，则男生人数是（1+
），然后通过计算即可对各题进行解答。
【完整解答】解：（1）单位“1”的量是女生人数。
（2）女生人数×＝男生比女生多的人数。
（3）男生人数比女生人数多，则男生人数是：（1+），
则男生人数与女生人数的比是：（1+）：1＝：1＝4：3，
女生人数比男生人数少：
÷（1+）
＝（﹣1）÷
＝×
＝
故答案为：女生人数；女生人数，男生比女生多的人数；4：3，。
【考察注意点】解答此题的关键是找单位“1”，进一步发现是单位“1”的几分之几，以及比单位“1”多或少几分之几，由此解决问题。
考点8：分数的基本性质
【典例分析15】（2021秋 沙河口区期末）根据分数的基本性质，和（　　）大小相等。
A． B． C． D．
【思路引导】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，据此性质看看选项中的分数
【完整解答】解：，是把分子和分母都加上4，不符合分数的基本性质；
是把分子加6也就是乘4，分母加9也就是乘4，符合分数的基本性质；
是把分子加4，也就是乘3，那么分母也要乘3，分数的大小不变，而原题分子乘2，分数的大小变了；
是把分子加4，也就是乘3，那么分母也要乘3，分数的
大小才不变，而原题分母乘4，分数的大小变了。
故选：B。
【考察注意点】本题主要考查分数的基本性质，根据这一性质解答即可。
【典例分析16】（2021春 崆峒区期末）把下面的分数化成分母是10而大小不变的分数。
　　 　　 　　 　　 　　
【思路引导】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。据此做题。
【完整解答】解：
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
故答案为：；；；；。
【考察注意点】本题主要考查分数的基本性质的应用。
【变式训练15】（（2021秋 邛崃市期末）＝＝
【思路引导】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，据此解答。
【完整解答】解：＝＝
＝
故答案为：4，12。
【考察注意点】本题主要考查分数的基本性质，根据这一性质解答即可。
【变式训练16】（（2021秋 沙河口区期末）涂一涂，填一填，说明分数的基本性质。
【思路引导】先把长方形平均分成16份，涂其中的8份，就用分数表示；把长方形平均分成8份，涂其中的4份，就用分数表示；把长方形平均分成4份，涂其中的2份就用表示，通过涂色发现，这三个阴影都占长方形面积的
，都是把分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小没有变，这叫做分数的基本性质。
【完整解答】解：如图：
，分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
【考察注意点】本题考查了分数的基本性质的推理。
考点9：最简分数
【典例分析17】（2021秋 开化县期末）在、、、、这些分数中，最简分数有几个？大小相等的分数有几个？下列选项正确的是（　　）
A．3，2 B．1，3 C．1，4 D．2，3
【思路引导】分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最简分数，利用分数的基本性质把分子和分母同时除以一个相同的数，据此把不是最简的分数进行约分求出最简分数再比较大小。
【完整解答】解：＝＝
＝＝
＝＝
和是最简分数，，，这三个分数的大小相等。
故选：D。
【考察注意点】本题考查了最简分数的意义及分数的基本性质的应用。
【典例分析18】（2020秋 广东期末）把下列分数化成最简分数。
【思路引导】根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数，根据分数的基本性质，把分数的分子和分母分别除以它们的最大公因数，据此解答。
【完整解答】解：＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
【考察注意点】此题考查的目的是理解最简分数的意义，掌握分数的基本性质及应用。
【变式训练17】（2021秋 渭滨区期末）的分子和分母的最大公因数是　4　，化成最简分数是．
【思路引导】首先求出8、12的最大公因数是多少；然后用该分数的分子、分母同时除以它们的最大公因数，把这个分数化成最简分数即可．
【完整解答】解：因为8＝2×2×2，
12＝2×2×3
所以8和12的最大公因数是2×2＝4
答：的分子和分母的最大公因数是 4，化成最简分数是．
故答案为：4；．
【考察注意点】本题主要是考查最简分数的意义及化法．分子、分母只有公因数1的分数就是最简分数；化简分数时，根据分数的基本性质，分子、分母都除以它们的最大公因数．
【变式训练18】（2020秋 肇源县期末）一个最简真分数，分子与分母的和是12，求这个最简分数．
【思路引导】最简真分数：是指分子小于分母且分子和分母是互质数的分数；再根据分子与分母的和是12，12可以分成11和1、10和2、9和3、8和4、7和5、6和6，所以符合条件的最简真分数是和；据此进行解答．
【完整解答】解：因为12可以分成11和1、10和2、9和3、8和4、7和5、6和6，
所以符合条件的最简真分数是和．
故答案为：和．
【考察注意点】解决此题关键是理解最简真分数的意义，再想12可分成哪两个数，进而问题得解．
考点10：约分
【典例分析19】（2021春 灵石县期末）下面每组中两个分数相等的是（　　）。
A．和 B．和 C．和
【思路引导】利用分数的基本性质把不是最简的分数进行约分或通分，把选项中的两个分数化成同分母的分数，然后比较即可。
【完整解答】解：A.，，不相等；
B.＝，，通过约分发现，这两个数相等；
C.，，不相等。
故选：B。
【考察注意点】本题考查了分数的基本性质的应用。
【典例分析20】（2021 安源区）有一个分数约分成最简分数是，约分前的分子与分母的差是21，约分前的分数是 　　。
【思路引导】根据题意，可知要分配的总量是约分前分子与分母的差21，是按照分子和分母的比为5：12进行分配的，先求出分子和分母相差的份数，再根据差÷相差的份数＝每份是多少，最后分别求得约分前的分子和分母，进而写出分数得解。
【完整解答】解：12﹣5＝7
21÷7＝3
3×5＝15
3×12＝36
答：约分前的分数是。
故答案为：。
【考察注意点】此题属于比的应用按比例分配，关键是先求出每一份是多少。
【变式训练19】（（2020春
青龙县期中）把一个分数约分，用3约了一次，用5约了一次，得到最简分数是，原来这个分数是　　。
【思路引导】根据分数的性质，把现在的最简分数的分子和分母同时乘上5、3，即可求出这个分数原来是多少．
【完整解答】解：分子：2×5×3＝30
分母：3×5×3＝45
答：原来这个分数是。
故答案为：。
【考察注意点】本题需要根据分数的基本性质，从化简的结果向前推，原来除以的数就变成乘这个数。
【变式训练20】（（2021春 固始县期中）圈出下面的最简真分数并把其余的分数约分，是假分数的化成带分数。
、、、、。
【思路引导】真分数是分子小于分母的分数，最简分数是分子和分母只有公因数1的分数，据此找出最简真分数后，然后根据分数的基本性质将非最简分数约分化成最简分数即可；假分数化带分数或整数时，用分子除以分母，商为带分数的整数部分（或整数。当分子为分母的倍数时，这样的假分数能化成整数），余数作分子，分母不变。
【完整解答】解：
＝＝
＝
＝
＝1
【考察注意点】分数的基本性质为：分数的分子与分母同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变；假分数化带分数或整数，属于基础知识，要掌握。
考点11：通分
【典例分析21】（2015春 薛城区校级期末）把和通分，用（　　）作公分母比较简便．
A．12 B．24 C．36
【思路引导】根据通分的意义和通分的方法：把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分．通分时先求出两个分母的最小公倍数，用它作公分母比较简便．
【完整解答】解：4＝2×2
6＝2×3
所以4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12，
故选：A．
【考察注意点】此题考查的目的是让学生理解通分的意义，掌握通分的方法．
【典例分析22】（2019 防城港模拟）和通分时可以用　60　作公分母，也可以用　120　作公分母，但用　60　作公分母通分时会容易计算一些．
【思路引导】15和20的最小公倍数是60，所以和通分时可以用60作公分母，也可以用120作公分母，但用60作公分母通分时会容易计算一些．
【完整解答】解：因为15＝3×5，20＝2×2×5，
所以15和20的最小公倍数是：
2×2×3×5＝60，
所以和通分时可以用60作公分母，也可以用120作公分母，但用60作公分母通分时会容易计算一些．
故答案为：60、120、60．（第二个空的答案不唯一）
【考察注意点】此题主要考查了通分的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通分是使两个分数的分母相同但不改变原数大小的过程．先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数．
【变式训练21】（2017春 漳平市校级期末）约分与通分的依据是分数的　基本性质　．两个数的最大公因数是3，最小公倍数是18，其中一个数是9，另一个数是　6　
【思路引导】（1）约分是根据分数的基本性质把分数的分子和分母同时除以分子分母的公因数，把分数化成分子分母是互质数的最简分数；
（2）求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先用18除以9得到另一个数的独有因数，然后用最大公因数3乘另一个数的独有因数，即可得解．
【完整解答】解：（1）约分与通分的依据是分数的基本性质．
（2）18÷9＝2
3×2＝6
答：另一个数是6．
故答案为：基本性质，6．
【考察注意点】已知两个数的最大公因数和最小公倍数，又知道其中一个数，求另一个数，可以先求出这个数的独有因数，用两个数的最小公倍数÷已知的一个数，然后独有因数乘最大公因数，即为所要求的另一个数．
【变式训练22】（2021秋 通渭县期末）先通分，再比较大小．
和
1和
、和
【思路引导】（1）找到10和12的最小公倍数，利用分数的基本性质进行通分，再比较分数的大小；
（2）找到9和18的最小公倍数，利用分数的基本性质进行通分，再比较分数的大小或直接根据整数部分的大小关系确定分数的大小，即假分数大于真分数；
（3）找到4，6和8的最小公倍数，利用分数的基本性质进行通分，再比较分数的大小．
【完整解答】解：（1）因为＝，＝，
＞，
所以＞；
（2）因为1＝，＝，
＞，
所以1＞；
（3）因为＝，＝，＝，
＜＜，
所以＜＜．
【考察注意点】根据通分的意义和方法：把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分．再根据同分母分数大小比较的方法，分子大的分数就大．由此解答
基础练
一．选择题
1．（2021秋 雁塔区期末）把一张正方形纸对折3次后展开，其中的3份是这张纸的（　　）
A． B． C． D．
【思路引导】把一张正方形纸对折一次，是把正方形平均分成2份，每一份就用表示，若对折2次就是把正方形平均分成4份，每一份就用表示；对折3次，就是把正方形平均分成8份，每一份就用表示，3份就是，据此解答。
【完整解答】解：对折3次，就是把正方形平均分成8份，每一份就用表示，3份就是。
故选：B。
【考察注意点】本题考查了利用图示理解分数的意义。
2．（2021秋 房县期末）一堆煤分两次运完，第一次运吨，第二次运，则（　　）
A．第一次运的多 B．第二次运的多
C．无法确定
【思路引导】根据题意，一堆煤分两次运完，第二次运走
，说明把这堆煤平均分成3份，其中的1份表示运走的，剩下的2份也就是第一次运走这堆煤的，是吨，通过比较发现第一次运走的多。
【完整解答】解：第一次运走：1﹣＝
，所以第一次运走的多。
故选：A。
【考察注意点】此题重在区分分数在具体的题目中的区别：在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几。
3．（2021秋 寿宁县期末）下面四个选项中，不正确的是（　　）
A．把一张正方形纸对折再对折，然后展开，其中一份是这个正方形纸的
B．把一个苹果分成5份，每份是这个苹果的
C．5000克油和5千克水相比，一样重
D．﹣指的是6个﹣减去2个，剩4个，也就是
【思路引导】A、把一张正方形纸的面积看作一个整体，把它对折再对折，这张正方形纸被平均分成4份，每份是它的；
B、把一个苹果平均分成5份，每份是这个苹果的；
C、5000克＝5千克，5000克油和5千克水相比，一样重；
D、是6个，是2个，﹣，就是6个减去2个，剩4个，即。
【完整解答】解：A、把一张正方形纸对折再对折，然后展开，其中一份是这个正方形纸的。原题说法正确；
B、把一个苹果平均分成5份，每份是这个苹果的。原题说法错误；
C、5000克油和5千克水相比，一样重。原题说法正确；
D、﹣指的是6个﹣减去2个，剩4个，也就是。原题说法正确。
故选：B。
【考察注意点】此题考查的知识点：分数的意义、质量的单位换算、分数减法的计算法则等。
二．填空题
4．（2021秋 玉溪期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
　＜　 1分米 　＜　100厘米 1时50分 　＞　100分
　＞　 308+425 　＜　800 6000克+7千克 　＝　13千克
【思路引导】分母相同的分数，分子大的分数大；把分米化成厘米，再比较大小；根据时与分的进率，把时化成分，再比较大小；分子相同的分数，分母大的反而小；计算出横线左边算式的结果，再和右边比较大小；根据千克与克间的进率，把横线两边都化成克，再比较大小。
【完整解答】解：因为2＜4
所以＜
因为1分米＝10厘米
10厘米＜100厘米
所以1分米＜100厘米
因为1时50分＝110分
110分＞100分
所以1时50分＞100分
因为6＜9
所以＞
因为308+425＝733
733＜800
所以308+425＜800
因为6000克+7千克＝13000克
13千克＝13000克
所以6000克+7千克＝13千克
＜ 1分米＜100厘米 1时50分＞100分
＞ 308+425＜800 6000克+7千克＝13千克
故答案为：＜，＜，＞，＞，＜，＝。
【考察注意点】本题考查了同分母分数比较大小的方法、分米和厘米间的进率、时与分的进率、同分子分数比较大小的方法、千以内加法的计算方法以及千克与克间的进率。
5．（2021秋 永川区期末）用分数表示下面各图的涂色部分。
　　；　　；
　　；　　。
【思路引导】把一个圆的面积看作一个整体，把它平均分成4份，每份是它的，其中1份涂色，表示；
把一个五边形的面积看作一个整体，把它平均分成5份，每分是它的，其中2份涂色，表示；
把一个等腰梯形的面积看作一个整体，把它平均分成7份，每份是它的，其中4份涂色，表示；
把这个图形的面积看作一个整体，把它平均分成9份，每份是它的，其中4份涂色，表示。
【完整解答】解：
；；
；。
故答案为：，，，。
【考察注意点】此题是考查分数的意义。把一个整体平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
6．（2021秋 新田县期末）把5米长的木条锯成相等的小段，锯6次，每段占全长的 　　，每段长 　　米。
【思路引导】把这根木条的长度看作单位“1”，锯6次，被平均锯成了（6+1）小段，求每段占全长的几分之几，用1除以（6+1），求每段长，用这根木条的长度除以（6+1）。
【完整解答】解：6+1＝7（段）
1÷7＝
5÷7＝（米）
答：每段占全长的，每段长米。
故答案为：，。
【考察注意点】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”及锯成的段数。求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量。注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。
7．（2021秋 兖州区期末）（如图）涂色部分用分数表示是 　　，用小数表示是 　0.625　，用百分数表示是 　62.5%　。
【思路引导】把一个圆的面积看作单位“1”，把它平均分成8份，每份是它的，其中5份涂色，表示；把化成小数是5÷8＝0.625；把0.625的小数点向右移动两位添上百分号就是62.5%。
【完整解答】解：如图：
涂色部分用分数表示是，用小数表示是0.625，用百分数表示是62.5%。
故答案为：，0.625，62.5%。
【考察注意点】此题主要考查了分数的意义及分数、小数、百分数之间的关系及转化。
三．判断题
8．（2021秋 三水区期末）甲的与乙的相等，甲数大于乙数。（甲、乙都不等于0）　×　（判断对错）
【思路引导】两个非0的因数相乘的积相等，一个因数越大，另一个因数越小，据此解答。
【完整解答】解：甲×＝乙×
因为
所以甲数小于乙数。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【考察注意点】也可用赋值法解答，因为甲、乙都不等于0，假设甲×＝乙×＝1，分别求出甲、乙两数的值，再比较大小。
9．（2021秋 怀安县期末）甲数的和乙数的25%相等（甲数、乙数都不为0），则甲数大于乙数。 　√　（判断对错）
【思路引导】甲数的和乙数的25%相等（甲数、乙数都不为0），即甲数×＝乙数×25%，根据两个非0的因数相乘的积相等，一个因数越大，另一个因数越小进行解答即可。
【完整解答】解：甲数×＝乙数×25%
因为25%＝
所以甲数＞乙数
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考察注意点】明确两个非0的因数相乘的积相等，一个因数越大，另一个因数越小是解题的关键。
10．（2021秋 城区期末）淘气和笑笑分别向希望工程捐了自己零花钱的，他俩捐的一样多。 　×　（判断对错）
【思路引导】如果淘气、笑笑自己的零花钱数一样多，他俩分别向希望工程捐了自己零花钱的
，他俩捐的一样多。在不知淘气、笑笑自己的零花钱数是否一样多的情况下，无法确定他俩捐的是否一样多。
【完整解答】解：当淘气、笑笑自己的零花钱数一样多时，他俩分别向希望工程捐了自己零花钱的，他俩捐的一样多；
当淘气、笑笑自己的零花钱数不一样多时，他俩分别向希望工程捐了自己零花钱的，他俩捐的不一样多。
原题说法错误。
故答案为：×。
【考察注意点】在这里是一个分率，它的多少由单位“1”决定，即只有确定了单位“1”，才能确定其大小。
四．计算题
11．（2021秋 泾阳县期末）把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。
＝ ＝ ＝ ＝
【思路引导】假分数化成整数或带分数，用假分数的分子除以分母，如果分子是分母的倍数，所得的商就是整数；如果分子不是分母的倍数，所得的商就是带分数的整数部分，分母不变，余数做分数部分的分子；带分数化成假分数，分母不变，把整数和分母相乘的积加上原来分子做分子；据此解答。
【完整解答】解：
＝2 ＝ ＝5 ＝12
【考察注意点】此题是考查假分数与带分数的互化，属于基础知识，要掌握。
12．（2021秋 泾阳县期末）把下列前两组数进行通分，后两个分数进行约分。
和 和
【思路引导】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，通分找出分母的最小公倍数，再进行通分；约分找出最大公因数，再进行约分；据此解答。
【完整解答】解：和
＝＝
＝＝；
和
＝＝
＝＝；
＝＝；
＝＝。
【考察注意点】此题主要考查了约分和通分，关键是熟练掌握分数的基本性质的灵活运用。
五．应用题
13．（2021秋 沂水县期末）桃树上原来有40个桃子，小猴摘了其中的，小猴摘了几个桃子？
【思路引导】把桃树上原来有桃子的个数看作一个整体，把它平均分成5份，每份是它的，表示其中2份。先用桃子的个数除以5，求出1份的个数；再用乘法求出2份的个数。
【完整解答】解：40÷5×2
＝8×2
＝16（个）
答：小猴摘了16个桃子。
【考察注意点】关键是根据分数的意义，转化成整数除法、乘法解答。
14．（2021秋 大田县期末）学校饲养组养了32只兔子。其中是白兔，是黑兔，饲养组有黑免多少只？
【思路引导】把32只兔子平均分成4份，表示其中的3份，用兔子的总数除以份数，求出一份的只数，再乘3，即可求出饲养组有黑兔多少只。
【完整解答】解：32÷4×3
＝8×3
＝24（只）
答：饲养组有黑兔24只。
【考察注意点】本题考查分数的意义，理解把单位“1”平均分成几份，求其中的几份是多少。
15．（2021秋 泾阳县期末）笑笑，淘气，乐乐三人赛跑，路程相同，笑笑跑完全程用了分，淘气跑完全程用了分，乐乐跑完全程用了分，他们三人谁跑得快？
【思路引导】根据公式：速度＝路程÷时间，由于路程相同，则用的时间越少，速度越快，根据分数比较大小的方法，先通分成分母相同的分数，再进行比较即可。
【完整解答】解：＝
＝
＝
＞＞
即＞
所以笑笑用的时间最短。
答：笑笑的速度最快。
【考察注意点】明确路程相同，则用的时间越少，速度越快，以及分子、分母都不同的分数比较大小的方法是解题的关键。
16．（2021秋 城区期末）从小明家到晋城东站大约有18千米，他乘坐公交车行驶了6千米，小明已经行驶了全程的几分之几？还剩全程的几分之几没有走？
【思路引导】从小明家到晋城东站大约有18千米，他乘坐公交车行驶了6千米。求小明已经行驶了全程的几分之几，用他已经行驶的路程除以总路程；求还剩全程的几分之几没有走，把总路程看作单位“1”，用1减已经行驶的路程所占的分率（或有剩下的路程除以总路程）。
【完整解答】解：6÷18＝
1﹣＝
答：小明已经行驶了全程的，还剩全程的没有走。
【考察注意点】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
六．解答题
17．（2021秋 福州期末）小鼓和小楼同时从家出发，向对方家里走。如图表示的是1分钟后他们所在的位置。
（1）1分钟后，小鼓和小楼共走了全程的几分之几？
（2）剩下的路程占全程的几分之几？
【思路引导】（1）由图可知，把小鼓和小楼家的距离看作单位“1”，把它平均分成12份，1分钟后，小鼓和小楼分别走了2份和3份，即分别走了全程的和，把小鼓和小楼分别走了全程的和相加即可解答；
（2）用“1”减去小鼓和小楼共走了全程的几分之几，就是剩下的路程占全程的几分之几。
【完整解答】解：（1）+＝
答：小鼓和小楼共走了全程的。
（2）1﹣＝
答：剩下的路程占全程的。
【考察注意点】本题主要考查分数的意义以及分数减法的应用。
18．（2021秋 鹿邑县期末）先写出涂色部分表示的分数，再比较大小。
　＜　
　＞　
【思路引导】两个相同正方形，把每个正方形的面积看作一个整体，把它平均分成6份，每份是一个正方形的，左图其中2份涂色，表示，右图其中5份涂色，表示；根据涂色份数的多少，即可对这两个分数进行大小比较；
两个相同圆，把每个圆的面积看作一个整体，左图平均分成4份，其中1份涂色，表示，右图平均分成5分，其中1份涂色，表示；根据涂色部分面积的大小（两个圆相同，分的份数越多，每份的面积越小），即可对这两个分数进行大小比较。
【完整解答】解：
＜
＞
故答案为：，＜，； ，＞，。
【考察注意点】把一个整体平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。分数的大小比较方法是：同分母的比分子，分子大的就大；同分子的比分母，分母大的反而小
提高练
一．选择题
1．（2021秋 鲁山县期末）a，b，m都是大于0的数，如果，×m＜m，那么a和b的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
【思路引导】根据一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。据此解答即可。
【完整解答】解：a，b，m都是大于0的数，如果，×m＜m，那么a＜b。
故选：B。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握判断一个数乘分数的积与因数之间大小关系的方法及应用。
2．（2021秋 海淀区期末）A点和B点分别是长方形两条边的中点，阴影部分面积占长方形面积的（　　）
A． B． C． D．1
【思路引导】设长方形的长是4，宽是2，可得三角形的两条直角边分别为（4÷2）、（2÷2），根据三角形面积公式：S＝ah÷2，求出阴影部分的面积；再根据长方形的面积公式：S＝ab，求出长方形的面积；用阴影部分面积除以长方形面积即可求解。
【完整解答】解：设长方形的长是4，宽是2，可得三角形的两条直角边分别为（4÷2）、（2÷2）。
阴影部分的面积为：
（4÷2）×（2÷2）÷2
＝2×1÷2
＝1
长方形的面积为：4×2＝8
1÷8＝
故选：A。
【考察注意点】本题主要考查了三角形、长方形的面积公式的灵活运用及分数的意义，解题的关键是设出长方形的长与宽，再确定三角形的直角边。
3．（2021秋 龙华区期末）如图，两张纸条从信封里露出同样长的一部分，a纸条露出了，b纸条露出了，那么（　　）
A．a纸条和b纸条一样长 B．a纸条比b纸条长
C．a纸条比b纸条短 D．无法比较
【思路引导】因为a纸条露出了，所以a纸的长度是露出部分的5倍，同理，b纸的长度是露出部分的4倍，又因为a纸和b纸露出的部分相等，这样就可以判断哪个纸条长。
【完整解答】解：因为a纸条的长度是露出部分的5倍，b纸条的长度是露出部分的4倍，又因为a纸和b纸露出的部分相等，所以a纸条比b纸条长。
故选：B。
【考察注意点】本题考查分数的大小比较，解题关键是根据露出的部分占整体的几分之几，来判断两个整体的大小。
二．填空题
4．（2021秋 沙河口区期末）写出比大，比小，且分母是21的全部最简分数 　、　。
【思路引导】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此把和分别化成和，再根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。据此解答。
【完整解答】解：
比大，比小，且分母是21的全部最简分数有、。
故答案为：、。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用，最简分数的意义及应用。
5．（2021秋 海淀区期末）先分一分，然后用阴影表示出下面的分数。
【思路引导】图1把这个正方形的面积看作单位“1”，把它平均分成2份，每份是它的，表示其中1份涂色；
图2把这个正方形的面积看作单位“1”，把它平均分成9份，每份是它的，表示其中5份涂色；
图3把这个三角形的面积看作单位“1”，把它平均分成4份，每份是它的，表示其中3份涂色。
【完整解答】解：如图：
答案不唯一。
【考察注意点】此题是考查分数的意义。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
6．（2021秋 富裕县期末）把一根长4米的木料平均分成5段，每段是这根木料的　　，每段长　　米．
【思路引导】求每段长是这根木料的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率；求每段长的米数，平均分的是具体的数量4米，求的是具体的数量；都用除法计算．
【完整解答】解：每段占全长的分率：1÷5＝，
每段长的米数：4÷5＝（米）；
答；每段是这根木料的，每段长米．
故答案为：，．
【考察注意点】解决此题关键是弄清求得是具体的数量还是分率，求具体的数量平均分的是具体的数量；求分率平均分的是单位“1”．
三．判断题
7．（2021秋 虎林市期末）把一个长方形分成8份，每份是它的．　×　（判断对错）
【思路引导】把一张长方形纸的面积看作单位“1”，把它平均分成8份，每份是它的．
【完整解答】解：把一个长方形平均分成8份，每份是它的，
这里没说平均分，每份不一定是它的；
原题的说法错误．
故答案为：×．
【考察注意点】此题是考查分数的意义．把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数．注意，一定是把单位“1”平均分．
8．（2021秋 通道县期末）有两个杯子，各装有半杯水，将它们倒在一起就刚好是一杯水．　×　．（判断对错）
【思路引导】如果这两个杯子相同，把它们的容积看作单位“1”，各装半杯水，即，+＝1，将它们倒在一起就刚好是一杯水．如果这两个杯子不相同，它的也不相同，倒在一起就不一定是一杯水．
【完整解答】解：如果相同有两个杯子，各装有半杯水
+＝1，将它们倒在一起就刚好是一杯水；
如果这两个杯子不相同，将它们倒在一起不一定是一杯水．
原题的说法错误．
故答案为：×
【考察注意点】半杯即一杯的，不要单纯看两个分数，关键是看单位“1”是否相同．
9．（2021秋 常德期末）甲数是乙数的，乙数比甲数多．　√　．（判断对错）
【思路引导】把乙看作单位“1”，则甲数就是，求乙数比甲数多几分之几，就是求乙数比甲数多的部分占甲数的几分之几，用甲、乙两数之差除以甲数．
【完整解答】解：把乙看作单位“1”，则甲数就是．
（1﹣）÷
＝÷
＝
即甲数是乙数的，乙数比甲数多．原题的说法是正确的．
故答案为：√．
【考察注意点】求一个数比另一个数多或少几分之几，用这两数之差除以另一个数．
四．计算题（共1小题）
10．（2021秋 太子河区期末）（1）把下面各组数通分。
和、和
（2）将下面的分数进行约分。
、。
【思路引导】（1）把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分就是把分母不同分数化成分母相同的分数，依此即可求解。
（2）先找出分子和分母的最大公因数，然后根据约分的方法，把分数的分子和分母分别除以它们的最大公因数即可。
【完整解答】解：（1）和
＝＝
＝＝
和
＝＝
＝＝
（2）＝＝
＝＝
【考察注意点】考查了约分和通分，分数的基本性质，并利用分数的基本性质把分数化为要求的分数形式。
五．应用题
11．（2021秋 嘉鱼县期末）一袋牛奶糖，共有16颗，哥哥吃了它的，弟弟吃了它的。
（1）兄弟两人共吃了这袋糖的几分之几？
（2）请提出其他数学问题并解答。
【思路引导】（1）由题意可知把哥哥吃了它的，弟弟吃了它的相加即可得到兄弟两人共吃了这袋牛奶糖的几分之几。
（2）弟弟比哥哥多吃了几分之几？
【完整解答】解：（1）+＝
答：兄弟两人共吃了这袋牛奶糖的。
（2）弟弟比哥哥多吃了几分之几？
﹣＝
答：弟弟比哥哥多吃。
【考察注意点】解决本题关键是理解把牛奶糖的总量看成单位“1”，再根据加法的意义求解。
12．（2021秋 高新区期末）淘气、笑笑和奇思看一本同样的数学书。
（1）他们三个谁看的页数多？请写出比较的过程。
（2）这本数学书最少有多少页？你是怎么想的？
【思路引导】（1）因为淘气、笑笑和奇思看的是同样的一本书，根据分数比较大小的方法，比较三个分数的大小即可；
（2）要求这本书最少有多少页，就是求三个分数分母的最小公倍数。
【完整解答】解：（1）4＝2×2
9＝3×3
8＝2×2×2
所以4、9和8的最小公倍数是2×2×3×3×2＝72
＝
＝
因为
所以
所以奇思看的页数最多。
（2）这本书最少有72页，因为求出的页数必须为整数，所以最少页数就是三个分数分母的最小公倍数。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握异分母分数大小比较的方法及应用，通分的方法及应用，关键是掌握求最小公倍数的方法。
13．（2021春 义乌市期中）水果批发市场运来一批西瓜，平均分给甲、乙两个水果店。甲、乙两个水果店第一天分别卖出了这批西瓜的几分之几？
【思路引导】把这批西瓜看作单位“1”，平均分成2份，每份占这批西瓜的，甲、乙两个水果店第一天分别卖出分到西瓜的、，求甲、乙两个水果店第一天分别卖出了这批西瓜的几分之几，要用分到的乘对应的分数即可。
【完整解答】解：1÷2＝
×＝
×＝
答：甲、乙两个水果店第一天分别卖出了这批西瓜的、。
【考察注意点】本题主要考查了分数的意义，解题的关键是正确找出单位“1”。
14．这个分数分母加3，约分后得，这个分数分子加上3，约分后得，猜猜这个分数是多少？
【思路引导】假设原来的分数是，根据“若分母加上3，约分后为”，原分数就变为，与相等；再根据“若分子加3，约分后为”，原分数就变为，与相等；把这两个方程进一步转化为是求一个未知数的方程，进而求得分子和分母的数值，问题得解。
【完整解答】解：假设原来的最简分数是，
因为＝，所以3x＝y+3，
因为＝，所以2y＝3x+9，
所以2y＝y+3+9
2y﹣y＝y+3+9﹣y
y＝12
把y＝12代入3x＝y+3，
3x＝12+3
3x÷3＝15÷3
x＝5
答：这个分数是。
【考察注意点】此题主要考查分数的基本性质及列方程的应用。
六．解答题
15．（2021秋 海安市期末）根据“男生人数比女生人数多”这句话，可以得到以下结论。
（1）单位“1”的量是 　女生人数　。
（2）　女生人数　×＝　男生比女生多的人数　。
（3）男生人数与女生人数的比是 　4：3　，女生人数比男生人数少。
【思路引导】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”；把女生人数看作单位“1”，则男生人数是（1+），然后通过计算即可对各题进行解答。
【完整解答】解：（1）单位“1”的量是女生人数。
（2）女生人数×＝男生比女生多的人数。
（3）男生人数比女生人数多，则男生人数是：（1+），
则男生人数与女生人数的比是：（1+）：1＝：1＝4：3，
女生人数比男生人数少：
÷（1+）
＝（﹣1）÷
＝×
＝
故答案为：女生人数；女生人数，男生比女生多的人数；4：3，。
【考察注意点】解答此题的关键是找单位“1”，进一步发现是单位“1”的几分之几，以及比单位“1”多或少几分之几，由此解决问题。
16．（2021秋 通渭县期末）先通分，再比较大小．
和
1和
、和
【思路引导】（1）找到10和12的最小公倍数，利用分数的基本性质进行通分，再比较分数的大小；
（2）找到9和18的最小公倍数，利用分数的基本性质进行通分，再比较分数的大小或直接根据整数部分的大小关系确定分数的大小，即假分数大于真分数；
（3）找到4，6和8的最小公倍数，利用分数的基本性质进行通分，再比较分数的大小．
【完整解答】解：（1）因为＝，＝，
＞，
所以＞；
（2）因为1＝，＝，
＞，
所以1＞；
（3）因为＝，＝，＝，
＜＜，
所以＜＜．
【考察注意点】根据通分的意义和方法：把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分．再根据同分母分数大小比较的方法，分子大的分数就大．由此解答．
17．（2021 宁波模拟）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，则另一个数是多少？
【思路引导】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先用252除以28得到另一个数的独有因数，然后用最大公因数4乘另一个数的独有因数，即可得解．
【完整解答】解：252÷28＝9，
4×9＝36；
答：另一个数是36．
【考察注意点】已知两个数的最大公因数和最小公倍数，又知道其中一个数，求另一个数，可以先求出这个数的独有因数，用两个数的最小公倍数÷已知的一个数，然后独有因数乘最大公因数，即为所要求的另一个数．
18．（2019春 卢龙县期末）五年级（1）班学生进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，这个班有多少人？
【思路引导】由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到50人，所以也就是求12和16的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法进行解答即可．
【完整解答】解：12＝2×2×3，
16＝2×2×2×2，
因为这个班的学生不到50人，
所以12和16的最小公倍数为：2×2×3×2×2＝48；
答：这个班有48人．
【考察注意点】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答第四单元 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。
4、分数与除法：A÷B=（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5=
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如： =10÷5=2 =21÷5=4（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：把2化成分母是4的假分数;2= 2×4=8 （8作分子）（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：5= 5×5+1=2（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：1=====…==…
7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如：=10、最简分数;分子分母互质的分数叫做最简分数。
分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（最简真分数、最简假分数）
11、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：
和 可以化成和
12、分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100…… 能约分的要约分 如：0.3= 0.03= 0.003=
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……如：=0.3
==0.6 ==0.25
方法二：用分子÷分母 ，分子除以分母，除不尽的取近似值 如：=3÷4=0.75
（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2=2+0.3=2.3
13、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
14、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。
=
考点1：分数的意义和读写
【典例分析01】（2021秋 湖北期末）一袋苹果有10个，贝贝吃了这袋苹果的，贝贝吃了（　　）个苹果。
A．2 B．4 C．5
【思路引导】根据题意，把10个苹果平均分成5份，那么其中的1份有2个苹果，那么1其中的2份就有4个苹果，据此选择。
【完整解答】解：10÷5＝2（个）
2×2＝4（个）
答：贝贝吃了4个苹果。
故选：B。
【考察注意点】解答此题的关键是理解10个苹果平均分成了几份，每份有2个。
【典例分析02】（2021秋 惠州期末）一根圆棒的是，这根圆棒是下面三根中的第（　　）根。
A． B．
C．
【思路引导】把一个圆棒的长度看作单位“1”，把它平均分成3份。每份是它的。这根圆棒的是，这根圆棒的长度相当于它的3倍。
【完整解答】解：如图：
一根圆棒的是，这根圆棒是下面三根中的第三根。
故选：C。
【考察注意点】此题是考查分数的意义。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
【变式训练01】（2021秋 辉县市期末）下面图形的涂色部分可以用表示的是（　　）
A． B． C．
【变式训练02】（2021秋 福州期末）小鼓和小楼同时从家出发，向对方家里走。如图表示的是1分钟后他们所在的位置。
（1）1分钟后，小鼓和小楼共走了全程的几分之几？
（2）剩下的路程占全程的几分之几？
考点2：真分数、假分数和带分数
【典例分析03】（2021秋 凌河区期末）如图，在上面的括号里填上适当的假分数，在下面的括号里填上适当的带分数。
【思路引导】在数轴上，把一个单位长看作单位“1”，把它平均分成5份，每份表示，7份就是，13份就是，写成带分数是2，3是15份，也就是，16份是，也就是3。
【完整解答】解：
【考察注意点】此题是考查分数的意义．把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数，注意带分数和假分数之间的关系。
【典例分析04】（2021春 岳池县期中）分母是7的假分数有无数个，而真分数只有6个。　√　（判断对错）
【思路引导】根据假分数的意义，分子大于或等于分母的分数是假分数，分母是7的假分数的分子是7、8、9……有无数个；根据真分数的意义，分子小于分母的分数是真分数，分母是7的真分数的分子是1、2、3、4、5、6共6个。
【完整解答】解：分母是7的假分数有无数个，而真分数只有6个。
原题说法正确。
故答案为：√。
【考察注意点】解答此题的依据是真、假分数的意义。
【变式训练03】（2021春 辉县市期中）按要求把分数填在相应的方框里。
、、、、、、、
【变式训练04】（2021春 灵宝市期中）请在直线的上面填上真分数或假分数，下面填上带分数。
考点3：整数、假分数和带分数的互化
【典例分析05】（2021春 温县期末）一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数．　√　（判断对错）
【思路引导】假分数化带分数或整数的方法是用分子除以分母，商为整数部分，余数作分子．即一个假分数的分子除以分母如果没有余数，也就是分子能被分母整除，这样的假分数能化成整数；如果分子除以分母有余数，余数作带分数的分
子，分母不变，因此，一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数．
【完整解答】解：一 个假分数的分子除以分母如果没有余数，也就是分子能被分母整除，这样的假分数能化成整数，如果分子除以分母有余数，余数作带分数的分子，分母不变，就能化成假分数，
因此，一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数．
故答案为：√．
【考察注意点】根据假分数化带分数或整数的方法即可判定，一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数．
【典例分析06】（2017秋 大东区期末）12÷9＝＝1。 　√　（判断对错）
【思路引导】根据除法和分数的关系，12÷9＝，化简为＝，再把假分数化成带分数；即可判断。
【完整解答】解：12÷9＝＝＝＝1
所以原题计算正确。
故答案为：√。
【考察注意点】此题考查了除法和分数的关系，假分数和带分数的转化。
【变式训练05】（2020秋 惠阳区期末）
1＝ ＝3 5＝ ＝4
【变式训练06】（2021春 天门期中）把假分数化成整数或带分数．
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
考点4：小数与分数的互化
【典例分析07】（2021秋 金牛区期末）在0.、、0.67这三个数中，最大的数是 　　，最小的数是 　　。
【思路引导】把分数化成小数，再根据小数大小比较的方法比较即可。
【完整解答】解：＝0.666……
＝0.676767……
所以0.666……＜0.67＜0.676767……
即＜0.67＜
答：最大的数是，最小的数是。
故答案为：，。
【考察注意点】本题主要考查分数、小数的互化以及小数大小的比，关键是把分数化成小数，再比较。
【典例分析08】（2021 海曙区）有3个真分数：、、在这三个数中，　　一定是最简真分数； 　　一定能化成有限小数。
【思路引导】最简真分数的意义：分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最真简分数。一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数。的分子a是5，则就不是最简分数，的分子b是2，则不是最简分数，的分子c是小于19的数，小于19的数和19都是互质数，所以一定是最简分数；在这三个数中，50的质因数只有2和5，所以一定能化成有限小数。
【完整解答】解：由分析可得，3个真分数：、、在这三个数中，一定是最简真分数；一定能化成有限小数。
故答案为：；。
【考察注意点】本题考查了最简真分数的意义和什么样的分数可以化成有限小数。
【变式训练07】（2021春 崆峒区期末）2021年6月17日9时22分，神舟十二号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道，顺利将3名航天员送上太空。李阿姨和张叔叔打同样一篇航天知识稿子，谁打字快一些？
【变式训练08】（2021秋 泉港区期末）　　÷　　＝＝＝　（填小数）
考点5：求几个数的最大公因数的方法
【典例分析09】（2021秋 凤翔县期末）如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（　　）
A．m B．9 C．n D．mn
【思路引导】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。据此解答即可。
【完整解答】解：因为m＝9n（m和n都是不为0的整数），即m是n的9倍，所以m和n的最大公因数是n。
故选：C。
【考察注意点】熟练掌握为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数是解题的关键。
【典例分析10】（2020秋 平桂区 期末）有三根木棒，长分别是12cm、36cm、44cm，要把它们截成同样长的小棒而没有剩余，每根小棒最长能有 　4　厘米。
【思路引导】把它们截成同样长的小棒而没有剩余，求每根小棒最长是多少厘米，就是求12、36、44的最大公因数，据此解答即可。
【完整解答】解：12＝2×2×3
36＝2×2×3×3
44＝2×2×11
所以12、36、44的最大公因数是2×2＝4。
答：每根小棒最长能有4厘米。
故答案为：4。
【考察注意点】先把要求的数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
【变式训练09】（2019春 荥阳市期末）李奶奶买芒果花了16元，王奶奶买芒果花了24元．如果她们买的芒果的单价是一样的，那么这种芒果的单价最高是多少元？写出思考过程．（她们购买芒果的单价和数量都是整数）
【变式训练10】（2019春
成武县期末）有一张长方形纸，长24厘米，宽16厘米，如果要剪成若干个同样大小的正方形纸而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？一共可以剪多少个这样大小的正方形纸？
考点6：几个数的最小公倍数的方法
【典例分析11】（2021秋 乳源县期末）一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，这袋糖最少有（　　）颗。
A．30 B．60 C．120
【思路引导】一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余可知，这袋糖最少的颗数是4、5、6的最小公倍数，据此解答。
【完整解答】解：4和5的最小公倍数是4×5＝20
20＝2×2×5
6＝2×3
所以20和6的最小公倍数是2×2×3×5＝60
答：这袋糖最少有60颗。
故选：B。
【考察注意点】此题考查了最小公倍数的应用，求三个数的最小公倍数，先求出其中两个数的最小公倍数，再和第三个数求最小公倍数。
【典例分析12】（2021秋 郑州期末）下列哪一组最小公倍数是正确的（　　）
A．7和14的最小公倍数是28
B．15和20的最小公倍数是60
C．5和7的最小公倍数是70
【思路引导】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。
【完整解答】解：A.14是7的2倍，所以7和14的最小公倍数是14，原题说法错误；
B.15＝3×5，20＝2×2×5，所以15和20的最小公倍数是2×2×3×5＝60，所以原题说法错误；
C.5和7的最小公倍数是5×7＝35，所以原题说法错误。
故选：B。
【考察注意点】熟练掌握求两个数最小公倍数的方法是解题的关键。
【变式训练101（（2021秋 灌阳县期末）24和18的最大公因数是 　　；6和9的最小公倍数是 　　。
【变式训练12】（（2021秋 大洼区期末）箱子里装有同样数量的排球和篮球．每次取出5个排球和3个篮球，取了几次后，排球没有了，篮球还剩6个，一共取了几次？原来排球和篮球各有多少个？
考点7：单位“1”的认识及确定
【典例分析13】（2021秋 磐石市期末）“五（一）班女生人数是全班人数的。”这句话中把 　五（一）班全班总人数　看作单位“1”，数量关系式是：　五（一）班全班总人数　×　　＝女生人数。
【思路引导】根据题意，把全班人数平均分成5份，其中的3份就表示女生人数，因此全班人数为单位“1”，利用全班人数×＝女生人数。
【完整解答】解：把五（一）班全班总人数平均分成5份，女生人数占全班人数的，因此五（一）班全班总人数为单位“1”。
五（一）班全班总人数×＝女生人数。
故答案为：五（一）班全班总人数，五（一）班全班总人数×＝女生人数。
【考察注意点】在确定单位“1”，一般“是谁、占谁”谁是单位“1”。
【典例分析14】（（2019 保定模拟）解答题
（1）六（1）班女生人数是全班人数的．
（2）一筐苹果的质量相当于一筐梨质量的．
上面两句话中，每句话均有两个量，把哪个量看作是单位“1”；相对应的量又叫什么呢？
【思路引导】（1）六（1）班女生人数是全班人数的，是把女生人数与全班人数相比较，是把全班人数平均分成7份，女生人数占3份．因此，此句中全班人数就是单位“1”，也是标准量，女生人数与单位
“1”相比较，叫做比较量，女生人数占全班人数的．
（2）一筐苹果和一筐梨的质量相比较，一筐梨的质量是单位“1”，一筐苹果的质量是比较量，苹果的质量是梨的质量的．
【完整解答】解：（1）六（1）班女生人数是全班人数的，全班人数就是单位“1”，也是标准量，女生人数与单位“1”相比较，叫做比较量．
（2）一筐苹果和一筐梨的质量相比较，一筐梨的质量是单位“1”，一筐苹果的质量是比较量，苹果的质量是梨的质量的．
【考察注意点】此题主要考查了单位“1”的确定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通常把“的”前面的量以及“是”、“比”、“占”、“相当于”等后面的量看作单位“1”．
【变式训练13】（2021秋 镇平县月考）男生比女生人数多，这里是把 　女生人数　看作单位“1”，男生人数是女生人数的，女生人数比男生人数少。
【变式训练14】（2021秋 海安市期末）根据“男生人数比女生人数多”这句话，可以得到以下结论。
（1）单位“1”的量是 　 　。
（2）　 ＝　 。
（3）男生人数与女生人数的比是 　 　，女生人数比男生人数少。
考点8：分数的基本性质
【典例分析15】（2021秋 沙河口区期末）根据分数的基本性质，和（　　）大小相等。
A． B． C． D．
【思路引导】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，据此性质看看选项中的分数
【完整解答】解：，是把分子和分母都加上4，不符合分数的基本性质；
是把分子加6也就是乘4，分母加9也就是乘4，符合分数的基本性质；
是把分子加4，也就是乘3，那么分母也要乘3，分数的大小不变，而原题分子乘2，分数的大小变了；
是把分子加4，也就是乘3，那么分母也要乘3，分数的大小才不变，而原题分母乘4，分数的大小变了。
故选：B。
【考察注意点】本题主要考查分数的基本性质，根据这一性质解答即可。
【典例分析16】（2021春 崆峒区期末）把下面的分数化成分母是10而大小不变的分数。
　　 　　 　　 　　 　　
【思路引导】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。据此做题。
【完整解答】解：
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
故答案为：；；；；。
【考察注意点】本题主要考查分数的基本性质的应用。
【变式训练15】（（2021秋 邛崃市期末）＝＝
【变式训练16】（（2021秋 沙河口区期末）涂一涂，填一填，说明分数的基本性质。
考点9：最简分数
【典例分析17】（2021秋 开化县期末）在、、、、这些分数中，最简分数有几个？大小相等的分数有几个？下列选项正确的是（　　）
A．3，2 B．1，3 C．1，4 D．2，3
【思路引导】分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最简分数，利用分数的基本性质把分子和分母同时除以一个相同的数，据此把不是最简的分数进行约分求出最简分数再比较大小。
【完整解答】解：＝＝
＝＝
＝＝
和是最简分数，，，这三个分数的大小相等。
故选：D。
【考察注意点】本题考查了最简分数的意义及分数的基本性质的应用。
【典例分析18】（2020秋 广东期末）把下列分数化成最简分数。
【思路引导】根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数，根据分数的基本性质，把分数的分子和分母分别除以它们的最大公因数，据此解答。
【完整解答】解：＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
【考察注意点】此题考查的目的是理解最简分数的意义，掌握分数的基本性质及应用。
【变式训练17】（2021秋 渭滨区期末）的分子和分母的最大公因数是　　，化成最简分数是．
【变式训练18】（2020秋 肇源县期末）一个最简真分数，分子与分母的和是12，求这个最简分数．
考点10：约分
【典例分析19】（2021春 灵石县期末）下面每组中两个分数相等的是（　　）。
A．和 B．和 C．和
【思路引导】利用分数的基本性质把不是最简的分数进行约分或通分，把选项中的两个分数化成同分母的分数，然后比较即可。
【完整解答】解：A.，，不相等；
B.＝，，通过约分发现，这两个数相等；
C.，，不相等。
故选：B。
【考察注意点】本题考查了分数的基本性质的应用。
【典例分析20】（2021 安源区）有一个分数约分成最简分数是，约分前的分子与分母的差是21，约分前的分数是 　　。
【思路引导】根据题意，可知要分配的总量是约分前分子与分母的差21，是按照分子和分母的比为5：12进行分配的，先求出分子和分母相差的份数，再根据差÷相差的份数＝每份是多少，最后分别求得约分前的分子和分母，进而写出分数得解。
【完整解答】解：12﹣5＝7
21÷7＝3
3×5＝15
3×12＝36
答：约分前的分数是。
故答案为：。
【考察注意点】此题属于比的应用按比例分配，关键是先求出每一份是多少。
【变式训练19】（（2020春 青龙县期中）把一个分数约分，用3约了一次，用5约了一次，得到最简分数是，原来这个分数是　　。
【变式训练20】（（2021春 固始县期中）圈出下面的最简真分数并把其余的分数约分，是假分数的化成带分数。
、、、、。
考点11：通分
【典例分析21】（2015春 薛城区校级期末）把和通分，用（　　）作公分母比较简便．
A．12 B．24 C．36
【思路引导】根据通分的意义和通分的方法：把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分．通分时先求出两个分母的最小公倍数，用它作公分母比较简便．
【完整解答】解：4＝2×2
6＝2×3
所以4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12，
故选：A．
【考察注意点】此题考查的目的是让学生理解通分的意义，掌握通分的方法．
【典例分析22】（2019 防城港模拟）和通分时可以用　60　作公分母，也可以用　　作公分母，但用　　作公分母通分时会容易计算一些．
【思路引导】15和20的最小公倍数是60，所以和通分时可以用60作公分母，也可以用120作公分母，但用60作公分母通分时会容易计算一些．
【完整解答】解：因为15＝3×5，20＝2×2×5，
所以15和20的最小公倍数是：
2×2×3×5＝60，
所以和通分时可以用60作公分母，也可以用120作公分母，但用60作公分母通分时会容易计算一些．
故答案为：60、120、60．（第二个空的答案不唯一）
【考察注意点】
此题主要考查了通分的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通分是使两个分数的分母相同但不改变原数大小的过程．先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数．
【变式训练21】（2017春 漳平市校级期末）约分与通分的依据是分数的 　．两个数的最大公因数是3，最小公倍数是18，其中一个数是9，另一个数是　
【变式训练22】（2021秋 通渭县期末）先通分，再比较大小．
和
1和
、和
基础练
一．选择题
1．（2021秋 雁塔区期末）把一张正方形纸对折3次后展开，其中的3份是这张纸的（　　）
A． B． C． D．
2．（2021秋 房县期末）一堆煤分两次运完，第一次运吨，第二次运，则（　　）
A．第一次运的多 B．第二次运的多
C．无法确定
3．（2021秋 寿宁县期末）下面四个选项中，不正确的是（　　）
A．把一张正方形纸对折再对折，然后展开，其中一份是这个正方形纸的
B．把一个苹果分成5份，每份是这个苹果的
C．5000克油和5千克水相比，一样重
D．﹣指的是6个﹣减去2个，剩4个，也就是
二．填空题（共4小题）
4．（2021秋 玉溪期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
　 　 1分米 　 　100厘米 1时50分 　 　100分
　 　 308+425 　 　800 6000克+7千克 　 　13千克
5．（2021秋 永川区期末）用分数表示下面各图的涂色部分。
　 　；　 　；
　 　；　 　。
6．（2021秋 新田县期末）把5米长的木条锯成相等的小段，锯6次，每段占全长的 　 　，每段长 　 　米。
7．（2021秋 兖州区期末）（如图）涂色部分用分数表示是 　 　，用小数表示是 　 　，用百分数表示是 　 　。
三．判断题
8．（2021秋 三水区期末）甲的与乙的相等，甲数大于乙数。（甲、乙都不等于0）　 　（判断对错）
9．（2021秋 怀安县期末）甲数的和乙数的25%相等（甲数、乙数都不为0），则甲数大于乙数。 　 　（判断对错）
10．（2021秋 城区期末）淘气和笑笑分别向希望工程捐了自己零花钱的，他俩捐的一样多。 　 　（判断对错）
四．计算题
11．（2021秋 泾阳县期末）把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。
＝ ＝ ＝ ＝
12．（2021秋 泾阳县期末）把下列前两组数进行通分，后两个分数进行约分。
和 和
五．应用题
13．（2021秋 沂水县期末）桃树上原来有40个桃子，小猴摘了其中的，小猴摘了几个桃子？
14．（2021秋 大田县期末）学校饲养组养了32只兔子。其中是白兔，是黑兔，饲养组有黑免多少只？
15．（2021秋 泾阳县期末）笑笑，淘气，乐乐三人赛跑，路程相同，笑笑跑完全程用了分，淘气跑完全程用了分，乐乐跑完全程用了分，他们三人谁跑得快？
16．（2021秋 城区期末）从小明家到晋城东站大约有18千米，他乘坐公交车行驶了6千米，小明已经行驶了全程的几分之几？还剩全程的几分之几没有走？
六．解答题
17．（2021秋 福州期末）小鼓和小楼同时从家出发，向对方家里走。如图表示的是1分钟后他们所在的位置。
（1）1分钟后，小鼓和小楼共走了全程的几分之几？
（2）剩下的路程占全程的几分之几？
18．（2021秋 鹿邑县期末）先写出涂色部分表示的分数，再比较大小。
　 　
　 　
提高练
一．选择题
1．（2021秋 鲁山县期末）a，b，m都是大于0的数，如果，×m＜m，那么a和b的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
2．（2021秋 海淀区期末）A点和B点分别是长方形两条边的中点，阴影部分面积占长方形面积的（　　）
A． B． C． D．1
3．（2021秋 龙华区期末）如图，两张纸条从信封里露出同样长的一部分，a纸条露出了，b纸条露出了，那么（　　）
A．a纸条和b纸条一样长 B．a纸条比b纸条长
C．a纸条比b纸条短 D．无法比较
二．填空题
4．（2021秋 沙河口区期末）写出比大，比小，且分母是21的全部最简分数 　 　。
5．（2021秋 海淀区期末）先分一分，然后用阴影表示出下面的分数。
6．（2021秋 富裕县期末）把一根长4米的木料平均分成5段，每段是这根木料的　 　，每段长　 　米．
三．判断题
7．（2021秋 虎林市期末）把一个长方形分成8份，每份是它的．　 　（判断对错）
8．（2021秋 通道县期末）有两个杯子，各装有半杯水，将它们倒在一起就刚好是一杯水．　 　．（判断对错）
9．（2021秋 常德期末）甲数是乙数的，乙数比甲数多．　 　．（判断对错）
四．计算题
10．（2021秋 太子河区期末）（1）把下面各组数通分。
和、和
（2）将下面的分数进行约分。
、。
五．应用题
11．（2021秋 嘉鱼县期末）一袋牛奶糖，共有16颗，哥哥吃了它的，弟弟吃了它的。
（1）兄弟两人共吃了这袋糖的几分之几？
（2）请提出其他数学问题并解答。
12．（2021秋 高新区期末）淘气、笑笑和奇思看一本同样的数学书。
（1）他们三个谁看的页数多？请写出比较的过程。
（2）这本数学书最少有多少页？你是怎么想的？
13．（2021春 义乌市期中）水果批发市场运来一批西瓜，平均分给甲、乙两个水果店。甲、乙两个水果店第一天分别卖出了这批西瓜的几分之几？
14．这个分数分母加3，约分后得，这个分数分子加上3，约分后得，猜猜这个分数是多少？
六．解答题
15．（2021秋 海安市期末）根据“男生人数比女生人数多”这句话，可以得到以下结论。
（1）单位“1”的量是 　 　。
（2）　 　×＝　 　。
（3）男生人数与女生人数的比是 　 　，女生人数比男生人数少。
16．（2021秋 通渭县期末）先通分，再比较大小．
和
1和
、和
17．（2021 宁波模拟）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，则另一个数是多少？
18．（2019春 卢龙县期末）五年级（1）班学生进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，这个班有多少人？

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