资源简介

1.3.2　空间向量运算的坐标表示
课标要求 素养要求
1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题. 通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养.
新知探究
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石.这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N.
问题　1.若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则巨石所受合力F的坐标是什么？
2.巨石受到的合力有多大？
提示　1.F＝(3 000，2 000，2 000).
2.|F|＝5 000 N.
1.空间向量的坐标运算
(1)空间向量的坐标
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
(2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
2.空间向量的平行、垂直及模和夹角
a∥b是＝＝的必要不充分条件
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|＝ |a|＝eq \r(a＋a＋a)
夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a＋a＋a)\r(b＋b＋b))
3.空间两点间距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则
P1P2＝||＝.
拓展深化
[微判断]
1.若A(1，1，0)，B(2，3，1)，则＝(－1，－2，－1).(×)
提示　因为一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以＝(1，2，1).
2.对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则＝＝.(×)
提示　当b1，b2，b3至少有一个为0时不成立.
3.空间向量a＝(0，0，－1)为单位向量.(√)
[微训练]
1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　)
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)
解析　4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).
答案　D
2.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A.1 B.
C. D.
解析　ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.
答案　D
3.(多填题)已知点A(2，3，－1)，B(0，2，3)，则＝________，||＝________.
解析　＝(－2，－1，4)，
||＝＝.
答案　(－2，－1，4)　
[微思考]
1.已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a1b1＋a2b2＋a3b3<0，则〈a，b〉一定是钝角吗？
提示　不一定，也可能〈a，b〉＝180°.
2.如何进行空间向量坐标的加减、数乘及数量积运算？
提示　类比平面向量，把对应坐标进行加减、数乘、对应坐标乘积后求和，注意多了一个竖坐标.
题型一　空间向量的坐标运算
【例1】　(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________.
解析　(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
由题设可得
解得
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，
即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，
则a·b＝0－2－1＝－3，|a|＝，|b|＝，
所以cos〈a，b〉＝＝－.
答案　(1)－4　(2)－
规律方法　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
【训练1】　若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
解析　据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
答案　2
题型二　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
角度1　平行、垂直的简单应用
【例2－1】　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解　(1)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以2a－b＝(3，2，－2)，又c＝，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或－.
角度2　证明线、面平行与垂直
【例2－2】　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.
INCLUDEPICTURE"106.TIF" INCLUDEPICTURE "106.TIF" \* MERGEFORMAT
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明　(1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为
，(0，0，1).
∴＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝.
∴＝.又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0，0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥，即AM⊥DF.同理，⊥，即AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
规律方法　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
【训练2】　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
INCLUDEPICTURE"113.TIF" INCLUDEPICTURE "113.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明　(1)设AC与BD交于点G，连接EG.因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.
因为EG 平面BDE，AF 平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0，0，0)，A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F.所以＝，
＝(0，－，1)，＝(－，0，1).
所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0，
所以⊥，⊥，即CF⊥BE，CF⊥DE.
又BE∩DE＝E，且BE 平面BDE，DE 平面BDE，所以CF⊥平面BDE.
题型三　夹角和距离的计算
【例3】　在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
INCLUDEPICTURE"SX157A.TIF" INCLUDEPICTURE "SX157A.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求BP的长；
(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
解　(1)如图，建立空间直角坐标系.
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，
AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).
INCLUDEPICTURE"SX158A.TIF" INCLUDEPICTURE "SX158A.TIF" \* MERGEFORMAT
由PD⊥平面ABCD，得
∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2.
∴P(0，0，2).
∴BP＝＝4.
(2)由(1)得，＝(2，0，－2)，＝(－2，－3，0)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为.
规律方法　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
【训练3】　已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
INCLUDEPICTURE"110.TIF" INCLUDEPICTURE "110.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)设M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量；
(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
解　(1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝(，1，b)，
＝(－，1，b).
因为AB1⊥BC1，
所以·＝(，1，b)·(－，1，b)
＝－()2＋12＋b2＝0，
解得b＝.故侧棱长为.
(2)因为M为BC1的中点，
所以＝(＋)＝(＋＋).
(3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
因为||＝＝，
||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1，0)
＝－()2＋1×1＝－2，
所以|cos〈，〉|＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
一、素养落地
1.通过学习空间向量坐标形式的线性运算和数量积运算，提升学生的数学运算素养；通过借助空间向量的数量积运算，判定空间中线面的位置关系，提升直观想象素养.
2.空间中线、面位置关系常转化为向量的关系，空间的角和距离问题一般利用向量的数量积解决，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的关系.
二、素养训练
1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则(　　)
A.＝(－1，2，1) B.＝(1，3，4)
C.＝(2，1，3) D.＝(－2，－1，－3)
解析　＝－＝(2，1，3).
答案　C
2.已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b等于(　　)
A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2)
C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)
解析　b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).
答案　B
3.已知a＝(0，1，1)，b＝(－1，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.
解析　cos〈a，b〉＝＝＝.
答案　
4.已知a＝(－2，0，1)，b＝(1，0，2)，若a⊥(ka＋b)，则k＝________.
解析　ka＋b＝(－2k＋1，0，k＋2)，故a·(ka＋b)
＝－2(－2k＋1)＋k＋2＝5k＝0，解得k＝0.
答案　0
5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值.
解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
INCLUDEPICTURE"W122.TIF" INCLUDEPICTURE "W122.TIF" \* MERGEFORMAT
由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，
解得b＝，所以点Q的坐标为.
因为＝λ，所以(－1，－1，0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
基础达标
一、选择题
1.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A.3 B.2
C. D.5
解析　∵a－b＋2c＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝＝3.
答案　A
2.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A.(－1，1，0) B.(1，－1，0)
C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
解析　设b＝(x，y，z)与a成60°夹角，
则cos 60°＝＝，
代入检验得b＝(1，－1，0)满足.
答案　B
3.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意得AB中点M，又C(0，1，0)，所以＝，故M到C的距离为CM＝||＝＝.
答案　C
4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析　因为＝(3，4，－8)，＝(2，－3，1)，＝(5，1，－7)，于是·＝10－3－7＝0，而||＝，
||＝5，所以△ABC是直角三角形.
答案　C
5.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为(　　)
A.0 B.－1
C.1 D.－2
解析　因为＝(m－1，1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，由题意得∥，所以＝＝，所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
答案　A
二、填空题
6.(多填题)若a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则x＝________，y＝________，z＝________.
解析　∵a⊥b，a⊥c，b⊥c，
∴即
解得
答案　－64　－26　－17
7.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
解析　由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC，又⊥，
∴即
解得x＝，y＝－，z＝4，
∴x＋y＝－＝.
答案　
8.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________.
解析　∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
答案　
三、解答题
9.已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)，＋λ与的夹角为120°，求λ的值.
解　∵＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝＝，
||＝.
∴cos 120°＝＝－，
∴λ2＝.
又<0，∴λ＝－.
10.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
解　建立
如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，
E，C(0，1，0)，
F，G.
所以＝，＝，＝，＝.
(1)证明　因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.
(2)因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)CE＝||＝＝.
能力提升
11.已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________.
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5，3，1)＝λ，
所以所以t＝－，
故t的取值范围是∪.
答案　∪
12.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点.
INCLUDEPICTURE"108.TIF" INCLUDEPICTURE "108.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
(3)求证：BN⊥平面C1MN.
(1)解　如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
INCLUDEPICTURE"109.TIF" INCLUDEPICTURE "109.TIF" \* MERGEFORMAT
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)解　由(1)中建立的坐标系得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
(3)证明　由(1)中建立的坐标系得C1(0，0，2)，N(1，0，1)，M，∴＝，＝(1，0，－1)，
＝(1，－1，1)，
∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.
∴⊥，⊥，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，
又∵C1M∩C1N＝C1，C1M 平面C1MN，C1N 平面C1MN，∴BN⊥平面C1MN.
创新猜想
13.(多填题)△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的中线BM的长为________；高BD的长为________.
解析　由题设易知M，
所以＝.故||＝，
设＝λ，又＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ).
又∵＝(4，－5，0)，∴＝－＝(－4，4λ＋5，－3λ)，
由·＝0，得0＋4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，
∴||＝5.
答案　　5
14.(多填题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为________，线段MN的长度为________.
INCLUDEPICTURE"W123.TIF" INCLUDEPICTURE "W123.TIF" \* MERGEFORMAT
解析　以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N.·＝·＝0，∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°.又＝，∴MN＝||＝＝.
答案　90°　

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