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解三角形专题练(6):面积问题
一、知识点
1、正弦定理及其变形
①(边化角）
②,，(角化边)
③
2、余弦定理及其推论
3、常用的三角形面积公式
①S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
②＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）.
4、基本不等式
①
②
二、强化练习
1.在△ABC中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，a＝4，
b+c＝5，则△ABC的面积为( )
A． B． C． D．
3．（2014 新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，，则AC＝（　　）
A．5 B． C．2 D．1
4.(2021 河南开封三模)如图，A，B，C是半径为1的圆周上的点，且，，则图中阴影区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
5.(2014山东理)在△ABC中，已知，当时，△ABC的面积为________.
6．在△ABC中，AC=3，向量 在上的投影的数量为，则BC= .
7.（2018 新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，
b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为　 　．
8.(2021 高考全国乙卷) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
9.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，，则△ABC的面积为____________．
10．(2012新课标理)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC的面积为，求b,c．
11．(2017课标Ⅱ理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知．
(1)求
(2)若a+c=6 , △ABC面积为2,求b
12.(2017课标Ⅲ理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知，，b=2．
(1)求；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
13．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若其面积．
(1)求角B；
(2)若，a＋c＝6，求△ABC的面积．
14.（2020·北京卷）在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．
条件①：； 条件②：．
在△ABC中，已知，且最长边为1，求△ABC的面积．
16．在△BCE中，a，b，c分别是角A，B，C的对应边，已知．
（1）求A；
（2）若，，求△ABC的面积．
已知△ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，bsinB﹣asinA＝2R（sinB﹣sinC）sinC．
且b＝2.
（1）求角A；
（2）若AD是BC边上的中线，求△ABC的面积．
18．设△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，BE为的角平分线，且．
（1）求的大小；
（2）若AC=2且△ABC的面积为，求BE的值．
19．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC为的角平分线，，AB=3BC=3．
（1）求；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足，求AD．
21．如图所示，在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a=1，c=2
（1）求b和sinC；
（2）如图，设D为AC边上一点，，求△ABD的面积．
22．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，．
（1）若，求四边形ABCD的面积；
（2）若，求．
23．在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②；③；④．
（Ⅰ）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（Ⅱ）已知△ABC同时满足上述四个条件中的三个，请选择使△ABC有解的三个条件，求△ABC的面积．
24.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且满足①C=2B；②；③．
（1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
（2）若D为线段AB上一点，且，CD=4，求△BCD的面积．
25．(2019·兰州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝，且a＝5，求sin B＋sin C.
答案与解析
1.【解析】：由条件知长为a的边对应的角最小，设为A，
则由余弦定理，得，解得a=3或a=-2（舍去），
则三边长分别为3，5，7，且，
所以△ABC的面积.故选A。
2.【解析】:因为，，
所以 ，所以B+C＝120°，A＝60°．
因为 ，而b+c=5，
所以 ．
所以．故选C．
3.【解析】：因为钝角三角形ABC的面积是，AB＝c＝1，，
所以，即，
当B为钝角时，,
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB BC cosB＝1+2+2＝5，即，
当B为锐角时，，
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB BC cosB＝1+2﹣2＝1，即AC＝1，
此时AB2+AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则．故选B．
4.【解析】:取圆心为O，连结OA，OB，OC，BC，
因为，所以，则，所以，
在△ABC中，由余弦定理可得，
因为，所以，解得AC AB＝1，
所以，,
扇形OBC的面积为，
所以图中阴影区域的面积为．
5.【解析】:由得,，
所以.
6.【解析】：因为向量 在上的投影的数量为-2，所以．①
因为，所以，所以．②
由①②得tanA=-1，因为A为△ABC的内角，所以，所以．
在△ABC中，由余弦定理得
．
7.【解答】：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB＝4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
由于,，所以sinBsinC≠0，所以，则或，
由于b2+c2﹣a2＝8，则，
①当时，，解得，所以．
②当时，，解得（不合题意），舍去．
故：．
8.【解析】:由题意，，所以，
所以，解得（负值舍去）.故答案为.
9.【解析】：法一：因为a＝2c，b＝6，，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得，得，所以，
所以△ABC的面积.
法二：因为a＝2c，b＝6，，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得，得，所以，所以a2＝b2＋c2，所以，
所以△ABC的面积.
10.【解析】：由及正弦定理得
因为，所以，所以，
又，所以，所以．
(Ⅱ)△ABC的面积==,故bc=4，
而，故=8，解得b=c=2．
11.【解析】:由题设及，所以，
又，所以，
（Ⅱ）由，故
又,由余弦定理及a+c=6得
,所以b=2
12.【解析】:(1)由可得,因为,故．
由余弦定理可知:即
整理可得,解得c=-6(舍去)或c=4．
(2)法一:设AD=x,则在Rt△ADC中,由勾股定理可得
在△ABD中,有,由余弦定理可得 ,
即即,
所以,解得,
所以．
法二:依题意易知,
又因为,,所以,
所以．
法三:因为, 由余弦定理．
因为AC⊥AD,即△ACD为直角三角形, 则,得．
由勾股定理．
又,则, ．
13.【解析】：(1)因为三角形的面积，所以．
即，即，即.
(2)因为，，a＋c＝6，所以b2＝a2＋c2－2accos B，
即12＝(a＋c)2－2ac－2ac×＝36－3ac，得3ac＝24，得ac＝8，
则三角形的面积.
14.【解析】：选择条件①（Ⅰ）因为a+b=11,
因为
所以a=8.
（Ⅱ）因为,,所以
由正弦定理得：,所以,
所以，
选择条件②（Ⅰ）因为
所以
由正弦定理得：，
（Ⅱ）
所以，
15.【解析】：因为，，所以，所以，
所以为最大角，所以，
由，可得，，
由正弦定理可得，所以，，
所以△ABC的面积．
16.【解析】：（1）因为，
由正弦定理可得：，
又因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以．
因为，所以．
（2）因为，即，
因为，可得，所以，
所以，
又所以，
在△ABC中，由正弦定理可知：，所以，（其中R为△ABC外接圆半径），
所以．
17.【解答】：（1）因为由正弦定理，可得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
所以由已知可得：，
所以b2﹣a2＝c（b﹣c）＝bc﹣c2，即b2+c2﹣a2＝bc，
所以由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）因为BC边上的中线，b＝2，
又，两边平方，可得：，
所以，整理可得：c2+2c﹣3＝0，解得c＝1，或﹣3（舍去），
所以.
18.【解】：（1）因为，可得：，整理得：，即，
所以：，
又，所以：，
（2），平方可得：，
又由面积为，可得：ac=2，
所以，所以，所以：，
又由：，可得：，
所以：．
20.【解析】：（1）△ABC中，，AB=3，BC=1，
由余弦定理可得，所以，
再由正弦定理，可得，
又因为AC为的角平分线，所以．
（2）△ACD中，，，，
所以，
从而，
由正弦定理，可得，
而．
20.【解】：（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
因为，所以，，所以，
所以．
（2）解法一：设△ABD的AB边上的高为，△ADC的AC边上的高为，
因为，，，所以，
所以，AD是△ABC角A的内角平分线，所以，
因为，可知，所以，
所以．
解法二：设，则，
因为，，，所以，
所以，所以，
因为，可知，
所以，所以．
解法三：设，，则，
在△ABC中，由，及余弦定理得
因为，可知，
在△ABD中，，即，
在△ADC中，，即，
所以．
21.【解析】：（1）在△ABC中，因为，
所以由正弦定理得：，
因为，所以，所以，
又，所以，
由余弦定理得，，所以，
在△ABC中，由正弦定理得，，所以；
（2）在△ABD中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，所以，
由，设，，所以，所以，所以，
因为，
所以
22.【解析】：（1）连接BD，在Rt△ABD 中，由勾股定理可得，，故BD=2，
△BCD中，由余弦定理可得，，
因为C为三角形的内角，故，
所以，，
故求四边形ABCD的面积，
（2）在△BCD中，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，，
Rt△ABD 中，，故，
所以．
23.【解】：（Ⅰ）由条件④，可得，解得或（舍，
因为，所以；
由条件③，可得，因为，所以，
所以，与三角形内角和为矛盾，所以不能同时满足③④；
（Ⅱ）因为同时满足上述条件中的三个，不能同时满足③④，
则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．
若选择①②③：，，由（1）可知，条件③可得，故，
因为，解得，又，故，所以为直角三角形，则，所以△ABC的面积为；
若选择①②④：，，由（1）可知条件④得到，则，
故△ABC的面积为．
24.【解析】：（1）“由①②③”
证明：因为，由正弦定理：，所以，；
因为，，所以，由余弦定理得：
“由②③①”
因为，由余弦定理得，
因为，由正弦定理：，
所以，，所以，
“由①③②”
因为，由余弦定理得，
又，，所以，
所以△ABC为等腰直角三角形，
故,
（2）由已知设，则，，，
因为，所以，
所以，根据正弦定理得：，则，，
.
25.[解]：(1)因为b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A，所以2bccos A＝accos C＋c2cos A，
因为c＞0，所以2bcos A＝acos C＋ccos A，
由正弦定理得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，即2sin Bcos A＝sin(A＋C)．
因为sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，所以2sin Bcos A＝sin B，即sin B(2cos A－1)＝0，
因为0＜B＜π，所以sin B≠0，所以cos A＝，
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)因为S△ABC＝bcsin A＝bc＝，所以bc＝25.
因为cos A＝＝＝，所以b2＋c2＝50，
所以(b＋c)2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10(或求出b＝c＝5)，
所以sin B＋sin C＝b·＋c·＝(b＋c)·＝10×＝.

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