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解三角形专题练(5)：周长问题
知识点
1、正弦定理及其变形
①(边化角）
②,，(角化边)
③
2、余弦定理及其推论
诱导公式：
巩固练习
1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)
A．10 B．12 C．8＋ D．8＋2
1、a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知，且，则（ ）
A．A+c=3b B．
C．△ABC的周长为4c D．△ABC的面积为
2.(2018高考新课标I)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（I）求C；
（II）若,△ABC的面积为，求△ABC的周长．
3.（2017高考新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.
（1）求sin Bsin C;
（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长.
4．在△ABC中，已知a=3，b=2c．
（1）若，求．
（2）若，求△ABC的周长．
5．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若且．
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求△ABC的周长．
6．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为△ABC的面积，且．
（1）求A的大小；
（2）若、b=1，D为直线BC上一点，且，求△ABD的周长．
7．已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=2且f(A)=0，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
8．(2019·郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且.
(1)求sin Asin C；
(2)若4cos Acos C＝3，，求△ABC的周长．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）在①，②，③a=2c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b=3，_______，求△ABC的周长．
10．在①；②；③面积这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．
问题：在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A为锐角，a=6，，且____，求△ABC的周长．
答案与解析
【解析】：因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.
因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，
又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos Bsin A．
因为sin A≠0，所以cos B＝.
因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.
2.【解析】：因为，所以ab=(3b-c)b，所以a=3b-c.
由余弦定理得，
又，所以，.周长为a+b+c=4b.
故△ABC的面积为.
故选：ABD
2.【解析】：（I）由已知及正弦定理得，
即．故．可得，所以．
（II）由已知，．又，所以．
由已知及余弦定理得，．
所以△ABC的周长为．
3.【解析】：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即bc=8.
由余弦定理得，即，得.
故△ABC的周长为.
4.【解】：（1）由余弦定理得，解得，
所以；
（2）因为b=2c，所以由正弦定理得，
又因为，所以，，所以，所以C为锐角，
所以．
由余弦定理得：，
又因为a=3，b=2c，所以．
当时，，所以；
当时，，所以．
5.【解】：（1）由正弦定理原式可化为，
故，即，
因为，且，所以，
则上式可化为，即有，
（2）因为，所以，即，如图，
则△ABC的面积，由（1）知，
则△ABC的面积，解得，则，
由余弦定理可得，即，
所以△ABC的周长为．
6.【解】：（1）因为，所以，
又，所以，
又，所以；
（2）在△ABC中，由余弦定理得：，
又、b=1，，所以，又，所以c=2，
在△ABC中，由正弦定理得，
又，所以B为锐角，所以，
在中，，所以，，
所以△ABD的周长为．
7.【解】：（1），
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值1，
即函数的值域是，．
（2）由（A）得，
因为，所以，得，
因为△ABC的面积为，a=2，所以，则，
又，即，得，即b+c=4，
则周长a+b+c=4+2=6．
8.【解析】：(1)因为△ABC的面积为S＝acsin B，，
所以，所以ac＝.
所以由正弦定理可得sin Asin C＝＝.
(2)因为4cos Acos C＝3，sin Asin C＝.
所以，
因为，所以，
所以由余弦定理可得15＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝(a＋c)2－12，
解得，所以△ABC的周长为.
9.【解】：（Ⅰ）因为，
可得，即，
因为，，所以，
因为，．
（Ⅱ）若选择条件①，
因为，所以，
由余弦定理可得，所以，可得，又，解得，
因此△ABC的周长为．
若选择条件②，
在△ABC中，由正弦定理可得，
所以，，
所以△ABC的周长为．
若选择条件③，由余弦定理可得，
所以，，
因此△ABC的周长为．
10.【解】：因为，代入a=6，得，
又为锐角，故，
若选①，，由，得bc=15．
又，即b+c=9．
所以△ABC周长为a+b+c=15．
若选②，，即．
化简得．
故，此时△ABC为等边三角形，周长为3a=18，
若选③，，得．
又，即b+c=8．
所以△ABC周长为a+b+c=14．

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