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2021-2022学年北师大版六年级下册
第二单元 比例
知识点一：比例的认识
1.只有比值相等的两个比才能组成比例。
2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或，那么ad=bc。
3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系
知识点二：比例的应用
1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。
2.解比例实际上就是解方程，要做好检验
知识点三：比例尺
1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际距离的比。
2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。
按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。
3.比例尺的应用
图上距离：实际距离=比例尺或
图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺
4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。
5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图
知识点四：图形的放大和缩小
1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。
2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。
3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩小
=
考点1：比例的认识
【典例分析01】（2021六上·定州期中）下面各比中，与 ∶ 能组成比例的是（　　）。
A．4∶5 B．5∶4 C．1∶20
【答案】B
【完整解答】解：：=÷=；
选项A，4：5=4÷5=，即错误；
选项B，5：4=5÷4=，即正确；
选项C，1：20=1÷20=，即错误。
故答案为：B。
【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例。本题先计算出：的比值（比的前项÷后项）；再计算出各个选项中各个比的比值，找出与：的比值相等的比即可得出答案。
【典例分析02】x和4、5、6恰好能组成比例，x可能是　 　、　 　或　 　。
【答案】；；
【完整解答】解：4×5÷6=，4×6÷5=，5×6÷4=，所以x可能是、或。
故答案为：；；。
【思路引导】组比例时，要用到比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，据此作答即可。
【变式训练01】图中给出的4个数据可以组成哪些比例？请写一写。（至少写2个）
【答案】解：3：1.5=4：2；1.5：3=2：4；3：4=1.5：2；4：3=2：1.5 。（答案不唯一）
【思路引导】在比例中，等号两边的比的比值要相同，据此作答即可。
7．师傅加工50个零件需要3小时，那么加工80个这样的零件，需要多少小时？
【答案】解：设需要x小时 50：3=80：x 50x=3×80 x=4.8 答：需要4.8小时。
【思路引导】因为师傅加工50的零件需要3小时，问加工80个这样的零件，需要多少小时，可以设需要x小时，50：3表示师傅每个小时加工的个数，80：x也表示师傅每个小时加工的个数，据此可以列出比例50：3=80：x，然后解出x即可。
【变式训练02】（2021六下·东川期中）
（1）写出两个比值是3的比，再组成比例是　 　。
（2）如果a×4＝b×6，那么a：b＝　 　：　 　。
【答案】（1）9：3=6：2
（2）6；4
【完整解答】解：（1）这个比例是：9：3=6：2；
（2）a：b＝6：4。
【思路引导】（1）比值相等的两个比可以组成比例；
（2）在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
考点2：比例的应用
【典例分析03】（2021六上·永川期中）解方程。
（1）
（2）+x=
（3） ：x=
【答案】（1）
解：x÷=÷
x=
（2） +x=
解：x=-
x=÷
x=
（3） ：x=
解：3x=×4
x=÷3
x=
【思路引导】解方程要掌握等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，同时乘或除以同一个非0数，等式仍然成立。解比例时根据比例的基本性质把比例写成两个内项积等于两个外项积的形式，然后根据等式的性质求出未知数的值。
【典例分析02】（2020·南召）比例的两个內项分别是2和5，两个外项分别是x和2.5，可以列出多个比例，其中一个是x∶2=5∶2.5，解比例得x=4。（ ）
【答案】（1）正
【完整解答】解：x：2=5：2.5
2.5x=10
x=10÷2.5
x=4
故答案为：正确。
【思路引导】比例的基本性质，在比例里，两个内项积等于两个外项积；依据比例的基本性质解比例。
【变式训练03】已知a：7=9：b，下面的式子中不一定能成立的是（　　）。
A．a：b=7：9 B．7：b=a：9 C．ab=63 D．7：a=b：9
【答案】A
【完整解答】解：a：7=9：b
ab=7×9
ab=63；
A项：a：b=7：9
a：b=；
B项：7：b=a：9
ab=7×9
ab=63；
C项：ab=63；
D项：7：a=b：9
ab=7×9
ab=63。
故答案为：A。
【思路引导】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积。
【变式训练04】（2020六上·南岗期末）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为　 　.
【答案】4
【完整解答】因为比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，
所以2×5=2.5x
解得x=4
故答案为：4。
【思路引导】根据比例的基本性质：比例外项之积等于内项之积，列出方程即可解答。
考点3：比例尺
【典例分析05】（2021六下·龙华月考）一种长5毫米的零件，画在图纸上长10厘米，这幅图的比例尺是（　　）。
A．1：2 B．2：1 C．1：20 D．20：1
【答案】D
【完整解答】解：10厘米=100毫米
100÷5=20：1
故答案为：D。
【思路引导】比例尺=图上距离÷实际距离。
【典例分析06】（2020·滕州）一个零件长3毫米，画在一幅图上长30厘米，这幅图纸的比例尺是1：10。（　　）
【答案】（1）错误
【完整解答】解：3毫米：30厘米
=3毫米：300毫米
=1：100
故答案为：错误。
【思路引导】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
【变式训练05】一种精密零件的长是5毫米，把它画在比例尺是12：1的零件图上，长应画　 　厘米。
【答案】6
【完整解答】解：5×12÷10
=60÷10
=6（厘米）。
故答案为：6。
【思路引导】图上距离=实际距离×比例尺；然后单位换算。
【变式训练06】在比例尺是1：3500000的地图上，量得甲、乙两地间的距离是2.4厘米，在另一幅地图上量得这两地间的距离是2.8厘米。求另一幅地图的比例尺。
【答案】2.4÷ =8400000（厘米）
2.8：8400000=1：3000000
答：另一幅地图的比例尺是1：3000000。
【思路引导】比例尺=图上距离÷实际距离；其中，实际距离=图上距离÷比例尺。
考点4：图形的放大和缩小
【典例分析07】（2021六下·菏泽期中）将一个长8cm，宽4cm的长方形按4：1放大后，周长是　 　cm，面积是　 　cm2。
【答案】96；512
【完整解答】解：8×4=32（厘米），4×4=16（厘米），
（32+16）×2=48×2=96（厘米）
32×16=512（平方厘米）
故答案为：96；512。
【思路引导】长×4=扩大后的长，宽×4=扩大后的宽，（扩大后的长+扩大后的宽）×2=扩大后的周长，扩大后的长×扩大后的宽=扩大后的面积。
【典例分析08】（2021六下·颍上期中）将一个底是5厘米，高是3厘米的三角形按3：1放大，得到图形的面积是　 　平方厘米。
【答案】67.5
【完整解答】解：5×3=15（厘米）
3×3=9（厘米）
15×9÷2
=135÷2
=67.5（平方厘米）
故答案为：67.5。
【思路引导】得到图形的面积=底×高÷2；其中，底=原来的底×3，高=原来的高×3。
【变式训练07】按要求画图。
（1）用数对表示三角形①顶点A的位置：A　 　。
（2）将三角形①围绕A点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
（3）将旋转后的图形向右平移5格，画出平移后的图形。
（4）以MN所在的直线为对称轴，画出与平移后三角形成轴对称的图形。
（5）将三角形①按1：2的比缩小，在三角形①下面画出缩小后的图形。
【答案】（1）（5，4）
（2）
（3）
（4）
（5）
【思路引导】（1）数对的表示方法：先列后行；
（2）旋转画法：旋转后图形的位置改变，转动的中心点、形状、大小不变。因此画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，找准关键线段旋转后的位置，据此作图即可；
（3）平移画法：先把图形中的关键点都按题干要求的方向和格数移动，然后再连接各点；
（4）轴对称的画法：补全轴对称图形方法：根据对称点到对称轴的距离相等，找出各个关键点的对称点，然后再连线；
（5）把三角形的两条直角边都缩小到原来的一半，再据此作图。
【变式训练08】实践操作。
（1）以直线h为对称轴，画出图形A的另一半，使其成为轴对称图形。
（2）画出图形B按2：1的比放大后的图形。
（3）画出将图形C绕O点顺时针旋转90°，再向左平移5格后的图形。
【答案】（1）
（2）
（3）
【思路引导】（1）补全轴对称图形，先过已给图形的关键点做对称轴的垂线，然后数出关键点到对称轴的格子数，并在对称轴另一边相同格子数的位数做上标记，最后把这些标记连接起来即可；
（2）把一个图形按2：1的比放大，就是把每条边的长度都乘2；
（3）把一个图形绕其上面一点顺时针旋转一定的度数，先把这个点连接的边顺时针旋转相同的度数，最后把剩下的边连接起来即可；
作平移后的图形，先把这个图形的关键点平移相同的格子数，然后把这些关键点连接起来即可。
基础练
一．选择题
1．（2021春 黄州区校级期中）将一个周长12厘米的正方形变换成面积为36平方厘米的正方形，是按（　　）的比放大的。
A．1：2 B．2：1 C．3：1 D．4：1
【思路引导】根据图形的放大与缩小，由周长推算出正方形的边长和面积，进而计算出放大比例。
【完整解答】解：周长12厘米，则边长为3厘米，面积为3×3＝9（平方厘米）。
36÷6＝6，6÷3＝2是按2：1的比放大的。
故选：B。
2．（2021 邹城市开学）有一种手表零件长5mm，在设计图纸上的长度是10cm，这幅设计图纸的比例是（　　）
A．1：20 B．20：1 C．2：1 D．15：1
【思路引导】图上距离和实际距离已知，根据“比例尺＝图上距离：实际距离”代入数值，计算即可。
【完整解答】解：因为10cm＝100mm
100：5＝20：1
答：这幅图的比例尺是20：1。
故选：B。
3．（2021 南山区）在线段比例尺中，下面说法正确的是（　　）
A．图上距离是实际距离的
B．图上1厘米表示实际距离5000000厘米
C．实际距离是图上距离的100倍
D．图上1厘米表示实际距离100000厘米
【思路引导】比例尺＝图上距离：实际距离，这个线段比例尺表示图上距离1cm等于实际距离50m，解答即可。
【完整解答】解：单位不统一，图上距离不是实际距离的，A错误；
图上1厘米表示实际距离5000000厘米，B正确；
实际距离是图上距离的5000000倍，C错误；
图上1厘米表示实际距离5000000厘米，D错误。
故选：B。
4．（2021 黔东南州）一种微型零件长0.5毫米，画在一幅图上长5厘米，这幅图的比例尺是（　　）
A．1：10 B．100：1 C．1：100 D．1：1000
【思路引导】根据比例尺＝图上距离÷实际距离，代入数据解答即可。
【完整解答】解：5cm：0.5mm
＝5cm：0.05cm
＝100：1
所以这幅图的比例尺是100：1。
故选：B。
二．填空题
5．（2021秋 乐昌市期末）师徒两人生产一批零件，两人生产个数的比是5：3，已知徒弟生产150个，师傅生产　250　个．
【思路引导】根据题意知道，两人生产个数的比是一定的，即两人生产个数成正比例，由此列式解答即可．
【完整解答】解：设师傅生产x个，
5：3＝x：150
3x＝5×150
x＝250；
答：师傅生产250个．
故答案为：250．
6．（2021 大邑县）一幅地图的比例尺是千米，在这幅地图上测得甲、乙两地相距6厘米，如果一辆汽车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，那么这辆汽车需要 　3　小时才能到达乙地。
【思路引导】线段比例尺表示：图上距离1cm表示实际距离40m，在这幅地图上测得甲、乙两地相距6厘米，则实际距离是（6×40）m。根据时间＝路程÷速度，总距离除以80即为所求。
【完整解答】解：6×40÷80
＝240÷80
＝3（小时）
答：这辆汽车需要3小时才能到达乙地。
故答案为：3。
7．（2020秋 成安县期末）在一幅地图上，4cm长的线段表示8m的实际距离，这幅地图的比例尺是 　1：200000　。
【思路引导】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
【完整解答】解：8m＝800000厘米
4：800000＝1：200000
答：这幅地图的比例尺是1：200000。
故答案为：1：200000。
8．（2021 淮安）在一幅地图上量得甲乙两地的距离是6厘米，实际距离是180千米，这幅地图的比例尺是 　1：3000000　：如果乙丙两地之间的距离是240千米，在这幅地图上应画 　8　厘米。
【思路引导】根据“图上距离：实际距离＝比例尺”求出这幅地图的比例尺，进而根据“实际距离×比例尺＝图上距离”解答即可。
【完整解答】解：180千米＝18000000厘米
6：18000000＝1：3000000
240千米＝24000000厘米
24000000×＝8（厘米）
答：这幅地图的比例尺是1：3000000：如果乙丙两地之间的距离是240千米，在这幅地图上应画8厘米。
故答案为：1：3000000，8。
三．判断题
9．（2021秋 沈丘县期末）在比例尺中，实际距离一定比图上距离大。 　×　（判断对错）
【思路引导】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可知在比例尺中，实际距离不一定比图上距离大，例如比例尺为100：1的精密仪器图纸。
【完整解答】解：在比例尺中，实际距离不一定比图上距离大。
故原题说法错误。
故答案为：×。
10．（2021 淮滨县）按1：2的比例尺把一个平行四边形画在图纸上，只是图形缩小了，形状不变。 　√　（判断对错）
【思路引导】
图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同，据此判断。
【完整解答】解：按1：2的比例尺把一个平行四边形画在图纸上，只是图形缩小了，形状不变，原题说法正确。
故答案为：√。
11．（2021 渭南）一个圆锥形的谷堆，它的底面半径是8m，把它画在图上量得半径长为3.2cm，这幅图的比例尺是1：250。 　√　（判断对错）
【思路引导】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
【完整解答】解：8米＝800厘米
3.2：800＝1：250
所以原题解答正确。
故答案为：√。
四．计算题
12．（2021秋 曲阳县期中）解比例。
：x＝： 3：5＝4.2：x ＝
【思路引导】（1）根据比例的基本性质，原式化成x＝×，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解；
（2）根据比例的基本性质，原式化成3x＝5×4.2，再根据等式的性质，方程两边同时除以3求解；
（3）根据比例的基本性质，原式化成2.5x＝3×7.5，再根据等式的性质，方程两边同时除以2.5求解。
【完整解答】解：（1）：x＝：
x＝×
x＝
x＝
（2）3：5＝4.2：x
3x＝5×4.2
3x÷3＝21÷3
x＝7
（3）＝
2.5x＝3×7.5
2.5x÷2.5＝22.5÷2.5
x＝9
五．应用题
13．（2021 旌阳区）在比例尺为1：1000000的地图上量得甲地到乙地的高速公路长14cm。王叔叔驾车从甲地的高速公路入口驶入前往乙地，1小时后，已经行驶的路程与剩下的路程之比是5：2。此时，王叔叔离乙地的高速公路出口还有多少千米？
【思路引导】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙两地之间的实际距离，已知已走的与剩下的路程比为5：2，则剩下的路程是全程的，求剩下的路程，用乘法求解。
【完整解答】解：14÷＝14000000（厘米）
14000000厘米＝140千米
140×
＝140×
＝40（千米）
答：王叔叔离乙地的高速公路出口还有40千米。
14．（2021 巨野县）在比例尺是1：6000000的地图上，量得青岛到上海的距离是10厘米，张阿姨上午9时以100千米/时的速度从青岛开出去往上海，求张阿姨到达上海的时刻。
【思路引导】根据图上距离：实际距离＝比例尺，知道图上距离÷比例尺＝实际距离，列式求得实际距离；用路程除以速度求出时间，再由开始的时间与经过的时间，即可求出到达的时间。
【完整解答】解：10÷＝60000000（厘米）
60000000厘米＝600千米
600÷100＝6（小时）
9+6＝15（时）（即下午3时）
答：张阿姨到达上海的时刻下午3时。
15．（2021春 沭阳县期中）在比例尺是的地图上，量得北京到天津的距离是28厘米。北京到天津的实际距离是多少千米？
【思路引导】这道题是已知比例尺、图上距离，求实际距离，根据图上距离÷比例尺＝实际距离代入数据，列式求得实际距离即可。
【完整解答】解：28÷＝28×500000＝14000000（厘米）
14000000厘米＝140千米
答：北京到天津的实际距离是140千米。
16．（2021 路南区）两列火车分别从两城相对开出，两车同时出发，2小时后在途中相遇。如果画在比例尺是1：5000000的地图上，两城之间的图上距离是12厘米。甲乙两车的速度比是3：2，甲车每小时行多少千米？
【思路引导】5000000cm＝50m，也就是图上距离1cm表示实际距离50m，两城之间的图上距离是12厘米，那么实际距离是12×50＝600（m），先用600除以相遇时间求出速度和，再根据速度比求出甲车每小时行多少千米。
【完整解答】解：5000000cm＝50m
12×50＝600（m）
600÷2÷（3+2）×3
＝300÷5×3
＝180（千米/时）
答：甲车每小时行180千米。
提高练
一．选择题
1．（2021 土默特左旗）下面的图形是按一定比例缩小的，则x＝（　　）。
A．10 B．8 C．7.5 D．7
【思路引导】
由于图形是按一定的比例缩小的，所以原来长比现在的长的比值和原来宽比现在的宽的比值相等，所以根据图中数据列比例解答即可。
【完整解答】解：根据题意，
5：4＝x：6
4x＝30
x＝30÷4
x＝7.5
故选：C。
2．（2021春 盐城期中）用□、4、6、12这四个数可以组成比例，□不可能是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．18
【思路引导】（1）根据用x、4、6和12这四个数组成比例，可知如果把4和6当作这个比例的两个外项（或内项），那么x和12就作为这个比例的两个内项（或外项）；
（2）如果把4和12当作这个比例的两个外项（或内项），那么x和6就作为这个比例的两个内项（或外项）；
（3）如果把6和12当作这个比例的两个外项（或内项），那么x和4就作为这个比例的两个内项（或外项）；
进而根据比例的性质：两内项的积等于两外项的积，计算后即可确定出x不可能是哪一个数。
【完整解答】解：（1）把4和6当作这个比例的两个外项，那么x和12就作为这个比例的两个内项
x＝4×6÷12＝2
（2）把4和12当作这个比例的两个外项，那么x和6就作为这个比例的两个内项
x＝4×12÷6＝8
（3）把6和12当作这个比例的两个外项，那么x和4就作为这个比例的两个内项
x＝6×12÷4＝18
所以用x、4、6和12这四个数组成比例，x可能是2、8或18，不可能是3。
故选：B。
3．（2021春 阳信县期中）把一张长方形的图按1：20的比例缩小后，长和宽的比（　　）
A．不变 B．变了 C．无法确定
【思路引导】把一张长方形的图按1：20的比例缩小后，就是把这个长方形的长和宽都缩小到原来的
，也就是长和宽都除以20，也就相当于把原长方形的长和宽的比的前项和后项都除以20，根据比的基本性质，比的前项和后项都乘或者除以一个数（0除外），比值不变．因此，一个长方形放大或缩小后，长和宽的比不变．
【完整解答】解：把一张长方形的图按1：20的比例缩小后，长和宽的比不变；
故选：A．
4．（2021 永定区）一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是（　　）
A．12：8＝6：4 B．4：6＝8：12 C．12：6＝8：4 D．4：8＝6：12
【思路引导】设一个外项是x，则另一个外项是3x，根据两个外项的和是16，列方程求出两个外项；再分两种情况：①当第一个外项是4，第二个外项是12时，②当第一个外项是12，第二个外项是4时，分别求出两内项，写出比例式即可。
【完整解答】解：设一个外项是x，则另一个外项是3x，根据题意列方程
x+3x＝16
4x＝16
x＝4
另一个外项是：4×3＝12
①当第一个外项是4，第二个外项是12时，
因为两个比的比值是，
所以第一个内项是：4÷＝6
第二个内项是：12×＝8
所以这个比例式是：4：6＝8：12
②当第一个外项是12，第二个外项是4时，
因为两个比的比值是，
所以第一个内项是：12÷＝18
第二个内项是：4×＝
所以这个比例式是：12：18＝：4
故选：B。
二．填空题
5．（2016 宁波模拟）参加数学能力竞赛第一轮比赛的男、女生人数之比是4：3，所有参加第二轮比赛的91人中男、女生人数之比是8：5，第一轮中被淘汰的男、女生人数之比是3：4，那么参加第一轮比赛的学生共有　119　人。
【思路引导】男生的录取数是91×＝56人，女生的录取数是91﹣56＝35人，设男生参加考试人数为4x，女生为3x，则可列方程：（4x﹣56）：（3x﹣35）＝3：4；进行解答，进而得出结论。
【完整解答】解：设男生参加考试人数为4x，女生为3x，列方程得：
（4x﹣91×）：（3x﹣91×）＝3：4，
（4x﹣56）：（3x﹣35）＝3：4，
（4x﹣56）×4＝（3x﹣35）×3，
16x﹣224＝9x﹣105，
16x﹣9x＝224﹣105，
7x＝119，
x＝17，
所以总人数有：17×（4+3）＝119（人），
答：参加第一轮比赛的学生共有119人。
故答案为：119人。
6．把长方形的每条边放大到原来的5倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是　5：1　；把底9厘米、高6厘米的三角形按1：3的比缩小后，三角形的底是　3　厘米，高是　2　厘米．
【思路引导】（1）设原来长方形长和宽分别是a和b，放大后的长方形长和宽分别是5a和5b，用放大后的长方形长和宽分别比上原来长方形长和宽即可解答．
（2）用三角形的底和高分别除以3即可得到缩小后三角形的底和高．
【完整解答】解：（1）设原来长方形长和宽分别是a和b，放大后的长方形长和宽分别是5a和5b，
5a：a＝5：1，
5b：b＝5：1，
答：放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是5：1．
（2）9÷3＝3（厘米）
6÷3＝2（厘米）
答：三角形的底是3厘米，高是2厘米．
故答案为：5：1，3，2．
7．（2021 宁波）右边是一个零件的设计图，每个小格都是边长为1cm的正方形，这
个零件的体积是 　25.12　cm 。如果把设计图按2：1放大，那么这
个零件的体积就是 　200.96　cm 。
【思路引导】根据题意可知，这是一个圆锥，底面半径是2厘米，高是6厘米，求这个圆锥的体积，根据圆锥的体积＝底面积×高×即可解答；如果把设计图按2：1放大，则这个圆锥的底面半径和高都分别扩大2倍，即底面半径是2×2＝4（厘米），高是6×2＝12（厘米），再根据圆锥的体积公式，即可求出放大后的体积。
【完整解答】解：3.14×2×2×6×
＝12.56×2
＝25.12（立方厘米）
2×2＝4（厘米），高是6×2＝12（厘米）
3.14×4×4×12×
＝3.14×16×4
＝3.14×64
＝200.96（立方厘米）
答：这个零件的体积是25.12cm 。如果把设计图按2：1放大，那么这个零件的体积就是200.96cm 。
故答案为：25.12，200.96。
8．（2021 苏州）在比例尺是1：3000000的地图上，量得A、B两地的距离是5厘米，A、B两地相距 　150　千米。一辆轿车和一辆客车同时从A地出发，轿车每小时行驶60千米，则客车每小时行45千米，当轿车到达B地时，两车相距 　37.5　千米。
【思路引导】先求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”
代入数值求出实际距离，然后根据时间＝路程÷速度，求出轿车和客车行驶的时间，进而求出两车相距的路程。
【完整解答】解：5÷＝15000000（厘米）
15000000厘米＝150千米
150÷60＝2.5（小时）
150﹣2.5×45
＝150﹣112.5
＝37.5（千米）
答：两车相距37.5千米。
故答案为：150、37.5。
9．（2021春 汉川市期中）一列长a米的火车匀速行驶，先用21秒通过256米长的隧道（即车头进入隧道到车尾离开出口），又用16秒的时间通过一个长96米的隧道，根据以上信息，写一个比例：　（a+256）：21＝（a+96）：16　。
【思路引导】分别求出两次通过隧道的速度，根据火车匀速行驶即速度相等，写出比例即可。
【完整解答】解：火车通过第一个隧道的速度：（a+256）÷21
火车通过第二个隧道的速度：（a+96）÷16
因为火车匀速行驶，所以（a+256）÷21＝（a+96）÷16，即（a+256）：21＝（a+96）：16。
故答案为：（a+256）：21＝（a+96）：16。（答案不唯一）
三．判断题
10．（2021 宁津县）图上距离总是比实际距离小．　×　（判断对错）
【思路引导】比例尺实际需要，可分放大和缩小两种比例尺，放大型的比例尺，图上距离要比实际距离大，据此就可作答．
【完整解答】解：因为放大型的比例尺，图上距离要比实际距离大，
所以“图上距离总是比实际距离小”的说法是错误的．
故答案为：×．
11．（2021春 嘉祥县期中）一个正方形按3：1放大后，周长和面积都扩大了3倍．　×　（判断对错）
【思路引导】依据正方形的面积公式可知，边长（周长）扩大3倍，则其面积应扩大9倍，从而能判断正误．
【完整解答】
解：把一个正方形按3：1的比例放大后，周长扩大到原来的3倍．而面积要扩大到原来的9倍．
故答案为：×．
四．计算
12．（2020 农安县）解比例
x：＝18：0.2 ＝ 1.2：x＝5：1.5
4：9＝x：3.6 ＝ ：＝x：．
【思路引导】（1）先根据比例的基本性质，把原式转化为0.2x＝18×，再根据等式的性质，在方程两边同时除以0.2求解；
（2）先根据比例的基本性质，把原式转化为9x＝4×18，再根据等式的性质，在方程两边同时除以9求解；
（3）先根据比例的基本性质，把原式转化为5x＝1.2×1.5，再根据等式的性质，在方程两边同时除以5求解；
（4）先根据比例的基本性质，把原式转化为9x＝4×3.6，再根据等式的性质，在方程两边同时除以9求解；
（5）先根据比例的基本性质，把原式转化为27x＝18×9，再根据等式的性质，在方程两边同时除以27求解；
（6）先根据比例的基本性质，把原式转化为x＝，再根据等式的性质，在方程两边同时除以求解．
【完整解答】解：（1）x：＝18：0.2
0.2x＝18×
0.2x÷0.2＝18×÷0.2
x＝22.5；
（2）＝
9x＝4×18
9x÷9＝4×18÷9
x＝8；
（3）1.2：x＝5：1.5
5x＝1.2×1.5
5x÷5＝1.2×1.5÷5
x＝0.36；
（4）4：9＝x：3.6
9x＝4×3.6
9x÷9＝4×3.6÷9
x＝1.6；
（5）＝
27x＝18×9
27x÷27＝18×9÷27
x＝6；
（6）：＝x：
x＝
x÷＝÷
x＝．
五．应用题
13．（2013春 武威校级期末）在比例尺是1：5000000的地图上量得甲、乙两地间的距离是6厘米，如果甲乙两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行驶48千米，乙车每小时行驶52千米，几小时两车相遇？
【思路引导】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，列式求得A、B两地的实际距离，再根据路程÷速度和＝相遇时间，列式解答即可．
【完整解答】解：6÷＝30000000（厘米），
30000000厘米＝300千米，
300÷（48+52）
＝300÷100
＝3（小时）；
答：3小时两车相遇．
14．下面是小明坐出租车去展览馆的路线图．已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，以后每增加1千米车费就增加1.4元．请你按图中提供的信息算一算，小明完成这次参观一共要花多少元出租车费？
【思路引导】先用“4+8”求出小明从家到文化馆再到展览馆的图上距离，然后根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计算出小明从家到展览馆的实际距离；用“小明从家到展览馆的实际距离﹣3”求出超过3千米的路程，根据“单价×数量＝总价”求出超出3千米增加的车费，然后后根据“起步价+增加的车费＝租车总费用”，由此解答即可．
【完整解答】解：（4+8）÷
＝12×250000
＝3000000（厘米）
3000000厘米＝30千米
8+（30﹣3）×1.4
＝8+37.8
＝45.8（元）
答：小明完成这次参观一共要花45.8元出租车费．
15．在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两地的距离是20厘米，两列火车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行54千米，乙车每小时行46千米，几小时后两车相遇？
【思路引导】这道题是已知比例尺、图上距离，求实际距离，根据图上距离÷
比例尺＝实际距离列式求得实际距离，再根据“路程÷速度之和＝相遇时间”，即可解答．
【完整解答】解：20÷
＝20×4000000
＝80000000（厘米）
80000000厘米＝800千米
800÷（54+46）
＝800÷100
＝8（小时）
答：8小时后两车相遇．
六．解答题
16．（2021春 魏县期中）2022年第24届冬季奥运会将在北京和张家口联合举办，北京至张家口的距离约240m，在一幅冬奥会宣传图上，两地间的图上距离是80cm．
（1）这幅宣传图的比例尺是多少？
（2）北京至张家口将建设京张高铁，在宣传图上京张高铁全线长58cm，那么京张高铁全长多少千米？
【思路引导】（1）比例尺是指图上距离与实际距离的比，即比例尺＝图上距离：实际距离，写出这个比后进行化简即可求解；
（2）已知图上距离是58厘米，根据实际距离＝图上距离除以比例，求出实际距离，再换算单位即可．
【完整解答】解：（1）80cm：240 m
＝80cm：24000000cm
＝1：300000
答：这幅宣传图的比例尺是1：300000．
（2）58÷＝17400000（cm）
17400000cm＝174 m
答：京张高铁全长174 m．2021-2022学年北师大版六年级下册
第二单元 比例
知识点一：比例的认识
1.只有比值相等的两个比才能组成比例。
2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或，那么ad=bc。
3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系
知识点二：比例的应用
1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。
2.解比例实际上就是解方程，要做好检验
知识点三：比例尺
1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际距离的比。
2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。
按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。
3.比例尺的应用
图上距离：实际距离=比例尺或
图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺
4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。
5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图
知识点四：图形的放大和缩小
1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。
2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。
3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩小
=
考点1：比例的认识
【典例分析01】（2021六上·定州期中）下面各比中，与 ∶ 能组成比例的是（　　）。
A．4∶5 B．5∶4 C．1∶20
【答案】B
【完整解答】解：：=÷=；
选项A，4：5=4÷5=，即错误；
选项B，5：4=5÷4=，即正确；
选项C，1：20=1÷20=，即错误。
故答案为：B。
【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例。本题先计算出：的比值（比的前项÷后项）；再计算出各个选项中各个比的比值，找出与：的比值相等的比即可得出答案。
【典例分析02】x和4、5、6恰好能组成比例，x可能是　 　、　 　或　 　。
【答案】；；
【完整解答】解：4×5÷6=，4×6÷5=，5×6÷4=，所以x可能是、或。
故答案为：；；。
【思路引导】组比例时，要用到比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，据此作答即可。
【变式训练01】图中给出的4个数据可以组成哪些比例？请写一写。（至少写2个）
小时，50：3表示师傅每个小时加工的个数，80：x也表示师傅每个小时加工的个数，据此可以列出比例50：3=80：x，然后解出x即可。
【变式训练02】（2021六下·东川期中）
（1）写出两个比值是3的比，再组成比例是　 　。
（2）如果a×4＝b×6，那么a：b＝　 　：　 　。
考点2：比例的应用
【典例分析03】（2021六上·永川期中）解方程。
（1）
（2）+x=
（3） ：x=
【答案】（1）
解：x÷=÷
x=
（2） +x=
解：x=-
x=÷
x=
（3） ：x=
解：3x=×4
x=÷3
x=
【思路引导】解方程要掌握等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，同时乘或除以同一个非0数，等式仍然成立。解比例时根据比例的基本性质把比例写成两个内项积等于两个外项积的形式，然后根据等式的性质求出未知数的值。
【典例分析02】（2020·南召）比例的两个內项分别是2和5，两个外项分别是x和2.5，可以列出多个比例，其中一个是x∶2=5∶2.5，解比例得x=4。（ ）
【答案】（1）正
【完整解答】解：x：2=5：2.5
2.5x=10
x=10÷2.5
x=4
故答案为：正确。
【思路引导】比例的基本性质，在比例里，两个内项积等于两个外项积；依据比例的基本性质解比例。
【变式训练03】已知a：7=9：b，下面的式子中不一定能成立的是（　　）。
A．a：b=7：9 B．7：b=a：9 C．ab=63 D．7：a=b：9
【变式训练04】（2020六上·南岗期末）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为　 　.
考点3：比例尺
【典例分析05】（2021六下·龙华月考）一种长5毫米的零件，画在图纸上长10厘米，这幅图的比例尺是（　　）。
A．1：2 B．2：1 C．1：20 D．20：1
【答案】D
【完整解答】解：10厘米=100毫米
100÷5=20：1
故答案为：D。
【思路引导】比例尺=图上距离÷实际距离。
【典例分析06】（2020·滕州）一个零件长3毫米，画在一幅图上长30厘米，这幅图纸的比例尺是1：10。（　　）
【答案】（1）错误
【完整解答】解：3毫米：30厘米
=3毫米：300毫米
=1：100
故答案为：错误。
【思路引导】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
【变式训练05】一种精密零件的长是5毫米，把它画在比例尺是12：1的零件图上，长应画　 　厘米。
【变式训练06】在比例尺是1：3500000的地图上，量得甲、乙两地间的距离是2.4厘米，在另一幅地图上量得这两地间的距离是2.8厘米。求另一幅地图的比例尺。
考点4：图形的放大和缩小
【典例分析07】（2021六下·菏泽期中）将一个长8cm，宽4cm的长方形按4：1放大后，周长是　 　cm，面积是　 　cm2。
【答案】96；512
【完整解答】解：8×4=32（厘米），4×4=16（厘米），
（32+16）×2=48×2=96（厘米）
32×16=512（平方厘米）
故答案为：96；512。
【思路引导】长×4=扩大后的长，宽×4=扩大后的宽，（扩大后的长+扩大后的宽）×2=扩大后的周长，扩大后的长×扩大后的宽=扩大后的面积。
【典例分析08】（2021六下·颍上期中）将一个底是5厘米，高是3厘米的三角形按3：1放大，得到图形的面积是　 　平方厘米。
【答案】67.5
【完整解答】
解：5×3=15（厘米）
3×3=9（厘米）
15×9÷2
=135÷2
=67.5（平方厘米）
故答案为：67.5。
【思路引导】得到图形的面积=底×高÷2；其中，底=原来的底×3，高=原来的高×3。
【变式训练07】按要求画图。
（1）用数对表示三角形①顶点A的位置：A　 　。
（2）将三角形①围绕A点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
（3）将旋转后的图形向右平移5格，画出平移后的图形。
（4）以MN所在的直线为对称轴，画出与平移后三角形成轴对称的图形。
（5）将三角形①按1：2的比缩小，在三角形①下面画出缩小后的图形。
【变式训练08】实践操作。
（1）以直线h为对称轴，画出图形A的另一半，使其成为轴对称图形。
（2）画出图形B按2：1的比放大后的图形。
（3）画出将图形C绕O点顺时针旋转90°，再向左平移5格后的图形。
基础练
一．选择题
1．（2021春 黄州区校级期中）将一个周长12厘米的正方形变换成面积为36平方厘米的正方形，是按（　　）的比放大的。
A．1：2 B．2：1 C．3：1 D．4：1
2．（2021 邹城市开学）有一种手表零件长5mm，在设计图纸上的长度是10cm，这幅设计图纸的比例是（　　）
A．1：20 B．20：1 C．2：1 D．15：1
3．（2021 南山区）在线段比例尺中，下面说法正确的是（　　）
A．图上距离是实际距离的
B．图上1厘米表示实际距离5000000厘米
C．实际距离是图上距离的100倍
D．图上1厘米表示实际距离100000厘米
4．（2021 黔东南州）一种微型零件长0.5毫米，画在一幅图上长5厘米，这幅图的比例尺是（　　）
A．1：10 B．100：1 C．1：100 D．1：1000
二．填空题
5．（2021秋 乐昌市期末）师徒两人生产一批零件，两人生产个数的比是5：3，已知徒弟生产150个，师傅生产　 　个．
6．（2021 大邑县）一幅地图的比例尺是千米，在这幅地图上测得甲、乙两地相距6厘米，如果一辆汽车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，那么这辆汽车需要 　 　小时才能到达乙地。
7．（2020秋 成安县期末）在一幅地图上，4cm长的线段表示8m的实际距离，这幅地图的比例尺是 　 　。
8．（2021
淮安）在一幅地图上量得甲乙两地的距离是6厘米，实际距离是180千米，这幅地图的比例尺是 　 　：如果乙丙两地之间的距离是240千米，在这幅地图上应画 　 　厘米。
三．判断题
9．（2021秋 沈丘县期末）在比例尺中，实际距离一定比图上距离大。 　 　（判断对错）
10．（2021 淮滨县）按1：2的比例尺把一个平行四边形画在图纸上，只是图形缩小了，形状不变。 　 　（判断对错）
11．（2021 渭南）一个圆锥形的谷堆，它的底面半径是8m，把它画在图上量得半径长为3.2cm，这幅图的比例尺是1：250。 　 　（判断对错）
四．计算题
12．（2021秋 曲阳县期中）解比例。
：x＝： 3：5＝4.2：x ＝
五．应用题
13．（2021 旌阳区）在比例尺为1：1000000的地图上量得甲地到乙地的高速公路长14cm。王叔叔驾车从甲地的高速公路入口驶入前往乙地，1小时后，已经行驶的路程与剩下的路程之比是5：2。此时，王叔叔离乙地的高速公路出口还有多少千米？
14．（2021 巨野县）在比例尺是1：6000000的地图上，量得青岛到上海的距离是10厘米，张阿姨上午9时以100千米/时的速度从青岛开出去往上海，求张阿姨到达上海的时刻。
15．（2021春 沭阳县期中）在比例尺是的地图上，量得北京到天津的距离是28厘米。北京到天津的实际距离是多少千米？
16．（2021 路南区）两列火车分别从两城相对开出，两车同时出发，2小时后在途中相遇。如果画在比例尺是1：5000000的地图上，两城之间的图上距离是12厘米。甲乙两车的速度比是3：2，甲车每小时行多少千米？
提高练
一．选择题
1．（2021 土默特左旗）下面的图形是按一定比例缩小的，则x＝（　　）。
A．10 B．8 C．7.5 D．7
2．（2021春 盐城期中）用□、4、6、12这四个数可以组成比例，□不可能是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．18
3．（2021春 阳信县期中）把一张长方形的图按1：20的比例缩小后，长和宽的比（　　）
A．不变 B．变了 C．无法确定
4．（2021 永定区）一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是（　　）
A．12：8＝6：4 B．4：6＝8：12 C．12：6＝8：4 D．4：8＝6：12
二．填空题
5．（2016 宁波模拟）参加数学能力竞赛第一轮比赛的男、女生人数之比是4：3，所有参加第二轮比赛的91人中男、女生人数之比是8：5，第一轮中被淘汰的男、女生人数之比是3：4，那么参加第一轮比赛的学生共有　 　人。
6．把长方形的每条边放大到原来的5倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是　 　；把底9厘米、高6厘米的三角形按1：3的比缩小后，三角形的底是　 　厘米，高是　 　厘米．
7．（2021 宁波）右边是一个零件的设计图，每个小格都是边长为1cm的正方形，这
个零件的体积是 　 　cm 。如果把设计图按2：1放大，那么这
个零件的体积就是 　 　cm 。
8．（2021 苏州）在比例尺是1：3000000的地图上，量得A、B两地的距离是5厘米，A、B两地相距 　 　千米。一辆轿车和一辆客车同时从A地出发，轿车每小时行驶60千米，则客车每小时行45千米，当轿车到达B地时，两车相距 　 　千米。
9．（2021春 汉川市期中）一列长a米的火车匀速行驶，先用21秒通过256米长的隧道（即车头进入隧道到车尾离开出口），又用16秒的时间通过一个长96米的隧道，根据以上信息，写一个比例：　 　。
三．判断题
10．（2021 宁津县）图上距离总是比实际距离小．　 　（判断对错）
11．（2021春 嘉祥县期中）一个正方形按3：1放大后，周长和面积都扩大了3倍．　 　（判断对错）
四．计算题
12．（2020 农安县）解比例
x：＝18：0.2 ＝ 1.2：x＝5：1.5
4：9＝x：3.6 ＝ ：＝x：．
五．应用题
13．（2013春 武威校级期末）在比例尺是1：5000000的地图上量得甲、乙两地间的距离是6厘米，如果甲乙两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行驶48千米，乙车每小时行驶52千米，几小时两车相遇？
14．下面是小明坐出租车去展览馆的路线图．已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，以后每增加1千米车费就增加1.4元．请你按图中提供的信息算一算，小明完成这次参观一共要花多少元出租车费？
15．在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两地的距离是20厘米，两列火车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行54千米，乙车每小时行46千米，几小时后两车相遇？
六．解答题
16．（2021春 魏县期中）2022年第24届冬季奥运会将在北京和张家口联合举办，北京至张家口的距离约240m，在一幅冬奥会宣传图上，两地间的图上距离是80cm．
（1）这幅宣传图的比例尺是多少？
（2）北京至张家口将建设京张高铁，在宣传图上京张高铁全线长58cm，那么京张高铁全长多少千米？

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