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导数第一问题型练习
题型一：切线
1．（2022·山西·二模（理））已知．
(1)若的图象在x＝0处的切线过点，求a的值；
【答案】(1)a＝1
(1)因为，
所以，
所以，，
因为的图象在x＝0处的切线过点，
所以，即a＝1．
2．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数（是自然对数的底数）.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)；
(1)当时，，则，
求导得，有，于是得，
所以所求切线方程为：.
3．（2022·云南·二模）己知e是自然对数的底数，，常数a是实数.
(1)设，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
(1)设，则，
∴，，
∴，
∴曲线在点处的切线方程头，即．
∴曲线在点处的切线方程为．
4．（2022·云南·二模（理））已知e是自然对数的底数，．
(1)设，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
(1)设，则，
∴，，
∴，
∴曲线在点处的切线方程头，即．
∴曲线在点处的切线方程为．
5．（2022·天津三中一模）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
【答案】(1)
(1)解：当时，，该函数的定义域为，
则，所以，，，
此时，曲线在处的切线方程为，即.
6．（2022·甘肃兰州·模拟预测）已知函数，为自然对数的底数．
(1)求在处的切线方程；
【答案】(1)
(1)由，得，则
，，
所以在处的切线方程为，
7．（2022·广西·模拟预测）设函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
【答案】(1)
(1)函数的定义域为R，.
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得：.
8．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
(1)依题意，，
则，而，
故所求切线方程为，整理得，
9．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．
(1)若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程；
【答案】(1)
(1)当时，，，
则曲线在处切线的斜率为，
又，故切点为，因此切线方程为.
10．（2022·广西·模拟预测（理））设函数，曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求的值；
【答案】(1)
(1)，由于曲线在点处的切线与直线垂直，
所以.由于在区间上恒成立，
所以在区间上递增，
所以.
11．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
【答案】(1)
(1)当时，，得，则，，
所以在处的切线方程为，即.
12．（2022·北京通州·一模）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
(1)当时，，．
，，即切线斜率．
所以切线方程为．
题型二单调区间
1．（2022·山西吕梁·二模（理））已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
(1)当时，，定义域为，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
2．（2022·湖北·高三期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)递减区间，递增区间；
(1)函数的定义域为，求导得：，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
3．（2022·广西南宁·二模（理））设函数，．
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)增区间为、，减区间为
(1)解：当时，，．
则．
由得，，（舍去）．
当时，成立，则在、上单调递增；
当时，成立，则在上单调递减．
综上，当时，函数的增区间为、，减区间为．
4．（2022·广东广州·二模）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间；
(1)的定义域为，
由于，则，，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
则．
∴函数的单调递减区间为，无单调递增区间﹒
5．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）设函数．
(1)若，求的单调区间；
【答案】(1)的增区间为，减区间为
(1)当时，（），则，
由，得，
由，得，
所以 的增区间为，减区间为
6．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）已知实数，函数，其中是自然对数的底数．
(1)当时，求函数的单调区间；
【答案】(1)递增区间为，递减区间为
(1)时，，
则，令，得，
时，，时，，
故的递增区间为，递减区间为．
7．（2022·湖北·安陆第一高中高三期中）已知函数在处切线与直线垂直．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)的单调区间为和
(1)解：，
因为函数在处切线与直线垂直，
所以，解得，
所以，
，
令，则，令，则，
所以在单调递减，单调递增，
所以的单调区间为和；
8．（2022·山西·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(1)解：，
令，则或，
若，，
所以函数在上为增函数；
若，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
若，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
综上所述，当时，函数在上为增函数；
当时，函数在和上递增，在上递减；
当时，函数在和上递增，在上递减；
9．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间
【答案】(1)的减区间为，增区间为
(1)的定义域为，
若，当时，，，所以，递减；
当时，，，所以，递增
若，当时，，，所以，递减；
当时，，，所以，递增.
综上，时，的减区间为，增区间为
10．（2022·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
(1)解：由题意得.
当时，，故函数在区间上单调递增；
当时，在区间上，，在区间上，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
11．（2022·四川泸州·三模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(1)由题意知：，
当时，因为，所以在上恒成立，所以在上是减函数；
当时，由得：，所以，所以在
上是增函数，在上是减函数.
12．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(1)解：因为，．
所以，
当时，，函数在上单调递增．
当时，令，解得，
当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上可得：当时在上单调递增．
当时在上单调递减，在上单调递增．
题型三：极致点，零点，最值问题
1．（2022·河北·模拟预测）已知函数，．
(1)求函数在上的极值；
【答案】(1)当时，取得极大值且，无极小值
(1)由题知，所以，
令，解得：.故当变化时，的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
所以当时，取得极大值，，无极小值.
2．（2022·吉林·延边州教育学院一模）已知函数．
(1)讨论函数的极值点个数；
(1)，
①当时，，所以在上单调递增，无极值．
②当时，令，得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
此时只有一个极值点，
综上所述，当时，在上无极值点；
当时，函数在上只有一个极值点．
3．（2022·重庆·模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(1)
；
即函数在上单调递减，在上单调递增
所以的极小值为，无极大值.
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））已知函数在处的切线斜率为（e为自然对数的底数）．
(1)求函数的最值；
【答案】(1)，无最大值；
(1)∵，
∴，
由，得，
∴，
∴，
由，可得或，由，可得，
∴函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，又，当时，，且，
∴，无最大值；
5．（2022·河南·三模）已知函数．
(1)讨论极值点的个数；
(1)由题意可知，，
对于二次函数，．
当时，，恒成立，f(x)在单调递减，有0个极值点；
当时，二次函数有2个大于零的零点，由数形结合可知，有2个极值点；
当时，二次函数只有1个大于零的零点，由数形结合可知，有1个极值点．
6．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值；
【答案】(1)当时，函数无极值，当时，函数有极小值，无极大值；
(1)解：∵，
∴，
当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时无极值，
当时，由得，由得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，函数有极小值，
∴当时，函数无极值，
当时，函数在处取得极小值，无极大值；
7．（2022·四川绵阳·三模（文））函数．
(1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(1)的定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取得最小值，为，
因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，
所以若函数有2个零点，则，解得.
8．（2022·四川绵阳·三模（理））函数．
(1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(1)的定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取得最小值，为，
因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，
所以要使函数有2个零点，则，解得.
9．（2022·四川省泸县第四中学模拟预测）设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.
(1)求函数的极值；【答案】(1)极小值为，没有极大值
(1)，则，，
故在处的切线方程，
把点代入切线方程可得，，，，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值，没有极大值.
10．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知函数
(1)求在上的极值；【答案】(1)极小值0，无极大值；
(1)由题得，而，当时，在单调递减；
当时，在单调递增；
所以极小值，无极大值.
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