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必考点03 导数的运算及几何意义
题型一 空间几何体的结构特征
例题1（2021·清远市清新区凤霞中学高三期中）下列求导数的运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题技巧提炼】
1．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
2．导数的运算法则
(1)函数和、差、积、商的导数
若f′(x)，g′(x)存在，则有
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③′＝(g(x)≠0).
(2)简单复合函数的导数
由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型二 求切线方程
例题1（2020 新课标Ⅰ卷T6）函数的图象在点，（1）处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【解题技巧提炼】
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0).
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
题型三 求参数的范围
例题1（2021·山师大附中高三模拟）若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
【解题技巧提炼】
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
题型四 公切线问题
例题1（2021新高考1卷T7）若过点可以作曲线的两条切线，则　　
A． B． C． D．
【解题技巧提炼】
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.
题型一 导数的运算
1.（2021·赤峰二中高三三模）函数的图象在点处的切线方程是，则__________.
2.已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ .
题型二 求切线方程
1.（湖南省常德市2021届高三下学期一模数学试题）函数在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三 求参数范围
1.021·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
题型四 公切线问题
1.苏省苏州市第一中学2020-2021学年高三下学期期中数学试题）设曲线与有一条斜率为1的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于
A． B． C． D．
3．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
4．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数，，则a=( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知曲线：在处的切线与曲线：在处的切线平行，令，则在上（ ）
A．有唯一零点 B．有两个零点 C．没有零点 D．不确定
二、多选题
9．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在处取得极大值
C．当时， D．的图象关于点中心对称
10．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数在定义域内无极值
B．函数在点处的切线方程为
C．函数在定义域内有且仅有一个零点
D．函数在定义域内有两个零点，，且
12．已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
三、填空题
13．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
14．已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足，则a=___________.
15．已知，，若，则________．
16．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
四、解答题
17．求曲线在处的切线的倾斜角.
18．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）
（4）.
19．若一物体的运动方程如下：（位移的单位：，时间的单位：）
求：（1）物体在内的平均速度；
（2）物体的初速度；
（3）物体在时的瞬时速度.
20．设函数，.
（1）证明：函数的图象经过一个定点，并求出点的切线方程；
（2）若，求函数在的值域.
（参考数值：）
21．已知函数，其中.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）如果对于任意，且，都有，求a的取值范围.
22．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若是函数的极值点，且，求证：.
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必考点03 导数的运算及几何意义
题型一 空间几何体的结构特征
例题1（2021·清远市清新区凤霞中学高三期中）下列求导数的运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】A选项，相加即可，正确；
B选项系数不变，只对求导，正确
C选项是除法的求导公式，，故C错误；
D选项是乘法的求导公式，，故D错误．故选：AB
【解题技巧提炼】
1．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
2．导数的运算法则
(1)函数和、差、积、商的导数
若f′(x)，g′(x)存在，则有
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③′＝(g(x)≠0).
(2)简单复合函数的导数
由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型二 求切线方程
例题1（2020 新课标Ⅰ卷T6）函数的图象在点，（1）处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，得，（1），
又（1），函数的图象在点，（1）处的切线方程为，即．故选．
【解题技巧提炼】
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0).
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
题型三 求参数的范围
例题1（2021·山师大附中高三模拟）若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[2，＋∞)
【解析】直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋－2，x>0.
又4x＋≥2＝4，当且仅当x＝时取“＝”．∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞)．
【解题技巧提炼】
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
题型四 公切线问题
例题1（2021新高考1卷T7）若过点可以作曲线的两条切线，则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即取得坐标在轴上方，
如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在轴或下方时，只有一条切线．
如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；
由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选．
【解题技巧提炼】
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.
题型一 导数的运算
1.（2021·赤峰二中高三三模）函数的图象在点处的切线方程是，则__________.
【答案】-2
【解析】由题意，，又，∴.
2.已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ .
【答案】e2
【解析】f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝＋ae－x－axe－x，
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2.
题型二 求切线方程
1.（湖南省常德市2021届高三下学期一模数学试题）函数在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，可得，
所以在处的切线的斜率为：2，
切点坐标为：，所以切线方程为：，即.故选：C
题型三 求参数范围
1.021·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
【答案】A
【解析】f′(x)＝2e2x－2ex＋a，依题意知f′(x)＝3有两个实数解，
即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，
令t＝ex，∴t>0，∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有两个实数解，
∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的图象有两个交点，
φ(t)＝－2t2＋2t＋3＝－2＋，∵t>0，∴φ(t)max＝φ＝，
又φ(0)＝3，故3题型四 公切线问题
1.苏省苏州市第一中学2020-2021学年高三下学期期中数学试题）设曲线与有一条斜率为1的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又因为切线的斜率为1，
所以，解得，所以切线方程为，因为，
所以，解得，代入切线方程得，
再将代入，解得，故选：B.
一、单选题
1．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】时，，故切点为，
，当时，，
所以切线方程为，即.故选：A
2．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，令得，，故选D.
3．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
将代入得，故选D．
4．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：B.
5．已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，故选：D.
6．若函数，，则a=( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由，得，
又，所以，则．故选：D.
7．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.
②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或 (舍去)，
∴，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.
故选：D
8．已知曲线：在处的切线与曲线：在处的切线平行，令，则在上（ ）
A．有唯一零点 B．有两个零点 C．没有零点 D．不确定
【答案】A
【解析】∵，∴，
又，∴，
由题设知，，即，∴，
则，
∴，，
令，，则，
当时，，即函数单调递减；
当时，，即函数单调递增；
∴在上的最小值为，
∴，则，
∴在上单调递增，且.
在上有唯一零点，
故选：A．
二、多选题
9．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在处取得极大值
C．当时， D．的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【解析】A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；
故选：ABD.
10．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，
即.故选：AB
11．已知函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数在定义域内无极值
B．函数在点处的切线方程为
C．函数在定义域内有且仅有一个零点
D．函数在定义域内有两个零点，，且
【答案】ABD
【解析】A，函数定义域为，
，
在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确；
B，由，则，
又，
函数在点处的切线方程为
即，故B正确；
C，在上单调递增，
又，
，
所以函数在存在，使，
又，即，
且，
即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误.
D，由选项C可得，所以，故D正确.
故选：ABD
12．已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】AC
【解析】∵ ，
∴ ，
可令切点的横坐标为，且，
可得切线斜率即，
由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，
且可知，
则，即，
解得：，
所以的取值可能为，.
故选：AC.
三、填空题
13．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】若，则是偶函数，
但，所以不是奇函数；能满足“若为偶函数，则为奇函数”为假命题.故答案为：.
14．已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足，则a=___________.
【答案】e
【解析】f(x)=logax(a>0且a≠1)，则f′(x)=，
∴=1，∴a=e，
故答案为：e.
15．已知，，若，则________．
【答案】1
【解析】，，求导，且，
，即，
解得：或 (舍去)．故．
故答案为：1
16．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.故答案为：①③④
四、解答题
17．求曲线在处的切线的倾斜角.
【答案】
【解析】，
故时，即切线的斜率为，故切线的倾斜角为.
故答案为：.
18．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）
（4）.
【解析】（1），
.
（2）.
（3），
.
（4）
.
19．若一物体的运动方程如下：（位移的单位：，时间的单位：）
求：（1）物体在内的平均速度；
（2）物体的初速度；
（3）物体在时的瞬时速度.
【解析】（1）由题意，函数，
因为物体在内的时间变量，
物体在内的位移变化量，
所以物体在内的平均速度.
（2）求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度，
因为物体在附近的平均速度，
所以物体在处的瞬时速度，
即物体的初速度为.
（3）物体在时的瞬时速度，即为函数在处的瞬时变化率.
因为在附近的平均变化率，
所以在的瞬时变化率为，
即物体在时的瞬时速度为.
20．设函数，.
（1）证明：函数的图象经过一个定点，并求出点的切线方程；
（2）若，求函数在的值域.
（参考数值：）
【解析】（1）证明：
过定点，故令，则
故图象过定点
，∴
因此在点处的切线方程为
即
（2）即，∴
此时，
当时，，在区间上递减；
当时，，在区间上递增；
∴
而
∴
∴
综上所述，在上的值域为
21．已知函数，其中.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）如果对于任意，且，都有，求a的取值范围.
【解析】（1）由题意，得时，，
所以，又因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为；
（2）因为对于任意，且，都有，
所以是定义在上的增函数；
当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，为使其在上单调递增，只需；
当时，，
则，
令，解得.
随着x变化时，和的变化情况如下：
x
－ 0 ＋
↘ ↗
即函数在上单调递减，在上单调递增，且.
为使其在上单调递增，只需；
又因为，
即时，的最大值，必然小于时，的最小值；
综上，满足题意的的取值范围为.
22．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若是函数的极值点，且，求证：.
【解析】 (1)若，则，
∴，
又，，
∴切线的方程为，
即；
(2)
，
∵函数的定义域为，∴，
令，，
①当时，，，在上单调递增，无极值，不符合题意；
②当时，，∴在上单调递增，
当时，，，
∴存在，使得，即，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
∴当时，函数的极小值
，
令，则，
∴在上单调递减，又∵，
∴，
令，
故在单调递增，
故当，有
令，
故在单调递减，
故当，有
∴.
则.
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