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必考点05 排列组合
题型一 排列问题
例题1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解题技巧提炼】
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
题型二 组合问题
例题1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
【解题技巧提炼】
组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
题型三 排列组合综合应用
例题1(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．
(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．
例题2(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．
(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【解题技巧提炼】
解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类；
(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．
分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
题型一 排列问题
1．高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)
A．1 800　　　　　　　　 B．3 600
C．4 320 D．5 040
2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　)
A．250个 B．249个
C．48个 D．24个
3．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　　)
A．1 108种 B．1 008种
C．960种 D．504种
题型二 组合问题
1．从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(　　)
A．72　　　　　　　　　 B．70
C．66 D．64
2．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
3．(2021·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．
题型三排列组合综合问题
1．(2021·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)
A．36种　　　　　　　 B．24种
C．22种 D．20种
2．(2022·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有(　　)
A．150 B．126
C．90 D．54
【答案】B
【解析】根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有·A种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C··A种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C·A种方法．故满足题意的不同安排方案数共有C··A＋C·A＝108＋18＝126.故选B.
3．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．
一、单选题
1．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的个家庭买了张连号的门票，其中甲家庭需要张连号的门票，乙家庭需要张连号的门票，剩余的张随机分到剩余的个家庭即可，则这张门票不同的分配方法的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是
A． B． C． D．
4．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男 女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（ ）
A．72种 B．108种 C．144种 D．210种
5．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有
A．60种 B．20种 C．10种 D．8种
6．对于满足的正整数n，（ ）
A． B． C． D．
7．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．11
二、多选题
9．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
10．下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．
11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
12．已知正方体.下列命题正确的是（ ）
A．正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对；
B．从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同的四面体；
C．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有36对；
D．若给正方体每个面着一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有96种.
三、填空题
13．从中任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为__________．
14．为迎接2022年北京冬奥会，将名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰个项目进行培训，每名志愿者分配到个项目，每个项目至少分配到名志愿者，则不同的分配方案共有________种．（用数字作答）
15．A，B两地间有如图所示的方格形道路网，甲沿路网随机选择一条最短路径从A地出发去往B地，则甲经过C地的概率为___________.
16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有______种．
四、解答题
17．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球 黄球 绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球 黄球 绿球的个数分别是多少？
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多少？
(3)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
18．现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排
（1）若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若要求排在正中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？
19．6个人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
20．某校足球队有高一学生6人，髙二学生5人，高三学生8人．
(1)若每个年级各选1名学生担任召集人，则有多少种不同的选法？
(2)若选派2人外出参观学习，要求这2人来自不同年级，则有多少种不同的选法？
21．7本不同的书分给5人，每人至少1本，共有多少种不同的分法？
22．某不透明纸箱中共有个小球，其中个白球，个红球，它们除了颜色外均相同.
（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出个红球的概率；
（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取次，记取到红球的次数为，求的分布列；
（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）
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必考点05 排列组合
题型一 排列问题
例题1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解析】(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．
【解题技巧提炼】
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
题型二 组合问题
例题1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
【解析】(1)从余下的34种商品中，
选取2种有C＝561(种)取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，
有C种或者C－C＝C＝5 984(种)取法．
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1种，
从15种假货中选取2种有CC＝2 100(种)取法．
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，
共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)法一：(间接法)
选取3种商品的总数为C，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
法二：(直接法)
共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
【解题技巧提炼】
组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
题型三 排列组合综合应用
例题1(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．
(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．
【答案】(1)60　(2)24
【解析】(1)2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A×A＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.
(2)根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有C×C×C＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．
例题2(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．
(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
[【答案】(1)90　(2)36　(3)360
[【解析】(1)先把6个毕业生平均分成3组，有＝15(种)方法．再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法．
(2)先把4名学生分为2,1,1共3组，有＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．
(3)将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法．
【解题技巧提炼】
解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类；
(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．
分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
题型一 排列问题
1．高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)
A．1 800　　　　　　　　 B．3 600
C．4 320 D．5 040
【答案】B
【解析】先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA＝3 600(种)．
2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　)
A．250个 B．249个
C．48个 D．24个
【答案】C
【解析】①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
3．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　　)
A．1 108种 B．1 008种
C．960种 D．504种
【答案】B
【解析】将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(种)．
题型二 组合问题
1．从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(　　)
A．72　　　　　　　　　 B．70
C．66 D．64
【答案】D
【解析】从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．
2．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
【答案】16
【解析】从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．
3．(2021·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．
【答案】40
【解析】若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案．
题型三排列组合综合问题
1．(2021·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)
A．36种　　　　　　　 B．24种
C．22种 D．20种
【答案】B
【解析】根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
2．(2022·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有(　　)
A．150 B．126
C．90 D．54
【答案】B
【解析】根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有·A种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C··A种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C·A种方法．故满足题意的不同安排方案数共有C··A＋C·A＝108＋18＝126.故选B.
3．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．
【答案】150
【解析】5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种)．
一、单选题
1．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为.从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为.
所以所求的概率，故选：B.
2．年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的个家庭买了张连号的门票，其中甲家庭需要张连号的门票，乙家庭需要张连号的门票，剩余的张随机分到剩余的个家庭即可，则这张门票不同的分配方法的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若甲、乙个家庭的张票连号，则有种不同的分配方法，
若甲、乙个家庭的张票不连号，则有种不同的分配方法，
综上，这张门票共有种不同的分配方法，故选：C.
3．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为，故选B.
4．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男 女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（ ）
A．72种 B．108种 C．144种 D．210种
【答案】C
【解析】∵每个村男 女干部各1名，∴可先安排男干部，共种，再安排女干部，共有种，∴共有种不同的安排方案故选：C.
5．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有
A．60种 B．20种 C．10种 D．8种
【答案】C
【解析】根据题意，先安排4盏不亮的路灯，有1种情况，排好后，有5个空位；在5个空位中任意选3个，插入3盏亮的路灯，有种情况，则不同的开灯方案有10种，故选C．
6．对于满足的正整数n，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为，
选取个数为，.故选：C．
7．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.故选：B
8．如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．11
【答案】C
【解析】从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形有两类：
第一类，两个中点和一个顶点构成的三角形，共有（个）；
第二类，三个中点构成的三角形，共有（个），
由分类加法计数原理，知面积为的三角形的个数为．
故选：C．
二、多选题
9．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】BD
【解析】若任意选科，选法总数为，A错误；
若化学必选，选法总数为，B正确；
若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误；
若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确．
10．下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．
【答案】ACD
【解析】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，
最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；
对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，
最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，
共有种，故B不正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；
对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：
①一人本，其他两人各本，共有；
②一人1本，一人2本，一人3本，共有种，
③每人2本，共有，
故共有种.
故选：ACD
11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
【答案】BCD
【解析】对A，如果甲，乙必须相邻，则可将甲乙先捆绑，考虑左右位置，共有2种情况，再将4个位置全排列，共有种排法，故A错误；
对B，分两种情况，①甲站中间时，共有种排法；②甲不站中间，先排甲，有3种情况，中间位置3选1，有3种情况，剩下3人全排列，有种情况，则共有种情况，甲不站在排头，乙不站在正中间，不同的排法共有种情况；
对C，甲乙不相邻且乙在甲的右边，按中间人数多少分类，当中间有1人时，有种；当中间有两人时，有种；当中间有3人时，有种排法，则共有36种排法；
对D，五人站好后，有6个空，剩下两人再逐一插空，共有种情况；
故答案为：BCD
12．已知正方体.下列命题正确的是（ ）
A．正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对；
B．从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同的四面体；
C．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有36对；
D．若给正方体每个面着一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有96种.
【答案】AD
【解析】先找出与棱所在直线异面其它棱所在直线：，，，共4条，相互异面的共（对，故对；
从8个顶点取4个顶点的组合数为：，由正方体的6个面和6个对角面可知四点共面的情况有12种组合，
可得到（个不同的四面体，故错；
与面对角线成的面对角线有：，，，，，，，共8条，所有面对角线构成共对，故错；
当用3种颜色时，所有相对面颜色相同，有（种方法．当用4种颜色时，有2组对面颜色相同，有．共（种
涂色方法，故对．答案故选：AD．
三、填空题
13．从中任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为__________．
【答案】
【解析】六个数字中任选个构成无重复数字三位数，共有个；
要使个位数最大，百位数最小，则三个数字大小顺序固定，
满足题意的三位数有个.故答案为：.
14．为迎接2022年北京冬奥会，将名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰个项目进行培训，每名志愿者分配到个项目，每个项目至少分配到名志愿者，则不同的分配方案共有________种．（用数字作答）
【答案】14.
【解析】先将4名志愿者分成2组，分别是每组2个人或者一组3人，一组1人，
若每组2个人，分别分配给2个项目，则有种分法；
若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有种分法；
因此不同的分配方案共种，故答案为：14.
15．A，B两地间有如图所示的方格形道路网，甲沿路网随机选择一条最短路径从A地出发去往B地，则甲经过C地的概率为___________.
【答案】
【解析】从A地到B地的最短路径包含向下走4步，向右走4步，且前4步至多只能向右走2步，则总的路径有种，
甲经过C地再到B地的路径数量有种，
故甲经过C地的概率.故答案为：
16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有______种．
【答案】432
【解析】间隔1节艺术课的排法有种；
间隔0节艺术课的排法有种；
故最多间隔1节艺术课的排法有种，故答案为：432
四、解答题
17．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球 黄球 绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球 黄球 绿球的个数分别是多少？
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多少？
(3)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【解析】 (1)从中任取一球，分别记得到黑球 黄球 绿球为事件，，，由于，，为互斥事件，
根据已知，得，
解得，
所以，任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率分别是，，.
所以黑球的个数为个，黄球的个数为个，绿球的个数为个，
所以袋中黑球 黄球 绿球的个数分别是3、2、4个.
(2)由（1）知黑球 黄球个数分别为3，2，
所以从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是.
(3)
解：从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为，
则两个球颜色不相同的概率是.
18．现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排
（1）若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若要求排在正中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？
【解析】（1）把，，看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有（种）．
（2）在正中间，所以的排法只有1种．
因为，，互不相邻，
所以，，不可能同时在的左侧或右侧．
若，，中有1个在的左侧，2个在的右侧且不相邻，则不同的排法有（种），
若，，中有2个在的左侧且不相邻，1个在的右侧，则不同的排法有（种）．
故所求的不同排法有（种）．
19．6个人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
【解析】 (1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有站法×=480(种).
方法二:要使甲不站两端,那么这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有种站法,然后中间4人有种站法.根据分步乘法计数原理,共有站法×=480(种).
方法三:若对甲没有限制条件,共有种站法,甲在两端共有2种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的站法种数,即为-2=480.
(2)方法一:先把甲、乙作为一个整体,有种站法,再把甲、乙进行全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有×=240(种)站法.
方法二:先把甲、乙以外的4个人作全排列,有种站法,再在5个空当中选出1个供甲、乙站,有种方法,最后让甲、乙全排列,有种方法,共有××=240(种)站法.
(3)方法一:第一步,先让甲、乙以外的4个人站队,有种站法;第二步,再将甲、乙排在4人形成的5个空当(含两端)中,有种站法.故站法共有×=480(种).
方法二:6个人全排列有种站法,由(2)知甲、乙相邻有240种站法,所以不相邻的站法有-240=480(种).
(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有种站法,然后把甲、乙及中间2人看作一个整体与余下2人作全排列,有种站法,最后对甲、乙进行排列,有种站法.故共有××=144(种)站法.
(5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有种站法,再让其他4人在中间位置作全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有×=48(种)站法.
(6)方法一:6个人全排列有种站法,甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有种,故共有-2+=504(种)站法.
方法二:以甲分类,可分为两类:①甲站右端有种站法;②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端,有××种.故共有+××=504(种)站法.
20．某校足球队有高一学生6人，髙二学生5人，高三学生8人．
(1)若每个年级各选1名学生担任召集人，则有多少种不同的选法？
(2)若选派2人外出参观学习，要求这2人来自不同年级，则有多少种不同的选法？
【解析】 (1)由题意得共有（种不同选法．
(2)分成三类选派外出参观学习人员．
第一类：高一高二各选一人有种
第二类：高三高二各选一人有种
第三类：高一高三各选一人有种
所以共有种不同选法．
21．7本不同的书分给5人，每人至少1本，共有多少种不同的分法？
【解析】第一步，先把7本不同的书分成5组，每组有1、1、1、1、3本或1、1、1、2、2两种情况，有(种)方法.
第二步，再把这五组分配给5人有(种)方法.
故共有(种)不同的分法.
22．某不透明纸箱中共有个小球，其中个白球，个红球，它们除了颜色外均相同.
（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出个红球的概率；
（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取次，记取到红球的次数为，求的分布列；
（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）
【解析】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出个红球，相当于从个红球中摸出个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为；
（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为，
这样摸球次，则，
所以，，，
，，.
因此，随机变量的分布列如下表所示：
（3）取得次的红球概率最大.
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