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必考点06 二项式定理
题型一 二项展开式中特定项及系数问题
例题1.二项式10的展开式中，项的系数是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．－
C．15 D．－15
【答案】
【解析】10的二项展开式的通项为Tr＋1＝C10－rr＝(－1)r22r－10Cx，令5－＝，得r＝3，所以项的系数是(－1)3·2－4·C＝－.故选B.
例题2. 8的展开式中的常数项为________．
【答案】28
【解析】8的通项为Tr＋1＝C8－r·r＝C28－rr·x8－4r.
令8－4r＝0，得r＝2，∴ 常数项为T3＝C262＝28.
【解题技巧提炼】
求二项展开式中的项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n).
题型二 二项式系数的性质及各项系数的和
例题1(1)(2021·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为(　　)
A．－1 B．1
C．32 D．64
(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)
A．0 B．1
C．32 D．－1
(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.
【答案】(1)D　(2)A　(3)10
【解析】(1)由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64.
(2)由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.
(3)二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为Cn，即得＝5，解得n＝10.
【解题技巧提炼】
1．赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
题型三 多项式展开中特定项的系数问题
例题1在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是(　　)
A．10 B．15
C．20 D．25
【答案】C
【解析】含x2项的系数为C＋C＋C＋C＝20.
例题2(1)(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
【答案】(1)A　(2)
【解析】(1)(1＋x)4的二项展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0,1,2,3,4)，故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为C＋2C＝12.故选A.
(2)(ax＋1)6的展开式中x2的系数为Ca2，x的系数为Ca，因为(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，所以－Ca2＋Ca＝0，解得a＝0或a＝.因为a为正实数，所以a＝.
例题35的展开式中x2的系数是________．
[【答案】120
【解析】在5的展开式中，含x2的项为2C4,23C2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2CC＋23CC＝40＋80＝120.
【解题技巧提炼】
(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法
题型一 二项展开式中特定项及系数问题
1．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
【答案】16　5
【解析】由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，
当项为常数项时，r＝0，T1＝C·()9·x0＝()9＝16.
当项的系数为有理数时，9－r为偶数，
可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.
2．(一题多解)6的展开式的常数项为160，则实数a＝________.
【答案】2
【解析】法一：6的展开式的通项Tr＋1＝C(ax)6－r·r＝Ca6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ca6－3＝160，解得a＝2.
法二：6＝，要得到常数项，则需ax与的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即Ca3＝160，解得a＝2.
题型二 二项式系数的性质及各项系数的和
1．若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．6 B.
C．4x D. 或4x
【答案】A
【解析】令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()22＝6.
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)
A．1 B．243
C．121 D．122
【答案】B
【解析】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
3．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
【答案】－3或1
【解析】令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
4．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
【答案】C(3x)7和C(3x)8
【解析】由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.
题型三 多项式展开中特定项系数问题
1．在6的展开式中，含x5项的系数为(　　)
A．6 B．－6
C．24 D．－24
【答案】B
【解析】由6＝C6－C5＋C4－…－C＋C，可知只有－C5的展开式中含有x5，所以6的展开式中含x5项的系数为－CC＝－6，故选B.
2.5的展开式中常数项为(　　)
A．－30 B．30
C．－25 D．25
【答案】C
【解析】5＝x25－3x5＋5，5的展开式的通项Tr＋1＝C(－1)rr，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝C(－1)44，令r＝2，T3＝C(－1)2·2，故所求常数项为C－3×C＝5－30＝－25，故选C.
一、单选题
1．的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60
【答案】A
【解析】因为展开式的第项为，
令，得，则的系数为．故选：A.
2．二项式的展开式中，常数项为（ ）
A． B．672 C． D．84
【答案】A
【解析】二项式的展开式中，常数项为
故选：A
3．已知，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】根据题意，令，得，
令，得，
因此.
故选：B.
4．已知，则
A．1764 B．1806 C．1836 D．1872
【答案】C
【解析】设
，
令得，.故选：C.
5．已知二项展开式，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】因为
两边同时求导可得，
令得．故选：C
6．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
【答案】D
【解析】令知：展开式中各项系数和为，
由题设有，即，
∴该展开式中常数项为，
故选：D．
7．若的展开式中含项的系数为，常数项为，则函数在上的最小值为（ ）
A．-200 B．-100 C．160 D．220
【答案】B
【解析】因为，
所以展开式的通项为 .
令，得，则；
令，得，则 .
所以，
当时，.
故选：B.
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，
当时，，
于是得
.故选：B
二、多选题
9．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式的各项系数之和为1024
C．展开式中常数项为45
D．展开式中含项的系数为45
【答案】BCD
【解析】因为的展开式中二项式系数之和为1024，
所以，得，
所以二项式展开式的通项公式为，
对于A，展开式中奇数项的二项式系数和为，所以A错误，
对于B，因为的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1024，所以B正确，
对于C，令，解得，所以展开式中常数项为，所以C正确，
对于D，令，解得，所以展开式中含项的系数为，所以D正确，故选：BCD
10．对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，展开式中有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项 D．存在，展开式中有x的一次项
【答案】BD
【解析】展开式的通项为：，
取，得到，故当是的倍数时，有常数项，故错误正确；
取，取，时成立，故错误正确；
故选：.
11．已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）
A． B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中常数项为 D．展开式系数的绝对值的和为
【答案】AD
【解析】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，
所以，则，故A正确；
展开式中二项式系数之和为，故B错误；
展开式的通项为，
令，得，故展开式中无常数项，故C错误；
展开式系数的绝对值的和为的展开式各项系数之和，
令得，故D正确.故选：AD
12．设，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．中最大的是
D．当时，除以2000的余数是1
【答案】ABD
【解析】A：令，，正确；
B：由，则展开式通项为，故，，所以，正确；
C：由B知：，显然比大，错误；
D：时，，而，，即可知除以2000的余数是1，正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______.
【答案】1215
【解析】∵二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，
∴令，得，.
的展开式的通项公式为，
令，可得，
的展开式的常数项为.故答案为：1215.
14．的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
【答案】1.34
【解析】
故答案为：
15．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则该二项式展开式中含有项的系数为__________．
【答案】
【解析】令，可得，解得：，
所以的展开式通项为：，
令可得，
所以该二项式展开式中含有项的系数为.
故答案为：.
16．设，记，则 ____________.
【答案】
【解析】设，
则,
所以，
因此，
故答案为：
四、解答题
17．已知的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.
【答案】（1）证明见解析；（2）；；.
【解析】（1）
∵，（负值舍去）
所以前三项分别为，，
所以前三项系数分别为1，4，7，前三项系数成等差数列.
（2），
∴，展开式中的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为：、、.
18．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．
【解析】(1)由题意，二项式展开式的通项公式．
所以第三项系数为，第四项系数为，
由，解得，即n的值为8．
(2)由（1）知：．
当，3，6时，对应的是有理项．
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
故展开式中有理项的系数之和为．
19．在二项式的展开式中.
（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；
（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.
【解析】（1）在二项式的展开式中，前3项的二项式系数和为，
化简为，解得或（舍），二项式为，展开式共有12项，
则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，和.
（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得，计算得，二项式为.
在中，
令，则，①
令，则，②
①+②得，奇次项系数和为.
20．已知在的展开式中，第项为常数项．
(1)求；
(2)求含项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【解析】 (1)通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
(2)由可知，令，解得.
所以含项的系数为.
(3)由题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
21．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：
（1）求的值；
（2）求展开式中常数项；
（3）计算式子的值．
【解析】（1）二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，即，解得或（舍去）．
（2）解：由（1）知，∴，
∴，
由，得，∴展开式中常数项．
（3）解：令得．
22．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；
（2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
【解析】（1）因为，所以函数的定义域为.
设，.
当时，， 函数在上是增函数；
当时, 函数在上是减函数;
又，
所以函数是偶函数，
于是，该函数在上是减函数，在上是增函数，
综上所述：函数在，上是减函数，在，上是增函数；
（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数.
当n是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数, 在上是减函数；
当n是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数, 在上是增函数.
因为
，
所以在上是减函数，在上是增函数.
所以，当或时，取得最大值；当时取得最小值.
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必考点06 二项式定理
题型一 二项展开式中特定项及系数问题
例题1.二项式10的展开式中，项的系数是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．－
C．15 D．－15
例题2. 8的展开式中的常数项为________．
【解题技巧提炼】
求二项展开式中的项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n).
题型二 二项式系数的性质及各项系数的和
例题1(1)(2021·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为(　　)
A．－1 B．1
C．32 D．64
(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)
A．0 B．1
C．32 D．－1
(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.
【解题技巧提炼】
1．赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
题型三 多项式展开中特定项的系数问题
例题1在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是(　　)
A．10 B．15
C．20 D．25
例题2(1)(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
例题35的展开式中x2的系数是________．
【解题技巧提炼】
(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法
题型一 二项展开式中特定项及系数问题
1．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
2．(一题多解)6的展开式的常数项为160，则实数a＝________.
题型二 二项式系数的性质及各项系数的和
1．若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．6 B.
C．4x D. 或4x
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)
A．1 B．243
C．121 D．122
3．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
4．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
题型三 多项式展开中特定项系数问题
1．在6的展开式中，含x5项的系数为(　　)
A．6 B．－6
C．24 D．－24
2.5的展开式中常数项为(　　)
A．－30 B．30
C．－25 D．25
【答案】C
【解析】5＝x25－3x5＋5，5的展开式的通项Tr＋1＝C(－1)rr，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝C(－1)44，令r＝2，T3＝C(－1)2·2，故所求常数项为C－3×C＝5－30＝－25，故选C.
一、单选题
1．的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60
2．二项式的展开式中，常数项为（ ）
A． B．672 C． D．84
3．已知，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
4．已知，则
A．1764 B．1806 C．1836 D．1872
5．已知二项展开式，则（ ）
A． B．3 C． D．5
6．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
7．若的展开式中含项的系数为，常数项为，则函数在上的最小值为（ ）
A．-200 B．-100 C．160 D．220
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式的各项系数之和为1024
C．展开式中常数项为45
D．展开式中含项的系数为45
10．对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，展开式中有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项 D．存在，展开式中有x的一次项
11．已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）
A． B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中常数项为 D．展开式系数的绝对值的和为
12．设，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．中最大的是
D．当时，除以2000的余数是1
三、填空题
13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______.
14．的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
15．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则该二项式展开式中含有项的系数为__________．
16．设，记，则 ____________.
四、解答题
17．已知的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.
18．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．
19．在二项式的展开式中.
（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；
（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.
20．已知在的展开式中，第项为常数项．
(1)求；
(2)求含项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
21．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：
（1）求的值；
（2）求展开式中常数项；
（3）计算式子的值．
22．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；
（2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
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