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3.1.2 第2课时 分段函数
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.会用解析法及图象法表示分段函数． 2.给出分段函数，能研究有关性质（重点）． 1、数形结合 2、数学运算
【自主学习】
分段函数
1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数．
2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ．
注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．(　　)
(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)
(3)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)
(4)y＝|x－1|与y＝是同一函数．(　　)
【经典例题】
题型一 分段函数求值
点拨：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．
（2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．
（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。
例1 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝，求a.
【跟踪训练】1 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
题型二 分段函数的应用
例2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
【跟踪训练】2自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
【当堂达标】
1.设函数f(x)＝则f[f(3)]＝(　　)
A. B．3 C. D.
2. (多选题)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝(　　 )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
3.已知函数f(x)＝若f(x)＝－3，则x＝________.
4.设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
5.已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．
6.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
【参考答案】
【自主学习】
对应关系 并集 空集
【小试牛刀】
对应关系 并集 空集
(1)×　 (2) √　(3) √　(4) √　
【经典例题】
例1 解：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
【跟踪训练】1 解：　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
（2）由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].
例2 解：设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式如下：y＝
函数图象如图所示：
【跟踪训练】2 解：　(1)依题设，总成本为20 000＋100x，
则y＝
(2)当0则当x＝300时，ymax＝25 000.
当x>400时，y＝60 000－100x是减函数，则y<60 000－100×400＝20 000.
综上可知，当月产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25 000元．
【当堂达标】
1.D 解析： ∵f(3)＝<1，∴f[f(3)]＝2＋1＝.
2.AD 解析：由或得a＝－4或a＝2.
3.－4或2 解析：若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.
若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
综上可得，所求x的值为－4或2.
4.(4，＋∞) 解析：当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝>1，无解．
5.解： (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
6.解： (1)y＝.
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，当8∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.3.1.2 函数的表示法
第1课时　函数的表示法
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点). 3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 1、数形结合 2、数学运算 3、直观想象
【自主学习】
函数的三种表示方法
表示法 定义
解析法 用 表示两个变量之间的对应关系
图象法 用 表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出 来表示两个变量之间的对应关系
注意：同一个函数可以用不同的方法表示．
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.(　　)
(4)函数f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．(　　)
【经典例题】
题型一 函数的表示法
点拨：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．
例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
【跟踪训练】1 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
g(x) 3 2 1
(1)f(g(3))＝__________； (2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.
题型二　图象法表示函数
点拨：作函数图象的步骤及注意点
(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.
例2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
【跟踪训练】2 画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).
题型三 求函数解析式
点拨：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：
①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.
②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
(3)方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
例3-1 已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．
【跟踪训练】3已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.
例3-2 已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式。
【跟踪训练】4已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．
例3-3 已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．
【跟踪训练】5已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).
【当堂达标】
1.y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－
2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7 C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
3.一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为 .
4.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域.
5.已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．
6.(1) f＝－1，求f(x)的解析式。
(2)f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式。
【参考答案】
【自主学习】
数学表达式 图象 表格
【小试牛刀】
(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　
【经典例题】
例1 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图．
【跟踪训练】1 (1)2　(2)1解析　(1)由表知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝2；
(2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.
例2 (1)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．
　　
(2)列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．
【跟踪训练】2 解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
例3-1 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
【跟踪训练】3 f(x)＝x2－x＋1 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.
故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.
例3-2 解 配凑法：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，
∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．
换元法：令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．
【跟踪训练】4 解：配凑法：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
换元法：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.
例3-3 解：（1）∵2f(x)＋f＝3x，①∴将x用替换，得2f＋f(x)＝，②
联立①②得解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)．
【跟踪训练】5 解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.
【当堂达标】
1.C 解析：设y＝，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.
2. A 解析：法一　设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x；
法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
3. y＝(x>0) 解析：由梯形的面积公式有100＝·y，得y＝(x>0)．
4. 解：(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
5.解：由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.
∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.
6.解：(1)f＝2－2，所以f(x)＝x2－2x.
因为≠0，所以＋1≠1，所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．
(2)解 由条件知，f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，则解得f(x)＝3x－2.

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