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4.3.1 对数的概念
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点). 2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点). 1、直观想象 2、数学运算
【自主学习】
一．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是 .
二.常用对数与自然对数
三.对数的基本性质
(1)负数和零 对数.
(2)loga1＝ (a>0，且a≠1).
(3)logaa＝ (a>0，且a≠1).
(4)对数恒等式a＝ (a>0且a≠1，N >0).
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　)
【经典例题】
题型一　指数式与对数式的互化
点拨：指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
例1　根据对数定义，将下列指数式写成对数式：
①3x＝；　　　　 ②x＝64； ③log16＝－； ④ln 10＝x.
【跟踪训练】1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 1000＝3.
题型二　利用指数式与对数式的互化求变量的值
点拨:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.
【跟踪训练】2 (1)求下列各式的值.
①log981＝________.②log0.41＝________.③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值.
①log64x＝－；②logx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
题型三　对数基本性质的应用
点拨：利用对数性质求值的方法
(1)性质 loga1＝0 logaa＝1 (a>0，且a≠1).
(2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(3)对数恒等式a＝N (a>0且a≠1，N >0)
例3 求下列式子值。
(1)2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________. (2)9＝________.
【跟踪训练】3 求下列各式中的x的值．
(1)log2(log3x)＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
【当堂达标】
1．（多选）下列选项中错误的是(　　)
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数叫做自然对数
D.以e为底的对数叫做常用对数
2.（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　)
A．与lg 1＝0 B．＝与log27＝－
C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝5
3.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A.a>且a≠1 B.00且a≠1 D.a<
4.方程lg(2x－3)＝1的解为________.
5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)2－3＝；(2)＝b；(3)lg ＝－3 .
6.计算下列各式：
(1)2ln e＋lg 1＋3log3 2；(2)3log34－lg 10＋2ln 1.
【参考答案】
【自主学习】
a>0，且a≠1 没有 0 1 N
【小试牛刀】
(1)×　(2)×　(3)√ (4)√
【经典例题】
例1 解析　①log3＝x；②log64＝x；③16＝；④ex＝10.
【跟踪训练】1 解　(1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为＝n，所以logn＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
例2 解　(1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.
【跟踪训练】2 (1)①2　②0　③2
解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
(2)解　①由log64x＝－得x＝64－＝43×(－)＝4－2＝；
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8＝23×＝；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.
例3 (1) 0 解析　原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
(2)4 解析 9＝(9)＝3＝4.
【跟踪训练】3 解　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.
【当堂达标】
BCD 解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N x＝logaN，故B错误．由定义可知CD均错误．只有A正确．
2.ABD 解析：对于A，，A正确；对于B，，B正确；
对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABD.
3. B 解析　由题意知解得04. 解析　由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝.
5.解　(1)由2－3＝可得log2＝－3；
(2)由＝b得logb＝a；
(3)由lg ＝－3可得10－3＝.
6.解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
(2)原式＝3log34－1＋20＝3log34÷31＋1＝＋1＝.

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