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正整数指数函数
1．正整数指数函数及指数型函数
正整数指数函数 指数型函数
条件 a>0且a≠1
自变量 x
定义域 正整数集N＋ 实数集R
解析式 y＝ax y＝kax，k∈R
正整数指数函数有何特征？
提示：①系数：ax的系数必须是1.
②底数：a是大于0不等于1的常数．
③指数：单个x在指数位置上．
④定义域：正整数集N＋.
2．正整数指数函数的图像
(1)正整数指数函数的图像是由第一象限内的一些孤立的点构成的，是离散而不是连续的．
(2)分布规律：①当01时，自左向右这些孤立的点是上升的．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝1x，y＝－4x，y＝(－8)x都不是正整数指数函数．(　√　)
提示：三个函数都不符合正整数指数函数的表示形式．
(2)函数y＝(x∈N＋)的图像是一系列上升的点．(　√　)
提示：底数大于1，所以函数是递增的．
(3)函数y＝(a2－3a＋3)·ax(x∈N＋)是正整数指数函数，则a＝1或a＝2.(　 ×　)
提示：由题意知所以a＝2.
2．已知函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)在[1，3]上的最大值为8，则a的值是________．
【解析】由题意知a＞1，且a3＝8，解得a＝2.
答案：2
3．(教材二次开发：P62例题)某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，经过两个小时，1个这样的细胞可以分裂成________个细胞．
【解析】2小时共分裂8次，所以共分裂成28个．
答案：28(或256)
类型一　正整数指数函数的定义(数学抽象)
1．下列函数中是正整数指数函数的是(　　)
A．y＝10x＋1(x∈N＋) B．y＝(－2)x(x∈N＋)
C．y＝5·2x(x∈N＋) D．y＝(x∈N＋)
【解析】选D.A中y＝10x＋1的指数为x＋1，而不是x，故不是正整数指数函数；B中y＝(－2)x的底数－2<0，故不是正整数指数函数；C中y＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D中y＝符合正整数指数函数的定义．
2．正整数指数函数的图像经过点，则此函数的解析式为________．
【解析】把代入y＝ax(a>0，且a≠1)，得＝a2，
所以a＝，y＝，x∈N＋.
答案：y＝，x∈N＋
　判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤
一看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为1，指数位置仅为x；
二看定义域：x的取值为全体正整数．
以上同时满足，函数就是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数．
提醒：注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xa的区别．
【补偿训练】
下列函数哪些是正整数指数函数？哪些不是？为什么？
(1)y＝4x(x∈N＋).
(2)y＝x4(x∈N＋).
(3)y＝－4x(x∈N＋).
(4)y＝(－4)x(x∈N＋).
(5)y＝xx(x∈N＋).
(6)y＝(2a－1)x.
【解析】(1)(6)是正整数指数函数，因为它们符合正整数指数函数的定义．
(2)为幂函数．
(3)中函数的系数为－1，不符合正整数指数函数的定义．
(4)中函数的底数a＝－4<0，不符合正整数指数函数的定义．
(5)中函数的底数是变量而不是常量，也不符合正整数指数函数的定义．
类型二　正整数指数函数的图像与性质(逻辑推理、直观想象)
【典例】1.正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A．11　　　D．a>2
【思路导引】根据函数图像与直线y＝1的关系，求出参数的范围．
【解析】选D.在y＝(a－1)x中，
因为x∈N＋时，y>1，则必有a－1>1，所以a>2.
2．已知0【思路导引】先作出y＝ax(x∈N＋)的图像，再平行向下移动1个单位，观察得出结论．
【解析】y＝ax(0＜a＜1，x∈N＋)的图像在第一象限中x轴上方、直线y＝1下方的一个区域内，而y＝ax－1的图像是将y＝ax的图像向下平移1个单位，因此，图像在第四象限．
答案：四
3．画出函数y＝(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
【思路导引】使用描点法画图像，注意函数的定义域是N＋.
【解析】函数y＝(x∈N＋)的图像如图所示，从图像可知，函数y＝(x∈N＋)是递减的．
　画正整数指数函数的图像的方法
由于正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．
提醒：研究正整数指数函数的图像和性质要注意分底数大于1和底数大于0小于1两类讨论．
1．函数y＝，x∈N＋的图像是(　　)
A．一条上升的曲线　　　　 B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点 D．一系列下降的点
【解析】选D.由于x∈N＋且底数为，
所以函数y＝，x∈N＋的图像是一系列下降的点．
2．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)在[1，3]上是增加的，且最大值与最小值的差为a，则a＝________．
【解析】因为f(x)在[1，3]上是增加的，
所以a>1，所以f(x)min＝f(1)＝a，f(x)max＝f(3)＝a3.
所以a3－a＝a，即a(a2－2)＝0.
又因为a>0，且a≠1，所以a＝.
答案：
类型三　正整数指数函数的应用(数学建模)
角度1　正整数指数函数在生活中的应用
【典例】已知每天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全覆盖池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了(　　)
A．10天　　　B．15天　　　C．19天　　　D．20天
【思路导引】设荷叶覆盖水面初始面积为a，根据每天覆盖面积是前一天的2倍，20天完全覆盖水面，列出方程求解即可．
【解析】选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a，
设x天后荷叶覆盖水面的一半，
因为每天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，
所以x天后荷叶覆盖水面的面积为a·2x(x∈N＋)，
又因为荷叶20天可以完全覆盖池塘水面，
所以2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
角度2　正整数指数函数在放射性问题中的应用
【典例】已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．
【思路导引】由每一百年后剩留原来质量的95.76%，列出函数关系式．
【解析】镭原来质量为20克，
100年后镭的质量为20×95.76%(克)，
200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)，
300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)，
……
x百年后镭的质量为20×(95.76%)x，
所以y与x之间的函数关系式为：
y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)，
所以经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为
y＝20×(95.76%)10(克).
　本例条件不变，大约经过多少年镭的质量为原来的80%
【解析】设原来质量为1，经x年剩留质量为y，
则y＝(95.76%)，列x与y的对应值表
x 200 300 400 500 600 …
y 0.917 0 0.878 1 0.840 9 0.805 2 0.771 1 …
观察表中数据y≈0.8时对应的x≈500，
即大约经过500年镭的质量为原来的80%.
　实际生活中正整数指数函数的应用
(1)正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关．
(2)求解实际应用问题的关键是仔细审题，把文字语言转化成数学语言进而建模，求解相应的数学模型，最后回归到实际问题．
1．一个工厂计划2020年起，年产值在10年内翻两番，则其年平均增长率是(　　)
A． B． C．－1 D．－1
【解析】选C.设2019年底的总产量为a，年平均增长率为x，则4a＝a(1＋x)10，
所以(1＋x)10＝4，所以x＝－1(负值舍去).
2．某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的关系式，并求此函数的定义域．
(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
【解析】(1)现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2，
所以经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋).
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图像，
如图所示．
设直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，
则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的年数x的值．
因为8所以经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
3．雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，若某地从2015年到2019年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2014年开始经过x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人数为y万人，若2019年患病人数为11万人：(参考数据1.023≈1.06，1.025≈1.1)
(1)试计算出2014年患呼吸道疾病的人数．
(2)写出x，y之间的关系式，并计算2022年患呼吸道疾病的人数．
【解析】(1)设2014年患病人数为a万人，则a(1＋2%)5≈11，即a×1.025≈11.
因为1.025≈1.1，所以a≈10，所以2014年患呼吸道疾病的人数约10万人．
(2)2015年患病的人数为10(1＋2%)，2016年患病的人数为10(1＋2%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，2017年患病的人数为10(1＋2%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3；……x年后患病的人数为10(1＋2%)x.
故y＝10(1＋2%)x＝10×1.02x(x∈N＋)，到2022年x＝8，故患病人数y≈10×1.028＝10×1.025×1.023 ≈10×1.1×1.06＝11.66(万人).
所以2022年患呼吸道疾病的人数约11.66万人．
【补偿训练】
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式．
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).
(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)
【解析】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3.
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人).
(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．
1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有(　　)
①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；
④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋).
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选D.由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确，故选D.
2．已知正整数指数函数f(x)＝(a－2)·ax，则f(2)＝(　　)
A．2 B．3 C．9 D．16
【解析】选C.因为f(x)是正整数指数函数，
所以所以a＝3，f(x)＝3x，
所以f(2)＝32＝9.
3．函数y＝，x∈N＋是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
【解析】选D.因为0<<1，当x∈N＋且由小变大时，函数值由大变小，所以为减函数．
4．(教材例题改编)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
【解析】函数关系式为y＝(x∈N＋)，x为漂洗次数，y表示存留污垢量．令≤1%，得4x≥100.因为43＝64＜100，44＝256＞100，
所以当x≥4时，4x≥100，故至少要漂洗4次．
答案：4
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