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指数概念的扩充
1．分数指数幂
(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，则b为a的次幂，记作b＝．
(2)意义：
正分数指数幂 负分数指数幂 0的分数指数幂
前提条件 a>0，m，n均为正整数，m，n互素
结论 a＝ ＝0，无意义
2．n次方根的性质
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的正实数．
　实数指数幂aα有意义的条件是什么？
提示：当a>0时，α为任意实数值，实数指数幂aα都有意义．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当n∈N＋时，()n都有意义．(　　)
(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．(　　)
(3)＝π－3.(　　)
(4)0的任何指数幂都等于0.(　　)
提示：(1)×.当n是偶数时，()n没有意义．
(2)×.负数没有偶次方根．
(3)√.因为＝|3－π|＝π－3.所以(3)正确．
(4)×.0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．
2．若a<，则化简的结果是(　　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】选A.因为a<，所以4a－1<0；
所以＝.
3．(教材例题改编)已知x3＝27，则x的值为(　　)
A．3 B．－3 C．3 D．－3
【解析】选A.由于x3＝27，
故x为27的立方根，故x＝3.
类型一　分数指数幂概念的理解(数学抽象)
1.中x的取值范围是________.
【解析】由分数指数幂的意义可知x－1>0，解得x>1，故x的取值范围是{x|x>1}．
答案：{x|x>1}
2．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式：
(1)b7＝64.(2)b4＝(－3)2.(3)b－4＝18.
【解析】(1)b7＝64＝26，所以b＝．
(2)b4＝(－3)2＝32＝9，所以b＝．
(3)b－4＝18，所以b＝＝．
　分数指数幂定义的应用
(1)将分数指数幂化为整数指数幂．
由a＝ (或b＝，a＞0，b＞0，m，n∈N＋可得am＝bn.
(2)求指数幂的值．
①观察是否符合分数指数幂的定义．
②当bn＝am时，转化为＝b(m，n∈N＋，a，b＞0)求结果．
提醒：底数为分数，指数为负数时，可以直接将底数的分子分母颠倒，指数化为正，如.
【补偿训练】
中，x的取值范围是________．
【解析】＝＝，
则2x－1≠0，即x≠，所以.
答案：
类型二　根式与分数指数幂的互化(数学运算)
角度1　分数指数幂化根式
【典例】用根式的形式表示下列各式(x>0).
(1)．
(2)．
【解析】(1) ＝.
(2) ＝.
　用根式表示 (x>0，y>0).
【解析】＝＝·.
角度2　根式化分数指数幂
【典例】把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数).
(1)；(2)；(3)；(4).
【思路导引】根据根式与分数指数幂的互化性质进行转化．
【解析】(1) ＝.
(2) ＝．
(3＝.
(4) ＝．
1．在实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
2．分数指数幂与根式互化的三个注意点
(1)在中，a＞0，m，n∈N＋，写成根式时，n为根指数，m为a的指数．
(2)去掉条件a＞0，有时根式与分数指数幂也可以互化，如＝＝，但此时应注意根式要有意义.
(3)分数指数幂的意义来源于根式，而要使根式有意义，根指数必须是大于1的整数，同时要注意被开方数也要有意义．
提醒：根式化为分数指数幂时，要注意指数位置的分子与分母的位置不能颠倒．
1．化简＋＝________．
【解析】原式＝＋＝－2－(＋2)＝－4.
答案：－4
2．将下列根式化成分数指数幂形式．
(1)·.　　(2)·.　　(3)()2·.
【解析】(1)·＝．
(2)原式＝．
(3)原式＝．
1．要使＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．a≥2 B．2≤a<4或a>4
C．a≠2 D．a≠4
【解析】选B.要使原式有意义，需满足：
解得2≤a<4或a>4.
2．(2020·江苏高考)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则f(－8)的值是________．
【解析】y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，
则f(－8)＝－f(8)＝－＝－4.
答案：－4
3．(教材练习改编)化简的结果是(　　)
A．a B． C．a2 D．
【解析】选B.＝．
4.＝________．
【解析】＝|m－n|＝
答案：
5．若2【解析】由于20.
所以原式＝a－2＋3－a＝1.
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