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指数运算的性质
指数运算性质：
当a>0，b>0时，对任意实数m，n满足以下三条运算性质：
(1)am·an＝am＋n．
(2)(am)n＝amn．
(3)(ab)n＝anbn．
　指数运算性质中为什么规定a>0，b>0
提示：如果改变等式成立的条件，则有可能不成立，
如a＝－2，b＝－4时，＝则无意义．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)可以做以下化简： (　　)
提示：(1)
(2)指数幂的运算性质只适用于指数为有理数的形式．(　　)
提示：(2)×.指数幂的运算性质适用于指数为实数的所有形式．
(3)当a>0时，均有amn＝(am)n＝(an)m.(　　)
提示：(3)√.套指数的运算性质．
2．下列运算中计算结果正确的是(　　)
A．a4·a3＝a12 B．a6÷a3＝a2
C．(a3)2＝a5 D．a3·b3＝(a·b)3
【解析】选D.根据指数幂的乘法法则可知a4·a3＝a7≠a12，故A选项错误；根据指数幂的除法法则可知a6÷a3＝a6－3＝a3≠a2，故B选项错误；根据指数幂的乘方法则可知(a3)2＝a6≠a5，故C选项错误，根据指数幂的运算a3·b3＝(a·b)3，故D选项正确．
3．(教材例题改编)若(x4)3＝e4，则x等于(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.因为(x4)3＝(x3)4＝e4，所以x3＝±e，
所以x＝．
类型一　利用指数幂的运算性质求值(数学运算)
　计算：
(1)＋－27；
(2)＋2－2·－(0.01)0.5；
(3)＋－－．
【解析】(1)原式＝23＋1－＝8＋1－3＝6.
(2)原式＝1＋·－
＝1＋·－0.1＝1＋－＝.
(3)原式＝＋－4－
＝9＋－4－＝5＋－＝3.
1．指数幂运算的四原则
(1)小数化分数．
(2)分数化最简分数的乘方，如＝.
(3)根式化分数指数幂．
(4)负指数化正指数．
2．指数幂运算的步骤
(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，从而去掉负号；底数是带分数，先化成假分数．
(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算．
(5)尽可能将各项用幂的形式表示．
【补偿训练】计算下列各式的值．
(1)(－2 017)0＋80.25×＋(×)6－.
(2)．
【解析】(1)原式＝1＋－
＝1＋
＝1＋
＝1＋2＋4×27－2＝109.
(2)原式·(0.09＋50×0.008)＝(25＋4＋7)·(0.49)
＝6×[(0.7)2]＝4.2.
类型二　利用指数幂的运算性质化简(数学运算)
【典例】(1)式子(m＞0)的计算结果为(　　)
A．1 B．m
C．m－ D．m－
【思路导引】根据指数幂的运算性质进行化简．
【解析】选A.原式＝m·m÷m＝m＝m0＝1.
(2)化简下列各式：
①(ab)－1·.
②.
【解析】①(ab)－1·
＝a－1·b－1·(a·b－1)3
＝··a3·＝＝a2b－4.
②原式＝
＝－a－1＋2b－3＋3＝－a.
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．根式运算技巧
(1)各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．
(2)多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．
提醒：对根式的化简不可出现直接将根指数与被开方数的指数相乘的错误，解题时要先化成分数指数幂，再运算．
1．化简·(a>0)的结果是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.·＝a·a＝a＋＝a＝.
2.＝________．(式中的字母均是正实数)
【解析】原式＝＝
＝＝＝a－1＝.
答案：
类型三　条件求值(数学运算)
【典例】已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1.
(2)a2＋a－2.
(3).
【思路导引】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得a＋a－1的值．
(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得a2＋a－2的值．
(3)首先利用立方差公式分解因式，然后结合(1)的结果即可求得代数式的值．
【解析】(1)因为a＋a－＝4，
所以＝a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14.
(2)因为＝a2＋a－2＋2＝196，
所以a2＋a－2＝194.
(3)因为a－a－＝－，
所以＝
＝a＋a－1＋1＝15.
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法
　(1)对于条件求值问题，当字母的取值不知或不易求出时，可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构或联系，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．
(2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下：
①a±2ab＋b＝ (a＞0，b＞0).
②＝a－b(a＞0，b＞0).
③a＋b＝.
④a－b＝.
1．若a4＋a－4＝6，则a2＋a－2的值等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．6 B． C．2 D．2
【解析】选D.因为(a2＋a－2)2＝a4＋a－4＋2＝6＋2＝8，且a2＋a－2>0，
所以a2＋a－2＝2.
2．已知x－x－1＝3，则x2＋x－2的值为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
【解析】选D.由x－x－1＝3
得：(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝9，
所以x2＋x－2＝11.
3．已知x－x－＝，则x＋的值为(　　)
A．7 B．3 C．±3 D．27
【解析】选A.由x－x－＝，两边平方得：x－2＋＝5，则x＋＝7.
备选类型　含字母的求值问题(数学运算)
【典例】已知a＝－，求÷的值．
【思路导引】由题意首先化简所给的代数式，然后将a＝－代入化简之后的代数式即可求得代数式的值．
【解析】原式＝×＝＝a＝＝＝.
　在求解含字母的代数式的求值问题时，往往先将式子进行化简，然后将字母的值代入从而求出整个代数式的值．
　已知a＝64，求的值．
【解析】＝
1．对于a＞0，下列等式成立的是(　　)
A．a·a＝a　　　　　B．a÷a＝a
C．(a3)2＝a9 D．a－·a＝0
【解析】选B.选项A.a·a＝a＋＝a；选项B.a÷a＝a－＝a；选项C.(a3)2＝a3×2＝a6；选项D.a－·a＝a0＝1.
2.(a>0)的值是(　　)
A．1　　　　B．a　　　　C．a　　　　D．a
【解析】选D.原式＝＝＝a．
3．(教材习题改编)0.002－－＋＝________．
【解析】0.002－－＋
＝－＋1
＝10－＋1＝10－＋1
＝10－＋1＝10＋.
答案：10＋
4．0.027－－＋－(－1)0＝______．
【解析】原式＝0.3－1－49＋－1＝－50＋＋＝－45.
答案：－45
5．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式：P＝，考古学家根据此关系式计算生物死亡t年后，体内碳14含量P的值．当生物体死亡了6 000年，10 000年，100 000年后，它体内的碳14的含量P为多少？
【解析】把t＝6 000，10 000，100 000分别代入关系式P＝可得生物体内碳14的含量P分别为，，.
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