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第1课时　指数函数的图像和性质
1．指数函数的概念
(1)前提条件：a>0且a≠1.
(2)解析式：y＝ax，x∈R.
(3)特点：自变量x出现在指数位置上．
　指数函数中，为什么规定a>0且a≠1
提示：(1)若a＝0，则x>0时，ax＝0，
当x≤0时，ax无意义．
(2)若a<0，则其定义域不是R.
(3)若a＝1，则y＝1，对它没有研究的必要．
2．指数函数的图像和性质
a>1 0图像
性质 定义域:(-∞,+∞)
值域:(0,+∞)
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;当x<0时,00时,01
是R上的增函数 是R上的减函数
【说明】(1)底数与1的大小关系决定该函数的单调性：
a>1递增；0(2)指数函数恒过(0，1)点．
(3)指数函数图像记忆口诀：
左右无限上冲天，永与横轴不沾边；
大1增，小1减，图像恒过(0，1)点．
　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)图像的高低与a的取值有何关系？
提示：指数函数y＝ax的图像如图所示，在第一象限内，底数a自上向下依次递减．
如图中底数的大小关系为0在第一象限的图像可简记为“底大图高”．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y＝2x－1是指数函数．(　×　)
(2)y＝2－x在R上是减函数．(　√　)
(3)指数函数y＝ax过定点(0，1).(　 √　)
2．y＝的图象可能是(　　)
【解析】选C.因为0<<1，所以函数在R上是减函数，且函数过点(0，1).
3．(教材例题改编)比较大小：
(1)1.2________1.3．
(2)(－0.71) ________0.72．
(3)0.70.8________0.80.7.
【解析】(1)设y＝x，函数在(0，＋∞)上是增加的，
又因为1.2<1.3，所以1.2<1.3．
(2)(－0.71)＝＝＝，0.72＝，
又因为<，
所以>，
所以(－0.71)>0.72．
(3)因为y＝0.7x为减函数，所以0.70.8<0.70.7，
由幂函数性质知y＝x0.7在x>0时为增函数，
所以0.70.7<0.80.7，所以0.70.8<0.80.7.
答案：(1)＜　(2)＞　(3)＜
类型一　指数函数的概念(数学抽象)
1．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0且a≠1 B．a≥0且a≠1
C．a>且a≠1 D．a≥
【解析】选C.由于函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1.
2．(2021·衡阳高一检测)如果指数函数的图象经过点，则f(4)的值等于(　　)
A． B．2 C． D．16
【解析】选A.由题意可设f(x)＝ax，a>0且a≠1，
又指数函数的图象经过点，
则f(2)＝a2＝，则f(4)＝a4＝(a2)2＝2＝.
1．已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
2．指数型函数定点求解
指数型函数过定点，则与参数无关，故只需令参数的指数为0即可求出定点坐标．
【补偿训练】
1.y＝3－ax－1(a>0，且a≠1)恒过的定点为(　　)
A．(1，0)　　B．(1，2)　　C．(0，1)　　D．(0，2)
【解析】选B.因为y＝ax恒过(0，1)，y＝－ax恒过(0，－1)，所以y＝3－ax－1恒过(1，2).
2．若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________.
【解析】若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则3－2a>0且3－2a≠1，
解得a<且a≠1.
答案：(－∞，1)∪
类型二　指数函数的图像和性质(直观想象)
角度1　比较幂值大小
【典例】比较下列各题中两个值的大小：
(1)，.
(2)，.
(3)0.20.3，0.30.2.
【解析】(1)因为0<<1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5，
所以<.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图像，如图所示．
当x＝－0.5时，由图像观察可得>.
(3)因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图像在函数y＝0.3x的图像的下方，所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2.
角度2　比较底数大小
【典例】函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图像如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　)
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【思路导引】作直线x＝1与每个指数函数的图像相交，交点的纵坐标即为底数值，且交点从上至下纵坐标依次减小，即可求出a，b，c，d的值．
【解析】选C.如图所示：
直线x＝1与函数图像的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，又>>>，故选C.
1．比较幂值大小的三种类型及处理方法
2．根据指数函数图像判断底数的大小的两种方法
(1)根据单调性首先判断01，在y轴右侧，越靠近y轴对应的底数越大；在y轴左侧，越靠近y轴对应的底数越小．
(2)作一条直线x＝1，与指数函数图像交点的纵坐标即为底数大小，根据纵坐标的大小即可判断底数的大小关系．
1．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx；②y＝nx的图像为(　　)
【解析】选C.由于02．比较下列两个数的大小．
，.
【解析】因为指数函数y＝x在R上是减函数，
且0.3<0.5，所以>.
类型三　与指数函数有关的定义域与值域问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝2 .(2)y＝.
【思路导引】(1)分母x－4不能等于0，则y的值不可能取1.
(2)式子的指数中含有根式，若要有意义，需满足x－2≥0.
【解析】(1)由x－4≠0，得x≠4，
所以定义域为{x∈R|x≠4}．因为≠0，所以2≠1.所以y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．
当x≥2时，≥0，又因为0＜＜1，
所以y＝的值域为{y|0＜y≤1}．
　函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域．
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域．
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
　求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝0.3．
(2)y＝3.
【解析】(1)由x－1≠0，得x≠1，
所以函数的定义域为{x|x≠1}．由≠0得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得x≥，
所以函数定义域为.由≥0得y≥1，
所以函数值域为{y|y≥1}．
1．函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m＝(　　)
A．2 B．1 C．3 D．2或－1
【解析】选D.由指数函数的定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
2．设a＝22.5，b＝2.50，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>a>c
【解析】选C.因为a＝22.5>1，b＝2.50＝1，
c＝<1，所以a>b>c.
3．(教材习题改编)当a>1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图像可能是(　　)
【解析】选A.由a>1知函数y＝ax的图像过点(0，1)，分布在第一象限和第二象限，且从左到右是上升的．由a>1知，函数y＝(a－1)x2的图像开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点．故A项正确．
4．y＝的定义域是________．
【解析】由1－≥0，得≤1，所以x≥0，
所以其定义域是[0，＋∞).
答案：[0，＋∞)
5．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0且a≠1)的图像必经过的定点是________．
【解析】令x－1＝0，解得x＝1，
此时y＝a0＝1，故函数y＝ax－1必经过定点(1，1)，
且此点与底数a的取值无关，
故函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图像必经过定点(1，2).
答案：(1，2)
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