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第2课时 习题课——指数函数及其性质的应用
类型一　指数函数的图像及图像变换(数学抽象、直观想象)
【典例】1.(2021·枣庄高一检测)已知函数f(x)＝ax＋1－(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则＝(　　)
A． B． C． D．
【思路探求】利用指数函数y＝ax过点构造关系式求值；
【解析】选D.函数f(x)＝ax＋1－(a>0，且a≠1)中令x＋1＝0，得x＝－1，所以y＝f(－1)＝1－＝，
所以f(x)的图象过定点，
所以m＝－1，n＝.
所以＝＝＝.
2．要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　)
A．t≤－1 B．t＜－1 C．t≤－3 D．t≥－3
【思路探求】根据指数函数y＝3x过定点(0，1)及其平移性质判断求解．
【解析】选C.指数函数y＝3x过定点(0，1)，
函数g(x)＝3x＋1＋t过定点(0，3＋t)且为增函数，
要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，
只须函数g(x)＝3x＋1＋t与y轴的交点的纵坐标不大于0即可，如图所示，
即图象不过第二象限，则3＋t≤0，所以t≤－3，
则t的取值范围为：t≤－3.
1．处理函数图像问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0，1).
(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)有关的两种常见图像变换
(1)平移变换(φ＞0)，如图所示：
(2)对称变换，如图所示：
提醒：图像平移变换强调自变量本身的变化．如：f(x)＝21－x的图像向右平移1个单位得到f(x－1)＝21－(x－1)＝22－x的图像．
【补偿训练】
已知函数f(x)＝ax在(0，2)内的值域是(a2，1)，则函数y＝f(x)的图像是(　　)
【解析】选A.因为f(x)＝ax在(0，2)内的值域是(a2，1)，所以f(x)在(0，2)内是减少的．
所以0＜a＜1.
类型二　解简单的指数不等式(数学抽象、数学运算)
【典例】已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．
四步 内容
理解题意 指数型不等式的大小比较,需研究底数a2+a+2与1的大小关系.
思路探求 确定a2+a+2的范围,利用指数函数的性质,得到x>1-x,即可求出x的取值范围.
书写表达 因为a2+a+2=>1, 所以y=(a2+a+2)x在R上是增函数.所以x>1-x.解得x>.所以x的取值范围是.s
题后反思 本题中能否直接得到a2+a+2>1,是正确求解的关键.
解同底型指数不等式
　(1)所给不等式为同底型：af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)形式，解此种不等式的依据是指数函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若不确定，就需进行讨论．
(2)解af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)此类不等式的一般步骤为
1．解不等式>.
【解析】因为函数y＝为减函数，
所以由>，可得3x＋2<－2x－3，
解得x<－1，
故该不等式的解集为(－∞，－1).
2．解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).
【解析】①当0得2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
②当a>1时，由a2x＋1≤ax－5，得2x＋1≤x－5，
解得x≤－6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
类型三　指数函数的综合应用(数学运算)
【典例】求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝4x＋2x＋1＋1.
(2)f(x)＝.
【思路导引】(1)令t＝2x，将原函数拆分成两个函数：y＝t2＋2t＋1与t＝2x，利用复合函数单调性法则即可得出结论．
(2)令t＝x2－3x＋2，将原函数拆分成两个函数：y＝和t＝x2－3x＋2，然后利用复合函数单调性法则即可得出结论．
【解析】(1)f(x)的定义域为R，令t＝2x(t>0)，则t＝2x在x∈R上是递增的；而y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2在t∈(0，＋∞)上是递增的，故函数f(x)＝4x＋2x＋1＋1在R上是递增的．
(2)函数f(x)的定义域为R，
令t＝x2－3x＋2＝－.
因为y＝在R上为减函数，
所以f(x)＝在上是递增的，在上是递减的．
1．指数型复合函数的单调性求解步骤
(1)求定义域：依据题意明确研究范围．
(2)拆分：把原函数拆分成几个基本函数．
(3)定性质：分层逐一求单调性．
(4)下结论：根据复合函数的单调性法则，即“同增异减”，得出原函数的单调性．
2．形如y＝af(x)的函数的单调性
(1)当a>1时，函数y＝af(x)的单调性与f(x)的单调性相同．
(2)当0　求函数y＝的单调递增区间．
【解析】令t＝－2x2＋x＋1，则y＝3t，因为
t＝－2＋，可得t的增区间为，
因为函数y＝3t在R上是增函数，
所以函数y＝的单调递增区间为.
【补偿训练】
已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值．
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用单调性定义给予证明．
【解析】(1)由f(x)为偶函数，得
对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，
即2x(1－a)＝·(1－a)，
所以1－a＝0，所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，且f(x)在(0，＋∞)上是递增的．
证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)
＝2x1＋－＝(2x1－2x2)＋
＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2)
＝(2x1－2x2)·，(*)
当x12x1<2x2，2x1＋x2>1，所以(*)式小于0，
从而f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上是递增的．
1．函数y＝10x－1的图象大致是(　　)
【解析】选C.函数y＝10x－1的图象可以看作函数y′＝10x的图象向下平移1个单位得到的，结合指数函数的图象与性质，即可得出函数的大致图象是C选项．
2．若函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图像如图所示，则g(x)＝a－x＋b的图像可能是(　　)
【解析】选C.根据函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图像知：a>1，－13．若函数f(x)与g(x)＝2x的图像关于y轴对称，则满足f(x)>1的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】选A.因为函数f(x)与g(x)＝2x的图像关于y轴对称，所以f(x)＝2－x，
由f(x)＞1得2－x>1，即－x>0，所以x<0.
所以满足f(x)>1的x的取值范围是(－∞，0).
4．函数f(x)＝在[－1，1]上最大值是________，最小值是________．
【解析】由f(x)＝＝＝2x－，得f(x)是R上的增函数，所以f(x)的最大值是f(1)＝，最小值是f(－1)＝－.
答案：　－
5．我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积为多少万平方公里？
【解析】设从2019年后的第n年的荒漠化土地面积为y，
则y＝7×(1－10%)n，2025年时n＝6，
故2025年的荒漠化土地面积为7×0.96万平方公里．
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