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8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学案
一、学习目标
1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式.
2.能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
二、基础梳理
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体 侧面展开图 面积公式
棱柱 （如三棱柱）
棱锥 （如三棱锥）
棱台 （如三棱台）
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：（为底面面积，为高）
棱锥：（为底面面积，为高）
棱台：（分别为上、下底面面积，为高）
三、巩固练习
1.已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )
A. B. C. D.144
2.若棱台的上，下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为( )
A.26 B.28 C.30 D.32
3.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A. B. C. D.2
4.将两个棱长为10 cm的正方体熔化后铸成一个底面边长为5 cm的正四棱柱，则该正四棱柱的高为( )
A.8 cm B.80 cm C.40 cm D.
5.已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A.， B.， C.， D.8，8
6.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( )
A.80 B.240 C.320 D.640
7.如图，在长方体中，E为棱上的点，且，过B，D，E三点的平面把长方体分成两个部分，记多面体的体积为，三棱锥的体积为，则( )
A.14 B.15 C.16 D.17
8.将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A. B. C. D.
9.将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的( )
A. B. C. D.
10.鲁班锁（也称孔明锁、难人木）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图.已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为( )
A. B.
C. D.
11.已知三棱锥的棱长均为4，则该三棱锥的体积是__________.
12.已知正方体的棱长为2，棱AB，AD，的中点分别为E，F，G，首先截去三棱锥，类似的，再截去另外7个三棱锥，则余下的几何体的表面积为__________________.
13.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_____________.
14.如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为(三棱柱)，两部分，那么__________.
15.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.若，，求仓库的容积.
16.如图，正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.故选A.
2.答案：B
解析：所求棱台的体积.故选B.
3.答案：B
解析：由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高，又因为底面积，所以体积.故选B.
4.答案：B
解析：设该正四棱柱的高为h cm，根据题意，得，解得.故选B.
5.答案：B
解析：，四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，.故选B.
6.答案：B
解析：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，如图，则由等腰梯形的性质，得斜高所以棱台的侧面积为.故选B.
7.答案：D
解析：设长方体的体积为V，底面ABCD的面积为S，由题意可得，则，故.故选D.
8.答案：B
解析：原来正方体的表面积为，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为，表面积为，总表面积为，所以增加的表面积为.故选B.
9.答案：C
解析：将正方体截去四个角后得到一个四面体.
设正方体的棱长为a，则
，四面体的体积
，这个四面体的体积是原正方体体积的.故选C.
10.答案：A
解析：由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，
则该几何体的表面积为
.故选A.
11.答案：
解析：如图，在三棱锥中，作高，连接并延长交于点，
则，在中，，
所以.
12.答案：
解析：如图，，，而余下的几何体的表面积等于6个正方形GEMH的面积加上8个的面积，故所求几何体的表面积为.
13.答案：12
解析：设六棱锥的高为，侧面的斜高为，由题意得，，
斜高，.
14.答案：
解析：设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，，，.
15.解析：由，得，
则，
，
，
故仓库的容积为312（）.
16.解析：(1)由题意知，
则.
(2)如图，小棱锥的底面边长为，
大棱锥的底面边长为，
又，则.
梯形的高，
，
.

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